¡Descarga Soluci´on de problemes de c´alcul integral y interpolaci´on - Prof. Armelin y más Apuntes en PDF de Ingeniería Química solo en Docsity!
Matem`atiques 3
Curs 2013-2014/Q1 - Primer Parcial. 31/10/
Grup M4 – Professor/a: N´uria Par´es
Nom: Calculadora:
[Competencia Generica - 5% de la nota final de l’assignatura]
a) Expresseu el nombre 9.625 en base 2.
b) Es vol emmagatzemar el nombre 18.75237982 utilitzant un emmagatzematge en base 10, coma flotant,
utilitzant una mantissa de 7 bits (un d’ells pel signe) i un exponent de 2 bits (un d’ells pel signe) i
mitjan¸cant arrodoniment per aproximaci´o. Retorna la representaci´o d’aquest nombre en aquest format i
calcula quantes xifres significatives correctes t´e l’aproximaci´o.
Resultats:
a)
b) x.s.c. =
representaci´o =
- [3.5 punts] Denotem per I =
4
0
x
4 dx. Responeu les seg¨uents preguntes
a) [2 punt] Aproximeu la integral I amb el m`etode de Simpson compost amb n = 2.
Calculeu l’error absolut exacte que cometem en l’aproximaci´o (calculant el valor exacte de la integral).
b) [1 punts] Utilitzant el resultat de l’apartat a), feu una predicci´o de l’error que cometr´ıem a l’aproximar I
utilitzant el m`etode de Simpson compost amb n = 40.
c) [0.5 punts] Utilitzant un m`etode d’integraci´o, hem obtingut els seg¨uents resultats
n 16 32 64 128 256 512 1024
aproximaci´o 206.1328125 205.1333008 204.8833313 204.8208332 204.8052083 204.8013021 204.
error -1.3328125 -0.3333008 -0.0833313 -0.0208332 -0.0052083 -0.0013021 -0.
Quin m`etode s’ha utiltizat?
Resultats:
a) IS = error =
b) predicci´o error Simpson =
c) m`etode =
- [3 punts]
En un experiment s’han obtingut les dades seg¨uents de l’evoluci´o de la temperatura d’un s`olid durant un segon
t 0 0.3 0.4 0.6 1
T (t) 20 17.82 17.41 16.98 17.
a) [1 punts] Aproximeu T (t) mitjan¸cant un spline lineal. Retorneu l’expressi´o de S(t) per a t ∈ [0. 3 , 0 .6].
b) [0.5 punts] Utilitzant l’interpolant obtingut en l’apartat a), feu una predicci´o del valor de la temperatura
a t = 0.5.
Aproximeu T (t) per un interpolant de la forma p(t) = At + Be −t utilitzant el criteri de m´ınims quadrats.
c) [0.5 punts] Doneu l’expressi´o gen`erica del sistema d’equacions que cal resoldre per a determinar A i B.
d) [0.5 punts] Calculeu l’interpolant p(t) per les dades donades en l’exercici.
e) [0.5 punts] Utilitzant l’interpolant obtingut en l’apartat d), feu una predicci´o del temps t en que la
temperatura ser`a m´ınima.
Resultats:
a) S(t) =
, 0. 3 ≤ t ≤ 0. 4
, 0. 4 ≤ t ≤ 0. 6
b) T (0.5) ≈
c)
d) p(t)=
e) m´ınim t =
Matem`atiques 3
Curs 2013-2014/Q1 - Primer Parcial. 31/10/
Grup M4 – Professor/a: N´uria Par´es
Nom: Calculadora:
[Competencia Generica - 5% de la nota final de l’assignatura]
a) Expresseu el nombre 9.625 en base 2.
b) Es vol emmagatzemar el nombre 18.75237982 utilitzant un emmagatzematge en base 10, coma flotant,
utilitzant una mantissa de 7 bits (un d’ells pel signe) i un exponent de 2 bits (un d’ells pel signe) i
mitjan¸cant arrodoniment per aproximaci´o. Retorna la representaci´o d’aquest nombre en aquest format i
calcula quantes xifres significatives correctes t´e l’aproximaci´o.
Resultats:
a) (1001.101) 2
b) x.s.c. = 5
representaci´o = 1 8 7 5 2 4 0 ︸ ︷︷ ︸ mantissa
exponent
a) Donat el nombre 9.625, convertirem primer la part entera a binari i despr´es la part decimal.
9 = 2 × 4 + 1
4 = 2 × 2 + 0
2 = 2 × 1 + 0
1 = 2 × 0 + 1
Per tant 9 = (1001) 2. En relaci´o a la part decimal
0. 625 × 2 = 0 .25 + 1
0. 25 × 2 = 0 .5 + 0
0. 5 × 2 = 0 + 1
Es a dir, 0.625 = (0.101) 2. Ajuntant els dos resultats anteriors, es t´e que 9.625 = (1001.101) 2.
b) Com que 18.75237982 = 0. 1875237982 · 10
2 , si utilitzem 7 bits per a la mantissa i 2 per l’exponent i
arrodonim mitjan¸cant arrodoniment, guardar´ıem el seg¨uent nombre
mantissa
exponent
que representa 0. 187524 · 10 2 = 18.7524.
Per saber el nombre de xifres significatives correctes, calculem l’error relatiu com`es
− 5 < 0. 5 · 10
− 5 .
Per tant, l’aproximaci´o t´e 5 xifres significatives correctes.
c) Recordem que diem que un metode d’integraci´o t´e convergencia d’ordre p si
E(h) = O(h
p ) = Ch
p .
En aquest cas, si doblem el nombre de subintervals, ´es a dir, si dividim per 2 la longitud dels intervals tenim
que
E
h
= C
h
)p
Ch p
p
E(h)
p
E(h)
E(h/2)
p =⇒ p = log 2
E(h)
E(h/2)
Com que en aquest cas ens donen els valors de n i no d’h, podem reescriure la relaci´o anterior com
E(n)
E(2n)
p =⇒ p = log 2
E(n)
E(2n)
Si mirem la taula que ens donen, veiem que cada aproximaci´o s’obt´e doblant el nombre de subintervals
anteriors, per tant, haur´ıem de tenir que
E(512)
E(1024)
E(256)
E(512)
E(128)
E(256)
E(64)
E(128)
E(32)
E(64)
E(16)
E(32)
p
Si fem aquest c`alcul agafant els ´ultims valors obtenim
E(512)
E(1024)
2 =⇒ p = 2.
Amb la resta de valors obtenim tamb´e que l’error es divideix aproximadament per 4 en cada pas
E(512)
E(1024)
- 000307220
E(256)
E(512)
- 999923201
E(128)
E(256)
- 000000000
E(64)
E(128)
- 999928000
E(32)
E(64)
- 999707193
E(16)
E(32)
- 998827786
Per tant, les aproximacions s’han calculat amb un metode d’ordre 2 (quadratic) =⇒ Trapezi compost.
- [3.5 punts] Volem determinar els zeros de la funci´o f (x) = 10 sin(x) + x 2 − 10 en l’interval [0, 6].
a) [1 punts] Feu tres iteracions del m`etode de Newton prenent com a aproximaci´o inicial x 0 = 0.
b) [1 punts] Calculeu l’error relatiu aproximat associat a l’aproximaci´o x 2 en valor absolut.
c) [0.5 punts] Utilitzant els resultats anteriors, verifica x 2 els criteris d’aturada amb tolx = tolf = 0.005?
d) [0.5 punts] Determineu el zero de la funci´o entre [3. 5 , 6]. Calculeu aquesta aproximaci´o. Pareu quan en
dues iteracions successives ja no canviin els tres primers decimals.
Resultats:
a) x 3 = 1. 082037728 b) |r˜ 2 | = 0. 002751070432
c) SI que es verifica NO que es verifica d) α ≈ 4. 426
a) Tenint en compte que f
′ (x) = 10 cos(x) + 2x, les aproximacions que s’obtenen prenent x 0 = 0 s´on
x 0 = 0
x 1 = x 0 −
f (x 0 )
f ′ (x 0 )
x 2 = x 1 −
f (x 1 )
f ′ (x 1 )
x 3 = x 2 −
f (x 2 )
f ′ (x 2 )
Per tant, x 3 = 1.082037728.
b) Calculem l’error relatiu aproximat associat a x 2.
|r˜ 2 | =
|x 3 − x 2 |
|x 3 |
c) Comprovem si x 2 verifica els criteris de converg`encia amb tolx = tolf = 0.005, ´es a dir, si
|˜r 2 | =
|x 3 − x 2 |
|x 3 |
< 0. 005 i |f (x 2 )| < 0. 005
Utilitzant l’apartat b) tenim que
|˜r 2 | = 0. 002751070432 < 0. 005 X
|f (x 2 )| = | − 0. 020479185 | = 0. 020479185 ≮ 0. 05 ×
Per tant, x 2 no verifica els criteris de converg`encia.
d) Ens diuen que hi ha un zero en l’interval [3. 5 , 6]. Per comen¸car amb una bona aproximaci´o, avaluarem la
funci´o en dos o tres punts
x 3.5 6 4 5 4.
f (x) -1.26 23.21 -1.57 5.41 0.
Pels valors que obtenim, sembla que el zero estigui m´es a prop de 3.5 que de 6. Tot i aix`o, s’ha avaluat la
funci´o tamb´e en 4 i 5 per tenir m´es informaci´o sobre la funci´o. Com que f (4) · f (5) < 0, sabem que de fet
α ∈ (4, 5), de fet, ser`a molt propera a 4.5.
Es important observar tamb´e que f (4) < f (3), per tant, la funci´o decreix de 3 a 4 i despr´es torna a cr`eixer
fins a 6. Per tant, com que la funci´o ´es cont´ınua, tindra un m´ınim en aquest interval que caldra evitar
perque sin´o el metode de Newton divergir`a.
De fet, en aquest cas, f
′ (3.837467106) = 0. Si no es tria b´e l’aproximaci´o inicial, en aquest cas pot passar
cas 1. x 0 proper a 3. 5 −→ convergirem a l’arrel α = 3. 106816555
cas 2. x 0 proper a 3. 837467106 −→ comen¸carem divergint
cas 3. x 0 >> 3. 837467106 −→ convergirem a l’arrel que ens demanen
- [3 punts]
En un experiment s’han obtingut les dades seg¨uents de l’evoluci´o de la temperatura d’un s`olid durant un segon
t 0 0.3 0.4 0.6 1
T (t) 20 17.82 17.41 16.98 17.
a) [1 punt] Aproximeu T (t) mitjan¸cant un spline lineal. Retorneu l’expressi´o de S(t) per a t ∈ [0. 3 , 0 .6].
b) [0.5 punt] Utilitzant l’interpolant obtingut en l’apartat a), feu una predicci´o del valor de la temperatura
a t = 0.5.
Aproximeu T (t) per un interpolant de la forma p(t) = At + Be −t utilitzant el criteri de m´ınims quadrats.
c) [0.5 punt] Doneu l’expressi´o gen`erica del sistema d’equacions que cal resoldre per a determinar A i B.
d) [0.5 punt] Calculeu l’interpolant p(t) per les dades donades en l’exercici.
e) [0.5 punt] Utilitzant l’interpolant obtingut en l’apartat d), feu una predicci´o del temps t en que la tem-
peratura ser`a m´ınima.
Resultats:
a) S(t) =
05 − 4. 1 t , 0. 3 ≤ t ≤ 0. 4
27 − 2. 15 t , 0. 4 ≤ t ≤ 0. 6
b) T (0.5) ≈ 17. 195
c)
5 ∑
i=
t
2 i
∑^5
i=
tie −ti
5 ∑
i=
tie
−ti
5 ∑
i=
e
− 2 ti
A
B
5 ∑
i=
T (ti)ti
5 ∑
i=
T (ti)e
−ti
d) p(t)= 10. 00317268 t + 20. 00176316 e
−t
e) T (0.5) ≈ 17. 13281916
f) m´ınim t = 0. 6929181163
a) Calcularem l’spline lineal fent servir els polinomis de Lagrange en cada interval
S(t) =
- 3 ≤ t ≤ 0. 4 , 17. 82
t − 0. 4
t − 0. 3
= 19. 05 − 4. 1 t
- 4 ≤ t ≤ 0. 6 , 17. 41
t − 0. 6
t − 0. 4
= 18. 27 − 2. 15 t
Es a dir^ ´
S(t) =
05 − 4. 1 t , 0. 3 ≤ t ≤ 0. 4
27 − 2. 15 t , 0. 4 ≤ t ≤ 0. 6
b) Si utilitzem l’interpolant de l’apartat a) tenim que
T (0.5) ≈ S(0.5) = 18. 27 − 2. 15 · 0 .5 = 17. 195.
c) L’interpolant que verifica el criteri de m´ınims quadrats, ´es aquell que minimitza la dist`ancia al quadrat
entre les prediccions de l’interpolant i les dades donades, ´es a dir
min A,B
E(A, B) = min A,B
5 ∑
i=
(T (ti) − p(ti))
2 = min A,B
5 ∑
i=
(T (ti) − Ati − Be
−ti ))
2 .
Per trobar el m´ınim, cal calcular les derivades parcials i igualar a zero
∂E
∂A
5 ∑
i=
2(T (ti) − Ati − Be
−ti ))ti = 2
[
5 ∑
i=
T (ti)ti − At
2 i − Btie
−ti
]
[
5 ∑
i=
T (ti)ti − A
5 ∑
i=
t
2 i
− B
5 ∑
i=
tie
−ti
)]
∂E
∂B
5 ∑
i=
2(T (ti) − Ati − Be
−ti ))e
−ti = 2
[
5 ∑
i=
T (ti)e
−ti − A
5 ∑
i=
tie
−ti
− B
5 ∑
i=
e
− 2 ti
)]
Per tant, si considerem les dues equacions ∂E/∂A = 0, ∂E/∂B = 0, arribem al sistema d’equacions
5 ∑
i=
t
2 i
∑^5
i=
tie
−ti
5 ∑
i=
tie
−ti
∑^5
i=
e − 2 ti
A
B
5 ∑
i=
T (ti)ti
5 ∑
i=
T (ti)e
−ti
d) Si ara utilitzem les dades de la taula tenim
∑^5
i=
t
2 i = 0 + 0.^3
2
2
2
2 = 1. 61
5 ∑
i=
tie
−ti = 0e
0
− 0. 3
− 0. 4
− 0. 6
− 1 = 1. 187539908
5 ∑
i=
e
− 2 ti = e
0
− 0. 6
− 0. 8
− 1. 2
− 2 = 2. 434670095
5 ∑
i=
T (ti)ti = 20 · 0 + 17. 82 · 0 .3 + 17. 41 · 0 .4 + 16. 98 · 0 .6 + 17. 36 · 1 = 39. 858
5 ∑
i=
T (ti)e
−ti = 20 · e
0
− 0. 3
− 0. 4
− 0. 6
− 1 = 60. 57686137
Per tant, hem de resoldre el sistema d’equacions
A
B
Fent la seg¨uent operaci´o f 2 = 1. 61 f 2 − 1. 187539908 f 1 obtenim el seg¨uent sistema
A
B
Per tant obtenim: B = 50. 19578116 / 2 .509567820 = 20.00176316 i A = (39. 858 − 1. 187539908 B)/ 1 .61 =
10 .00317268.
Es a dir, l’interpolant ´es
p(t) = 10. 00317268 t + 20. 00176316 e
−t .
e) Si utilitzem aquest interpolant per a aproximar T (0.5), tenim
T (0.5) ≈ p(0.5) = 10. 00166089 · 0 .5 + 20. 00226785 e
− 0. 5 = 17. 13281916.
f) La temperatura m´ınima s’assolir`a quan T ′ (t) = 0. Com que no coneixem T (t), aproximarem la temperatura
per T (t) ≈ p(t). Per tant, el m´ınim, el trobarem resolent p ′ (t) = 0.
p
′ (t) = 10. 00317268 t + 20. 00176316 e
−t = 0 ⇐⇒ t = − ln
Es a dir, si^ ´ p(t) ´es una bona aproximaci´o de T (t), la m´ınima temperatura s’assolir`a per t = 0.6929181163.
