Calculo, Apuntes de Cálculo

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BASES DE MATEMÁTICAS

APUNTES

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas y de Gestión

ESCET

Alessandra Gallinari

Introducción

En este curso se aborda la disciplina de las matemáticas que tradicio- nalmente se denomina cálculo o análisis matemático en una variable. El concepto de límite, central en esta asignatura, y que abre todo el campo del cálculo diferencial e integral, supone una revolución en las matemáticas y en cómo éstas describen la realidad: de la noción de velocidad constante a la de velocidad instantánea, del cálculo de áreas de polígonos al de áreas encerradas por curvas, del cálculo de masas de sólidos de densidad constante al mismo cálculo con densidad variable, de la probabilidad de sucesos con una cantidad nita de opciones al estudio de las probabilidades de sucesos donde hay una cantidad innita de posibilidades, de lo discreto a lo conti- nuo... son algunos ejemplos que ilustran lo señalado. La física, la ingeniería, la estadística se fundamentan (no exclusivamente pero sí de una forma cru- cial) matemáticamente en los conceptos que se presentarán: límite, función, derivación e integración. Aunque el mundo de las telecomunicaciones y la informática presenta actualmente un modelo digital, es decir, discreto (este campo de las mate- máticas se presenta en la asignatura de Matemática Discreta) no podemos olvidar que la realidad no se adapta completamente a modelos discretos. El área de una circunferencia involucra a ese misterioso número π que no es un número racional y el teorema de Pitágoras nos recuerda que la diago- nal de un cuadrado de lado unidad (pensemos en el alerón de un tejado) tampoco es racional. Cuando nos circunscribimos al mundo de los números racionales lo hacemos para perder exactitud (es imposible la cuadratura del círculo, nunca mejor dicho) y eso puede ser trágicamente relevante. Además, el análisis matemático presenta interesantes instrumentos de descripción que son fundamentales en otros campos: por ejemplo el estudio sistemático de las funciones reales es usado para el estudio de la eciencia de los algorit- mos en lo que se denomina complejidad y esto tiene fuertes consecuencias en seguridad informática, gestión de proyectos... .Finalmente la industria y la economía (también la biología, la química, la medicina...) necesitan modelos que describan ciertos procesos (evoluciones de mercado, procesos de fabrica- ción, poblaciones...) y de los que, a priori, se puedan establecer predicciones, se puedan optimizar gastos y recursos (u otras variables), se tomen decisiones adecuadas y seguras.... Normalmente estos estudios no involucran a una sola variable (pensemos en una industria: tiempo, energía, recursos huma- nos...) y por tanto se necesita también desarrollar un análisis matemático de

elementales y sus propiedades que se suponen estudiadas por el alumno en cursos anteriores. Todas estas nociones son básicas y aparecen en prácticamente todas las asignaturas de la titulación. En particular, vendrán empleadas en la asigna- turas de Matemática Discreta, Cálculo y Álgebra. En el capítulo 3 se dará una descripción de la estructura algebraica de cuerpo (estructura que se estudiará en más detalle en la asignatura de Álge- bra) del conjunto R de los números reales, de sus propiedades de orden y de completitud. Estas propiedades son fundamentales para poder comprender el concepto de distancia en R y de límite de una función real. Las aplicaciones de estos conceptos serán los temas principales del cálculo en una variable. El capítulo 4 está dedicado a los números complejos. Se trata de un breve repaso de las propiedades básicas de estos números. Los aspectos nu- méricos son el contenido de la práctica correspondiente con Maple V de esta asignatura. Los capítulos 5, 6 y 7 tratan los conceptos de límite de sucesiones y funciones reales y de continuidad. Se exponen los teoremas fundamentales de convergencia y divergencia. Los métodos numéricos correspondientes vienen presentados en las prácticas correspondientes con Maple V de esta asignatura. En estos apuntes se presta particular atención al tema de las sucesiones reales como introducción a la resolución de ecuaciones en diferencias que los alumnos estudiarán durante la asignatura de Álgebra, y a la teoría de las series desarrollada en la asignatura de Cálculo. Los alumnos pueden utilizar los resultados de estos capítulos para el estudio de la convergencia y complejidad de los algoritmos presentados en la asignatura paralela de Matemática Discreta. Los siguientes dos capítulos (8 y 9) introducen el cálculo diferencial y sus aplicaciones clásicas. El 10 trata del cálculo integral y de técnicas básicas de integración. Todos estos conceptos y sus aplicaciones vienen ilustrados en las prácticas correspondientes con Maple V. Los métodos numéricos relacionados ad estos temas se profundizarán en la asignatura de Cálculo. Esta publicación es, en su mayoría, una adaptación del material conteni- do (unas veces sin modicarlo, otras proponiendo variaciones de ello) en la bibliografía incluida.

Agradecimientos

Quiero agradecer al profesor Roberto Muñoz por su indispensable parti- cipación en la corrección de estas notas. Gracias también al profesor Ariel Sánchez por su sugerencias y a los alumnos que han señalado erratas y errores en versiones previas.

Índice General

3.4.4 La existencia de

• 1 Nociones de lógica y demostraciones
  • 1.1 Conectivos lógicos y tablas de verdad
  • 1.2 Los cuanticadores ∀ y ∃
  • 1.3 Negación con cuanticadores
  • 1.4 Inducción matemática
• 2 Conjuntos, relaciones y funciones
  • 2.1 Nociones de teoría de conjuntos
    • 2.1.1 Inclusión e igualdad de conjuntos
    • 2.1.2 Operaciones con conjuntos
      • con conjuntos 2.1.3 Partes de un conjunto y propiedades de las operaciones
    • 2.1.4 Cardinal de un conjunto
  • 2.2 Relaciones binarias
    • 2.2.1 Relaciones de equivalencia
    • 2.2.2 Relaciones de orden
    • 2.2.3 Mínimos y máximos de un conjunto
  • 2.3 Funciones
    • 2.3.1 Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
    • 2.3.2 Composición de funciones
    • 2.3.3 Función inversa
• 3 Números reales
  • 3.1 Estructura algebraica de R
  • 3.2 Las propiedades de orden en R
    • 3.2.1 Intervalos
    • 3.2.2 Desigualdades
  • 3.3 Valor absoluto
  • 3.4 Completitud de R 8 ÍNDICE GENERAL
    • 3.4.1 Supremos e ínmos
    • 3.4.2 La propiedad del supremo de R
    • 3.4.3 La propiedad de Arquímedes
    • 3.4.5 Densidad de Q en R
    • 3.4.6 Intervalos encajados y representación decimal
  • 3.5 Conjuntos innitos
    • 3.5.1 Conjuntos nitos
    • 3.5.2 Conjuntos numerables
    • 3.5.3 Conjuntos no numerables
  • 3.6 Precisión en los métodos numéricos
• 4 Números complejos
  • 4.1 Denición de números complejos
  • 4.2 Expresión binómica
    • exponencial 4.3 Expresión polar, trigonométrica y
• 5 Sucesiones reales
  • 5.1 Denición
    • 5.1.1 Ejemplos
    • 5.1.2 Límites y sus propiedades
    • 5.1.3 Sucesiones propiamente divergentes
    • 5.1.4 Comparación de límites:
  • 5.2 Sucesiones monótonas
  • 5.3 Primeros criterios de convergencia
  • 5.4 Subsucesiones
    • 5.4.1 Criterio de divergencia basado en subsucesiones
    • 5.4.2 Teorema de Bolzano-Weierstrass
  • 5.5 Criterio de Cauchy
  • 5.6 Sucesiones contractivas
  • 5.7 Resumen sobre convergencia y divergencia
• 6 Límites de funciones reales
  • 6.1 Denición de límite y ejemplos
  • 6.2 Criterios de convergencia
  • 6.3 Dos límites importantes
• ÍNDICE GENERAL
  • 6.4 Límites laterales
  • 6.5 Límites innitos y en el innito
  • 6.6 Innitésimos e innitos
• 7 Continuidad
  • 7.1 Funciones continuas
    • 7.1.1 Denición y ejemplos
    • 7.1.2 Propiedades de las funciones continuas
  • 7.2 Continuidad en intervalos
    • 7.2.1 Acotabilidad
    • 7.2.2 Localización de raíces
  • 7.3 Funciones monótonas e inversas
• 8 Derivación
  • 8.1 Recta tangente y denición de derivada
  • 8.2 Propiedades básicas de la derivada
    • 8.2.1 Continuidad y derivabilidad
    • 8.2.2 Derivadas de funciones elementales
    • 8.2.3 Derivadas de funciones trigonométricas
    • 8.2.4 Regla de la cadena
  • 8.3 Derivada de la función inversa
  • 8.4 Derivación implícita y logarítmica - relacionadas 8.4.1 Derivación implícita y tasas de cambio
    • 8.4.2 Derivación logarítmica
  • 8.5 Teoremas fundamentales
• 9 Aplicaciones de la derivada
  • 9.1 Análisis de grácas: criterio de la primera derivada
  • 9.2 Regla de l'Hôpital
    • 9.2.1 Formas indeterminadas 00 y ∞∞
    • 9.2.2 Otras formas indeterminadas
  • 9.3 Aproximación de Taylor
    • 9.3.1 Polinomio de Taylor
    • 9.3.2 Teorema de Taylor
  • 9.4 Aplicaciones del Teorema de Taylor
    • 9.4.1 Derivadas de orden superior y extremos relativos
    • 9.4.2 Funciones convexas y puntos de inexión
• 10 Integración 10 ÍNDICE GENERAL
  • 10.1 Integral de Riemann
    • 10.1.1 Sumas superiores e inferiores
    • 10.1.2 Criterio de integrabilidad de Riemann
    • 10.1.3 Área como límite de una suma
  • 10.2 Propiedades básicas de la integral
    • 10.2.1 Funciones integrables sobre un intervalo [a, b]
    • 10.2.2 Integrales y operaciones con funciones
  • 10.3 Teoremas fundamentales
    • 10.3.1 Teorema del valor medio para integrales
    • 10.3.2 Teorema fundamental del cálculo
  • 10.4 Técnicas básicas de integración
    • 10.4.1 Integración por partes
    • 10.4.2 Integración por cambio de variable
    • 10.4.3 Integrales racionales
  • 10.5 Integrales impropias
    • 10.5.1 Integrales impropias de primera especie
    • 10.5.2 Integrales impropia de segunda especie
    • 10.5.3 Integrales impropias de tercera especie
• A Repaso de funciones elementales
  • A.1 Funciones potencia, polinómica y racional
    • A.1.1 Función potencia
    • A.1.2 Polinomios
    • A.1.3 Funciones racionales
    • A.1.4 Descomposición en fracciones simples
  • A.2 Funciones exponenciales y logarítmicas
    • A.2.1 Función exponencial
    • A.2.2 Función logarítmica
  • A.3 Funciones trigonométricas y sus inversas
    • A.3.1 Seno y arcoseno
    • A.3.2 Coseno y arcocoseno
    • A.3.3 Tangente y arcotangente
    • A.3.4 Cosecante y arcocosecante
    • A.3.5 Secante y arcosecante
    • A.3.6 Cotangente y arcocotangente
  • A.4 Algunas relaciones trigonométricas
  • A.5 Funciones hiperbólicas y sus inversas
• ÍNDICE GENERAL
  • A.5.1 Seno hiperbólico y argumento seno hiperbólico
  • A.5.2 Coseno hiperbólico y argumento coseno hiperbólico
  • A.5.3 Tangente hiperbólica y argumento tangente hiperbólica
  • A.5.4 Propiedades de las funciones hiperbólicas

Capítulo 1

Nociones de lógica y

demostraciones

Las ciencias experimentales se basan en la observación de la naturaleza y utilizan un razonamiento de tipo inductivo para poder formular teorías ge- nerales que permitan entender y clasicar los resultados de observaciones particulares y hacer predicciones sobre futuros experimentos.

Ejemplo de razonamiento inductivo Durante el primer día de clases en nuestra universidad se observa que:

• en las aulas 204 y 207 hay más alumnos varones que mujeres,
• en la biblioteca hay más alumnos varones que mujeres

Por tanto, se deduce que en nuestra universidad la población masculina es predominante, pero no tenemos la certeza que nuestra conclusión sea verda- dera.

Las matemáticas son una ciencia deductiva. La investigación matemática se basa en un modelo matemático de la realidad constituido por objetos rigurosamente denidos por medio de axiomas y utiliza las leyes de la lógica formal para sacar conclusiones que sean verdaderas en el modelo considerado.

Ejemplo de razonamiento deductivo Sea A el conjunto de todos los alumnos ocialmente matriculados en nuestra universidad. Sea v el número de elementos de A que son varones y m el correspondiente número de elementos de A que son mujeres.

13

14 CAPÍTULO 1. NOCIONES DE LÓGICA Y DEMOSTRACIONES

Teorema 1.0.1 v > m

Demostración De las listas ociales del Rectorado sabemos que v = 3500 y que m = 1500. Por tanto, se sigue que v > m. 2

El razonamiento matemático necesita armar con certeza si una sentencia es verdadera o falsa. La Lógica es la disciplina que se ocupa del estudio sistemático de las condiciones generales de validez y de la formalización de razonamientos o deducciones. En lo que sigue se pretende recordar sólo algunas nociones de lógica pro- posicional y de lógica de predicados que nos harán falta en los siguientes capítulos. Los alumnos estudiarán estos conceptos en más detalle como pri- mer tema de la asignatura paralela Matemática Discreta.

Una proposición es una sentencia que se puede clasicar como verdadera o falsa sin ambigüedad. En nuestra notación, las constantes son los elementos de un conjunto U , que será nuestro universo de discurso y las variables son objetos genéricos, que podrán sustituirse por elementos de U. Un predicado o función proposicional es una sentencia que involucra variables de modo que al ser sustituidas por constantes de un universo U se convierte en una proposición. Nota importante: al n de simplicar la exposición, trabajaremos siem- pre en un universo predeterminado (los números naturales, enteros, raciona- les, reales, complejos,...). Esta limitación nos permitirá prescindir de algunas deniciones y estructuras lógicas fundamentales, cuales las tautologías, las formas proposicionales y las formas de predicados.

Ejemplo 1.0.2 La sentencia existe x tal que x^2 = 2 es verdadera si nuestro contexto son los números reales (x =

2 o x = −

2 ) y falsa si nuestro contexto son los números naturales.

Ejemplos 1.0.3 1) En el conjunto R de los números reales, 2 + 2 = 4.

2. En el conjunto N de los números naturales, 2 · 3 = − 6.
3. Este enunciado es falso.
4. En el conjunto R de los números reales, 0 = 0.
5. En el conjunto R de los números reales, 0 6 = 0.

16 CAPÍTULO 1. NOCIONES DE LÓGICA Y DEMOSTRACIONES

• la implicación es la proposición P ⇒ Q que es siempre verdadera salvo si P es verdadera y Q es falsa. P se llama la hipótesis y Q la conclusión.

Su tabla de verdad es

P Q P ⇒ Q

V V V

V F F

F V V

F F V

• la doble implicación es la proposición P ⇔ Q denida como (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ).

Su tabla de verdad es

P Q P ⇒ Q Q ⇒ P P ⇔ Q

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

Ejemplo 1.1.1 En el contexto de los números naturales, sean P :n es par y Q : existe un número natural m tal que n = 2m. Entonces P ⇔ Q es verdadera precisamente cuando P y Q son ambas verdaderas o ambas falsas.

Denición 1.1.2 Dos proposiciónes P y Q son equivalentes en sentido lógico (y se escribirá P ≡ Q) si tienen la misma tabla de verdad, es decir, si P ⇔ Q es siempre verdadera.

Ejercicios 1.1.1 Sean P y Q dos proposiciones. 1)Vericar que valen las Leyes de De Morgan:

• ¬(P ∨ Q) ≡ (¬P ) ∧ (¬Q)
• ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ) ∨ (¬Q).

2)Vericar que (P ⇒ Q) ≡ ((¬P ) ∨ Q) ≡ ((¬Q) ⇒ (¬P )). Pensad, por ejemplo, en P :estoy en Roma y Q : estoy en Italia.

3. Vericar el principio de doble negación:

¬(¬P ) ≡ P. (1.1)

1.2. LOS CUANTIFICADORES ∀ Y ∃ 17

1.2 Los cuanticadores ∀ y ∃

Por denición, un predicado se convierte en una proposición al sustituir sus variables por constantes de un universo U. Otra forma de convertir predicados en proposiciones es el uso de los si- guientes cuanticadores:

• el cuanticador universal ∀ (para todo) y
• el cuanticador existencial ∃ (existe).

Si P (x) es un predicado y U es nuestro universo, la expresión

∀x ∈ U P (x)

representa la frase para todo x en U, P (x) es verdadera y la expresión

∃x ∈ U P (x)

representa la frase existe x en U tal que P (x) es verdadera.

Ejemplos 1.2.1 1) La proposición (verdadera) para todo número real no negativo x existe un número real y tal que (t.q.) y^2 = x, se escribe como

∀x ∈ R+^ ∪ { 0 }, ∃y ∈ R t.q. y^2 = x.

2. La proposición (falsa) existe un número real y tal que para todo nú- mero real no negativo x, y^2 = x, se escribe como

∃y ∈ R t.q. ∀x ∈ R+^ ∪ { 0 }, y^2 = x.

Entonces, si se invierte el orden de los dos cuanticadores ∀ y ∃ se puede pasar de una proposición verdadera a una falsa.

1.3 Negación de una proposición que contenga

cuanticadores

• Para demostrar que la proposición ∀x ∈ R, x^2 = 1 es falsa hay que presentar un solo contraejemplo (x = 2), es decir

¬((∀x ∈ R)(x^2 = 1)) es (∃x ∈ R)(¬(x^2 = 1)).

1.4. INDUCCIÓN MATEMÁTICA 19

Entonces P ⇒ R 1 ⇒ R 2 ⇒ R 3 ⇒ R 4 ⇒ Q. 2

Dos tipos de demostraciones indirectas son las demostraciones por contrapositivo y las demostraciones por reducción al absurdo (o contradic- ción). En una demostración por contrapositivo se utiliza la equivalencia lógica entre “P ⇒ Q y “¬Q ⇒ ¬P.

Ejemplo 1.3.3 Teorema 1.3.4 Sea a ≥ 0 un número real. Si para todo ≤ > 0 se tiene 0 ≤ a < ≤, entonces a = 0.

Demostración por contrapositivo del teorema (1.3.4): en este caso el contexto son los números reales no negativos. P : (∀≤ > 0)(0 ≤ a < ≤) y Q : a = 0. Entonces tenemos que demostrar que si a > 0 (es decir, si ¬Q es verdadera) se sigue que (∃≤ > 0)(0 < ≤ ≤ a) (es decir, ¬P es verdadera). Sea R 1 : 0 < ≤ = a 2 < a. Se verica que ¬Q ⇒ R 1 ⇒ ¬P. 2

En una demostración por reducción al absurdo se utiliza el hecho de que si C es una contradicción (una proposición siempre falsa), entonces las proposiciones “P ⇒ Q y “(P ∧ ¬Q) ⇒ C son equivalentes en sentido lógico.

Ejercicio 1.3.1 Comprobar que (P ⇒ Q) ≡ ((P ∧ ¬Q) ⇒ C).

Ejemplo 1.3.5 Teorema 1.3.6 Sea a un número real. Si a > 0 , entonces 1 a >^0. Demostración por reducción al absurdo del teorema (1.3.6): esta vez el contexto son los números reales, P : a > 0 y Q : (^1) a > 0. Nos hace falta vericar que si (P ∧(¬Q)) : a > 0 y (^) a^1 ≤ 0 es verdadera, entonces se obtiene una contradicción. Sean R 1 : a · (^1) a ≤ 0 y C : 1 = a · (^1) a ≤ 0. El resultado se sigue de la cadena P ∧ (¬Q) ⇒ R 1 ⇒ C. 2

1.4 Inducción matemática

El método de demostración por inducción matemática se aplica cuando se quiere demostrar que una proposición P (n), que depende del número natural n, es verdadera para todo n. Por ejemplo, una de las siguientes fórmulas:

20 CAPÍTULO 1. NOCIONES DE LÓGICA Y DEMOSTRACIONES

• ∀n ∈ N,

∑n k=1 k^ =^

n(n+1) 2

• ∀n ∈ N,

∑n k=1 k

(^2) = n(n+1) 2

• ∀n ∈ N,

∑n k=1(2k^ −^ 1) =^ n

2

• ∀n ∈ N, 2 n^ ≤ (n + 1)!, donde (n + 1)! = (n + 1) (n) (n − 1) · · · 2 1

Este método utiliza la propiedad del conjunto N de los números naturales conocida como Principio de inducción matemática:

Teorema 1.4.1 (Principio de inducción matemática) Si A es un subconjun- to cualquiera de N tal que

1. 1 ∈ A y
2. (n ∈ A) ⇒ (n + 1 ∈ A), entonces A = N.

Proposición 1.4.2 (Razonamiento por inducción) Sea P (n) una pro- posición tal que se pueda probar que

1. base de inducción: P (1) es verdadera y que
2. paso de inducción: P (n) verdadera ⇒ P (n + 1) verdadera, entonces ∀n ∈ N, P (n) es verdadera.

La demostración de la proposición (1.4.2) se sigue aplicando el principio de inducción al conjunto A = {n ∈ N : P (n) es verdadera}.

Ejemplo 1.4.3 Demostración por inducción de

∀n ∈ N, 2 n^ ≤ (n + 1)!.

Base de inducción: si n = 1, P (1) (2 ≤ 2) es verdadera. Paso de inducción: si 2 n^ ≤ (n + 1)! (P (n) es verdadera), entonces

2 n+1^ = 2 2n^ ≤ 2 (n + 1)! ≤ (n + 2) (n + 1)! = (n + 2)!.

El resultado se sigue de la proposición (1.4.2).

Veremos más ejemplos de demostraciones en los siguientes capítulos.