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I F
Integración
8.1 Funciones integrables 113 8.2 Teorema fundamental del Cálculo 119 8.3 Ejer- cicios 122
El área de un recinto, la longitud de un cable que cuelga entre dos postes, el volumen o la superficie de una esfera...Estos son el tipo de problemas que vamos a resolver en este capítulo. Para ello presentamos el concepto de integral de una función.
8.1 Funciones integrables
Definición 8.1. Una partición P de un intervalo [ a , b ] es un conjunto finito del tipo P = { x 0 , x 1 ,... , xn } donde
a = x 0 < x 1 <... < xn 1 < xn = b.
Ejemplo 8.2. Los conjuntos { 0 , 1 },
n 0 , 12 , 1
o o
n 0 , 13 , 12 , 1
o son particiones del intervalo [0, 1]. No lo son, en cambio, conjuntos como
n 0 , 12 , 13 , 1
o ,
n 0 , 13 , (^12)
o .
Definición 8.3. Sea f : [ a , b ]! R una función acotada y P una partición del intervalo. La suma superior S ( f , P ) de la función f relativa a la partición P es S ( f , P ) = sup f ([ x 0 , x 1 ])( x 1 x 0 ) + sup f ([ x 1 , x 2 ])( x 2 x 1 ) +...
- sup f ([ xn 1 , xn ])( xn xn 1 ).
Análogamente se define la suma inferior I ( f , P ) como I ( f , P ) = inf f ([ x 0 , x 1 ]) ( x 1 x 0 ) + sup f ([ x 1 , x 2 ])( x 2 x 1 ) +...
- sup f ([ xn 1 , xn ])( xn xn 1 ).
Las sumas inferiores y superiores que vemos en la siguiente figura son una aproximación del área que queremos calcular. Ahora bien, el valor de la suma inferior siempre será menor que el de la integral y a la suma superior le ocurre lo contrario.
Definición 8.4. La integral superior de f se define como Z
[ a , b ]
f = inf
S ( f , P ) : P partición de [ a , b ].
La integral inferior de f se define como Z
[ a , b ]
f = sup
I ( f , P ) : P partición de [ a , b ].
F I
x 0 x 1 x 2 x 3 ...^ xn
f
x 0 x 1 x 2 x 3 ...^ xn
f
Suma superior Suma inferior Figura 8.1 Sumas superiores e inferiores
Las integrales superior e inferior son aproximaciones a la integral de la función. En un caso por exceso y en otro por defecto. Cuando ambas aproximaciones coinciden, tenemos una función integrable.
Definición 8.5. Sea f : [ a , b ]! R una función acotada. Diremos que f es integrable si coinciden la integral superior e inferior. En ese caso, denotaremos
R
[ a , b ] f^ a dicha integral.
También usaremos con frecuencia las notaciones
R (^) b a f^ o^
R (^) b a f^ ( x )^ dx^ si queremos hacer hincapié en la variable de integración.
Ejemplo 8.6. Calcular la integral de f ( x ) = x en el intervalo [0, 1] Consideremos la partición Pn del intervalo [0, 1] que consiste en dividirlo en n trozos iguales:
Pn =
n
n
n 1 n
Como la función f es creciente, su valor máximo se alcanzará en el extremo de la derecha y el mínimo en el extremos de la izquierda. Con esto es fácil calcular el valor de las sumas superiores e inferiores.
S ( f , Pn ) =
X^ n
i = 1
f
✓ (^) i n
n
n^2
X^ n
i = 1
i = n ( n + 1) 2 n^2
, y
I ( f , Pn ) =
X^ n
i = 1
f i 1 n
n
n^2
X^ n
i = 1
i 1 = ( n 1) n 2 n^2
Si hacemos tender n a infinito, lim n !1 S ( f , Pn ) = lim n !1 S ( f , Pn ) = 12. Por tanto
R 1
0 x dx^ =^
1
No es fácil calcular la integral de una función con la definición. En el ejemplo anterior hemos tenido que usar la suma de una progresión aritmética y usar particiones de una forma particular. En el resto del tema veremos qué funciones son integrables, qué propiedades tienen y, por último, el teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow nos permitirán calcular integrales de una forma más cómoda.
F I
Dominio
Se puede demostrar que si una función es integrable en un intervalo, también lo es en cualquier intervalo contenido en él. Teniendo en cuenta esto, podemos calcular la integral de una función en un intervalo dividiendo este en varios trozos y sumar los resultados. Esto se conoce como aditividad de de la integral respecto de su dominio. Proposición 8.11 (Aditividad respecto del dominio). Sea f : [ a , b ]! R una función acotada y c 2 ] a , b ]. Entonces f es integrable en [ a , b ] si, y sólo si, es integrable en los intervalos [ a , c ] y [ c , b ]. En ese caso, Z (^) b
a
f ( x ) dx =
Z (^) c
a
f ( x ) dx +
Z (^) b
c
f ( x ) dx.
Observación 8.12. La integral de una función f en un intervalo [ a , b ] no cambia si “trasladamos” dicha función.
Z (^) b
a
f a (^) b
Z (^) b + k
a + k
f ( x k )
a + k b + k
Podemos utilizar esto para simplificar el cálculo de algunas integrales. Por ejemplo, si f es una función impar, entonces Z (^) a
a
f ( x ) dx = 0.
a (^) 0^ a
¿Por qué? Sólo tenemos que mirar la gráfica de la función. El área entre 0 y a es igual que el área entre a y 0 pero con signos opuestos y ambas se cancelan. Por ejemplo Z (^) a
a
x^3 dx = 0.
Si por el contrario f es una función par entonces
R (^) a a f^ =^2
R (^) a 0 f^.
8.1.2 Condiciones suficientes de integrabilidad
Ya hemos visto que las funciones integrables tienen muchas propiedades interesantes. La siguien- te cuestión es ¿hay muchas? ¿Qué funciones son integrables? ¿Tenemos suficientes ejemplos de funciones integrables? El primer resultado que presentamos nos dice que el conjunto de las funciones integrables in- cluye a la mayoría de las funciones con las que hemos estado trabajando hasta ahora. Proposición 8.13 (Condiciones suficientes de integrabilidad). Sea f : [ a , b ]! R una función.
a) Si f es continua, entonces es integrable.
I F
b) Si f es monótona, entonces es integrable.
Observa que no hemos mencionado que la función tenga que ser acotada. En ninguno de los casos es necesario: para funciones monótonas es inmediato y para funciones continuas es conse- cuencia de la propiedad de compacidad. Podemos ir un poco más lejos, si “estropeamos” una función integrable en unos pocos puntos, ni la integrabilidad ni el valor de la integral se alteran.
Proposición 8.14. Sea f : [ a , b ]! R integrable. Sea g : [ a , b ]! R verificando que el conjunto { x^^2 [ a ,^ b ] :^ f^ ( x )^6 =^ g ( x )} es finito. Entonces^ g^ es integrable y Z (^) b
a
f ( x ) dx =
Z (^) b
a
g ( x ) dx.
Esta resultado afirma que si se cambia el valor de una función en una cantidad finita de puntos se obtiene una función que sigue siendo integrable y, de hecho, el valor de la integral no cambia.
Observación 8.15. Existen funciones integrables que no son continuas. Este hecho debería estar claro después de haber afirmado que las funciones monótonas son integrables y recordando que ya conocemos funciones monótonas que no son continuas (como por ejemplo la parte entera). De todas formas la última proposición nos da una manera muy fácil de fabricar funciones integrables que no son continuas: tómese una función continua y cámbiesele el valor en un punto. De este modo se obtiene una función que deja de ser continua en dicho punto pero que tiene la misma integral.
Cambiando el valor de una función en un punto sólo obtenemos discontinuidades evitables. Aunque las discontinuidades no sean evitables, si no son demasiadas, la función es integrable.
Proposición 8.16. Sea f : [ a , b ]! R acotada. Si f tiene una cantidad finita de discontinuidades, entonces es integrable.
Existe una caracterización completa de las funciones integrables. Para darla, se necesita hablar de conjuntos “pequeños”: los llamados conjuntos de medida nula. Si la medida, la longitud en esta caso de un intervalo acotado es `( I ) = sup( I ) inf( I ). Un conjunto de medida nula es un conjunto que tiene longitud cero. Veamos la definición con más detalle.
Definición 8.17. Sea A un subconjunto de R. Diremos que A es un conjunto de medida nula si dado " > 0 existe una sucesión de intervalos acotados { In } verificando que
a) A ✓
S 1
i = 1 In^ , y b) ( _I_ 1 ) +( I 2 ) + · · · + `( In ) ", 8 n 2 N.
Ejemplo 8.18. Cualquier conjunto finito es de medida nula.
Teorema 8.19 (de Lebesgue). Sea f : [ a , b ]! R una función acotada. Son equivalentes:
a) f es integrable.
b) El conjunto de puntos de discontinuidad de f es un conjunto de medida nula.
I T C
x 0 x (^) 1 x 2 yi xn
f ( yi )
f
Figura 8.2 Suma integral o de Riemann
Ya podemos dar la respuesta a la pregunta que planteamos al principio de la sección: para apro- ximarnos al valor de la integral de la función só- lo tenemos que asegurarnos de que la norma de las particiones tiendan a cero independientemen- te de cuáles sean los puntos elegidos en el interva- lo. Una de las formas más fáciles de conseguirlo es dividiendo el intervalo en n trozos iguales y hacer n tender a infinito. Esta es una versión “light” del teorema de Dar- boux que, de hecho, permite caracterizar las fun- ciones integrables utilizando sumas integrales en lugar de sumas superiores e inferiores.
Teorema 8.22 (de Darboux). Sea f : [ a , b ]! R una función acotada y sea { Pn } una sucesión de particiones del intervalo [ a , b ] con lim n! k Pn k = 0_. Entonces, si S_ (^) n son sumas de
Riemann asociadas a Pn se cumple (^) n lim!1 S (^) n =
Z
f.
8.2 Teorema fundamental del Cálculo
Si f es una función definida y a es un elemento de su dominio, diremos que f es integrable en [ a , a ] y que
R (^) a a f^ ( x )^ dx^ =^0. También convendremos que^
R (^) b a f^ =^ ^
R (^) a b f^. Definición 8.23. Sea I un intervalo. Diremos que f : I! R es localmente integrable si es integrable en cualquier intervalo cerrado y acotado contenido en I.
Ejemplo 8.24.
a) Las funciones continuas y las funciones monótonas son localmente integrables.
b) Si f es integrable en [ a , b ], es localmente integrable en dicho intervalo.
Lema 8.25. Sea f una función localmente integrable en un intervalo I y sean a, b, c 2 I. Entonces Z (^) b
a
f ( x ) dx =
Z (^) c
a
f ( x ) dx +
Z (^) b
c
f ( x ) dx.
Obsérvese que la comodidad del lema anterior radica en que no sabemos como están ordenados a , b y c.
Definición 8.26. Si f es una función localmente integrable en I y a 2 I podemos definir una nueva función que mide como cambia la integral de la función de la forma
F ( x ) =
Z (^) x
a
f ( t ) dt.
A las funciones F definidas de esta forma las llamaremos integrales indefinidas de f.
La integral indefinida es la función que nos da el área sombreada de la Figura 8.3.
T C I
Definición 8.27. Sea I un intervalo de R. Una primitiva de una función f : I! R es una función G : I! R continua y derivable en el interior del intervalo que cumple que G^0 ( x ) = f ( x ) para cualquier x en el interior de I.
a x
Figura 8.3 Integral indefinida
Observación 8.28. Dos integrales indefinidas se diferencian en una constante. Ocurre lo mismo para dos primitivas de una misma función. En efecto, la diferencia entre dos funciones con la misma derivada tiene derivada cero y por tanto es constante (en un interva- lo). En cuanto a integrales indefinidas, si
F ( x ) =
Z (^) x
a
f ( t ) dt , y G ( x ) =
Z (^) x
b
f ( t ) dt
son integrales indefinidas, entonces
F ( x ) G ( x ) =
Z (^) x
a
f ( t ) dt
Z (^) x
b
f ( t ) dt
Z (^) x
a
f ( t ) dt +
Z (^) b
x
f ( t ) dt =
Z (^) b
a
f ( t ) dt.
Existe una gran tendencia a confundir integral y primitiva. Es usual que hablemos de “vamos a calcular la integral” cuando nos estamos refiriendo a “encontremos una función cuya derivada sea...”. Los conceptos de integral definida y primitiva son, en principio, independientes. El objetivo de los dos siguientes resultados es poner de manifiesto que existe una clara relación entre ellos y, de paso, obtener una forma práctica de calcular integrales.
Teorema 8.29 (fundamental del Cálculo). Sea I un intervalo, f : I! R una función localmente integrable y F una integral indefinida de f. Entonces
a) F es una función continua.
b) Si f es continua en a 2 I, entonces F es derivable en a con F^0 ( a ) = f ( a ).
En particular, si f es una función continua, F es una función derivable y F^0 ( x ) = f ( x ) para todo x en I.
Ejemplo 8.30.
a) La función parte entera, E ( x ), es monótona y por tanto integrable en cualquier intervalo. Dicho de otra manera, la función parte entera es localmente integrable en R. Cualquier integral inde- finida será una función continua en todo R y derivable en R \ Z. Sin embargo, la función parte entera no tiene primitiva. El teorema del valor intermedio para las derivadas (Teorema 5.21) nos dice que la función parte entera no es la derivada de nadie porque su imagen no es un intervalo.
b) La función f : [ 1 , 1]! R definida como
f ( x ) =
( (^0) , si x = ± 1 , p^1 1 x^2 ,^ si^ ^1 <^ x^ <^1 , no es integrable por no ser acotada. En cambio, sí admite una primitiva: la función arcoseno.
E I
Corolario 8.35 (Teorema de cambio de variable). Sea : [ a , b ]! R una función derivable y con derivada 0 integrable. Sea I un intervalo tal que ([ a , b ]) ⇢ I y f : I! R una función continua con primitiva G. Entonces Z (^) b
a
( f ) 0 =
Z (^) ( b )
( a )
f = G ( ( b )) G ( ( a )).
8.3 Ejercicios
Ejercicio 8.1. Halla las derivadas de cada una de las funciones siguientes:
a) F ( x ) =
R (^) x a sen
(^3) ( t ) dt ,
b) F ( x ) =
R (^) b x
1 1 + t^2 +sen 2 ( t ) dt ,
c) F ( x ) =
R (^) b a
x 1 + t^2 +sen 2 ( t ) dt.
Ejercicio 8.2. Halla las derivadas de cada una de las funciones siguientes:
a) F ( x ) =
R (^) x 2 0 sen(log(1^ +^ t ))^ dt ,
b) F ( x ) =
R 1
x^2 sen
(^3) ( t ) dt ,
c) F ( x ) =
R (^) x 3 x^2 cos
(^3) ( t ) dt.
E^ Ejercicio 8.3.^ Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función^ f^ :^ R^ +^!^ R^ definida como
f ( x ) =
Z (^) x (^3) x 2
0
e t^ 2 dt.
Como consecuencia, estudiar los extremos relativos de dicha función.
E^ Ejercicio 8.4.^ Calcula el siguiente límite:
lim x! 0
Z (^) sen( x )
x^2 + x
e t^
2 dt
sen^2 ( x )
E^ Ejercicio 8.5.^ Calcula el máximo absoluto de la función^ f^ : [1,^ +^1 [!^ R^ definida por
f ( x ) =
Z (^) x 1
0
( e t^ 2 e ^2 t^ ) dt.
Sabiendo que (^) x !lim+ 1 f ( x ) = 12 (
p ⇡ 1), calcula el mínimo absoluto de f.
Ejercicio 8.6. Calcula el siguiente límite
lim x! 0
R (^2) x x sen(sen( t ))^ dt x^2
I E
Ejercicio 8.7. Se considera la función f ( x ) =
R (^) x (^3) x 2 0 e^ E t^^2^ dt^ ,^8 x^^2 R.
a) Encuentra los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f en R.
b) Calcula los extremos relativos de f.
c) Calcula lim x! 0
f ( x ) sen( x^3 x^2 )
C C
Cálculo de primitivas
9.1 Cálculo de primitivas
Utilizaremos la notación
R
f ( x ) dx para denotar una primitiva de la función f. Además, abu- sando del lenguaje, a menudo hablaremos de “integral de la función” cuando deberíamos decir “primitiva de la función”. Los métodos que vamos a comentar son sólo unos pocos y cubren la mayoría de los casos usuales, pero no debes olvidar que hay muchos más. En cualquier caso, lo primero y más importante es manejar con soltura las derivadas de las funciones elementales. En el Apéndice B puedes encontrar un par de tablas con algunas de las derivadas y primitivas.
Inmediatas Versión general Z xm^ dx = xm +^1 m + 1
Z
g ( x ) m^ g^0 ( x ) dx = g ( x ) m +^1 m + 1
- C ( m 6 = 1) Z dx x = log | x | + C
Z
g^0 ( x ) g ( x ) dx = log | g ( x ) | + C Z ex^ dx = ex^ + C
Z
eg ( x )^ g^0 ( x ) dx = eg ( x )^ + C Z ax^ dx = ax log( a )
Z
ag ( x )^ g^0 ( x ) dx = ag ( x ) log( a )
- C ( a > 0 , a 6 = 1) Z sen( x ) dx = cos( x ) + C
Z
sen( g ( x )) g^0 ( x ) dx = cos( g ( x )) + C Z cos( x ) dx = sen( x ) + C
Z
cos( g ( x )) g^0 ( x ) = sen( g ( x )) + C Z tan x dx = log | cos( x ) | + C
Z
tan( g ( x )) g^0 ( x ) dx = log | cos( g ( x )) | + C Z cotan( x ) dx = log | sen( x ) | + C
Z
cotan( g ( x )) g^0 ( x ) dx = log | sen( g ( x )) |+ C Z sec^2 ( x ) dx = tan( x ) + C
Z
sec^2 ( g ( x )) g^0 ( x ) dx = tan( g ( x )) + C Z cosec^2 ( x ) dx = cotan( x ) + C
Z
cosec^2 ( g ( x )) g^0 ( x ) dx = cotan( g ( x )) + C Z dx p 1 x^2
= arcsen( x ) + C
Z
g^0 ( x ) q 1 g ( x )^2
= arcsen( g ( x )) + C
Z dx 1 + x^2
= arctan( x ) + C
Z
g^0 ( x ) 1 + g ( x )^2
= arctan( g ( x )) + C
C C
Inmediatas Versión general Z xm^ dx = xm +^1 m + 1
Z
g ( x ) m^ g^0 ( x ) dx = g ( x ) m +^1 m + 1
- C ( m 6 = 1) Z senh( x ) dx = cosh( x ) + C
Z
senh( g ( x )) g^0 ( x ) dx = cosh( g ( x )) + C Z cosh( x ) dx = senh( x ) + C
Z
cosh( g ( x )) g^0 ( x ) dx = senh( g ( x )) + C
9.1.1 Cambio de variable
Mediante un cambio de variable es posible transformar la integral en otra más sencilla. Si hace- mos y = ( x ), dy = ^0 ( x ) dx , se tiene Z f ( ( x )) ^0 ( x ) dx =
Z
f ( y ) dy.
Para terminar sólo tenemos que deshacer el cambio. Ejemplo 9.1. Calcular
R (^) ex + 3 e 2 x 2 + ex^ dx. Z ex^ + 3 e^2 x 2 + ex^ dx =
y = ex dy = ex^ dx
Z
y + 3 y^2 2 + y
y dy =
Z
1 + 3 y 2 + y dy
Z
2 + y
dy
= 3 y 5 log | y + 2 | = 3 ex^ 5 log
ex^ + 2
9.1.2 Integración por partes
Si u y v son dos funciones, teniendo en cuenta que ( u · v )^0 = u · v^0 + v · u^0 , obtenemos que Z u ( x ) v^0 ( x ) dx = u ( x ) v ( x )
Z
v ( x ) u^0 ( x ) dx.
Esta fórmula aparece escrita en muchas ocasiones de la forma Z udv = uv
Z
vdu
El teorema especifica con un poco más de rigurosidad las condiciones necesarias.
Teorema 9.2 (Integración por partes). Sean u , v : [ a , b ]! R funciones derivables con derivada continua. Entonces uv^0 y vu^0 son integrables en [ a , b ] y Z (^) b
a
u ( x ) v^0 ( x ) dx = u ( b ) v ( b ) u ( a ) v ( a )
Z (^) b
a
v ( x ) u^0 ( x ) dx.
Ejemplo 9.3. Calcular
R
x ex^ dx. Z x ex^ dx =
(^) u = x , du = dx dv = ex^ dx , v = ex
= x ex^
Z
ex^ dx = x ex^ ex^ = ex ( x 1).
Ejemplo 9.4. Calcular
R
sen( x ) ex^ dx.
C C
Ejemplo 9.6. Calcular
R (^2) x+ 3 x 2 + 2 x+ 2 dx. Como x 2 + 2 x + 2 = (x + 1) 2 + 1 , hacemos el cambio y = x + 1 Z 2 x + 3 x 2 + 2 x + 2
dx =
Z
2(y 1) + 3 y 2 + 1
dy =
Z
2 y y^2 + 1
dy +
Z
dy y^2 + 1 = log(y^2 + 1) + arctan(y) = log(x 2 + 2 x + 2) + arctan(x + 1).
Raíces reales y/o complejas simples
En este caso Q(x) = (x a 1 )(x a 2 )... (x an )(x 2 + b 1 x + c 1 )(x 2 + b 2 x + c 2 )... (x 2 + bm x + c (^) m ).
Lo que vamos a hacer es descomponer de nuevo en fracciones más sencillas de la siguiente manera:
P(x) Q(x)
A 1
x a (^1)
A 2
x a (^2)
A (^) n x a (^) n
B 1 x + C (^1) x 2 + b 1 x + c (^1)
B 2 x + C (^2) x 2 + b 2 x + c (^2)
Bm x + C (^) m x 2 + bm x + c (^) m
donde A 1 , A 2 ,... , A (^) n , B 1 , B 2 ,... , C (^) m son constantes a determinar. Para calcularlas desarrollamos e igualamos los coeficientes del mismo grado.
Observación 9.7. Si el polinomio Q(x) sólo tiene raíces reales se pueden calcular las constantes A 1 ,...,A (^) n dando a la variable x los valores a 1 ,..., a (^) n.
Ejemplo 9.8. Cálculo de
R 1
x 4 1 dx: Como x 4 1 = (x 1)(x + 1)(x 2 + 1), la descomposición nos quedaría:
1 x 4 1
A
x 1
B
x + 1
Cx + D x 2 + 1
Si desarrollamos e igualamos coeficientes:
1 x 4 1
A(x + 1)(x 2 + 1) + B(x 1)(x 2 + 1) + (Cx + D)(x 2 1) x 4 1 1 = (A + B + C)x 3 + (A B + D)x 2 + (A + B C)x + (A B D) A + B + C = 0 A B + D = 0 A + B C = 0 A B D = 1
A = 1 / 4
B = 1 / 4
C = 0
D = 1 / 2
Por tanto, Z dx x 4 1
Z
dx x 1
Z
dx x + 1
Z
dx x 2 + 1 =
log |x 1 |
log |x + 1 |
arctan(x).
Raíces reales múltiples
En este caso el denominador tiene la forma Q(x) = (x a 1 )r^1 (x a 2 )r^2... (x a (^) n )r^ n^ , y podemos descomponer la fracción (^) QP((xx)) en fracciones simples
C C
P ( x ) Q ( x )
A 1
x a (^) 1
A 2
( x a (^) 1 )^2
A (^) r 1 ( x a (^) 1 ) r^^1
B 1
x a (^) 2
B 2
( x a (^) 2 )^2
C (^) r (^) n ( x a (^) n ) r^ n
Cada una de estas fracciones pertenecen a alguno de los casos ya estudiados.
Ejemplo 9.9. Calcular
R 1
( x 1)( x +1) 3 dx 1 ( x 1)( x + 1) 3
A
x 1
B
x + 1
C
( x + 1)^2
D
( x + 1)^3
= A ( x + 1) 3 + B ( x 1)( x + 1) 2 + C ( x 1)( x + 1) + D ( x 1) ( x 1)( x + 1) 3
= ( A + B ) x^3 + (3 A + B + C ) x^2 + (3 A B + D ) x + A B C D ( x 1)( x + 1) 3 =
( x 1)( x + 1) 3
Igualando coeficientes: A + B = 0 3 A + B + C = 0 3 A B + D = 0 A B C D = 1
A = 18
B = 18
C = 14
D = 12.
La integral nos queda Z dx ( x 1)( x + 1) 3
Z
dx x 1
Z
dx x + 1
Z
dx ( x + 1) 2
Z
dx ( x + 1) 3 =
log | x 1 |
log | x + 1 | +
4( x + 1)
4( x + 1)^2
Raíces reales y complejas múltiples. Método de Hermite
El método que vamos a estudiar, conocido como Método de Hermite, consiste en descomponer P ( x ) Q ( x ) como suma de fracciones más simples de una forma muy particular. Pasos a seguir:
Paso 1
Descomponemos el denominador, Q ( x ), como producto de factores de grado 1 y factores de grado 2 irreducibles:
Q ( x ) = ( x a (^) 1 )↵^1 · · · ( x an )↵^ n^ ( x^2 + b 1 x + c (^) 1 ) ^1 · · · ( x^2 + bm x + c (^) m ) m^.
Paso 2
Escribimos el cociente (^) QP (( xx )) de la siguiente forma:
P ( x ) Q ( x )
A 1
x a (^) 1
A (^) n x a (^) n
M (^) 1 x + N (^) 1 x^2 + b (^) 1 x + c (^) 1
M (^) m x + Nm x^2 + b (^) m x + c (^) m
d dx
F ( x ) ( x a (^) 1 )↵^1 ^1 · · · ( x a (^) n )↵^ n^ ^1 ( x^2 + b (^) 1 x + c (^) 1 ) ^1 ^1 · · · ( x^2 + bm x + c (^) m ) m^ ^1
donde A (^) 1 ,... , A (^) n , M (^) 1 ,... , M (^) m , N (^) 1 ,... , N (^) m son coeficientes que tenemos que determinar, y en la fracción que aparece con una derivada F ( x ) es un polinomio genérico de grado uno menos que
C C
Z
x^2 2 x^3 ( x^2 + 1)^2
dx = (5/2) x^2 + 1 x^2 ( x^2 + 1)
log( x^2 + 1).
9.1.4 Integración de funciones trigonométricas
Integrales de la forma
R
sen( ax ) cos( bx ),
R
sen( ax ) sen( bx ),
R
cos( ax ) cos( bx )
Se resuelven usando las identidades
sen( x ) sen( y ) =
[cos( x y ) cos( x + y )],
cos( x ) cos( y ) =
[cos( x y ) + cos( x + y )],
sen( x ) cos( y ) =
[sen( x + y ) + sen( x y )].
Ejemplo 9.12. Z sen(3 x ) cos(2 x ) dx =
Z
sen(5 x ) dx +
Z
sen( x ) dx =
cos(5 x )
cos( x ).
Integrales de la forma
R
tan n^ ( x ),
R
cotan n^ ( x )
Se reducen a una con grado inferior separando tan 2 ( x ) o cotan 2 ( x ) y sustituyéndolo por sec^2 ( x ) 1 y cosec 2 ( x ) 1. Ejemplo 9.13. Calcular
R
tan 5 ( x ) dx. Z tan 5 ( x ) dx =
Z
tan 3 ( x ) tan^2 ( x ) dx =
Z
tan 3 ( x )
sec^2 ( x ) 1
dx
=
Z
tan 3 ( x ) sec^2 ( x ) dx
Z
tan 3 ( x ) dx.
Acabamos por separado cada integral: Z tan 3 ( x ) sec^2 ( x ) dx =
tan 4 ( x ) dx (utilizando el cambio y = tan( x )) Z tan 3 ( x ) dx =
Z
tan( x ) tan^2 ( x ) dx =
Z
tan( x )(sec^2 ( x ) 1) dx
=
Z
tan( x ) sec^2 ( x ) dx
Z
tan( x ) dx =
tan 2 ( x ) + log | cos( x ) |.
Integrales de la forma
R
sen m^ ( x ) cos n^ ( x ), con n o m enteros impares
Se transforman en una integral racional con el cambio y = cos( x ) (si m es impar) o y = sen( x ) (si n es impar). Ejemplo 9.14. Calcular
R (^) cos 3 ( x ) sen 2 ( x ) dx. Z cos^3 ( x ) sen^2 ( x )
dx =
Z
(1 sen^2 ( x )) cos( x ) dx sen^2 ( x )
y = sen( x ) dy = cos( x ) dx
Z
1 y^2 y^2
dy
y
y =
sen( x )
sen( x ).
C C
Integrales de la forma
R
sen m^ ( x ) cos n^ ( x ), con n y m enteros pares
Se resuelven usando las identidades cos^2 ( x ) = 12 (1 + cos(2 x )), y sen^2 ( x ) = 12 (1 cos(2 x )). Ejemplo 9.15. Calcular
R
cos^2 ( x ) dx. Z cos^2 ( x ) dx =
Z
1 + cos(2 x ) 2 dx =
Z
dx 2
Z
cos(2 x ) 2 dx =
x 2
sen(2 x ) 4
Integrales de la forma
R
R (sen( x ), cos( x )), R una función racional par.
Diremos que R es una función racional par si R (sen( x ), cos( x )) = R ( sen( x ), cos( x )). Se re- suelven utilizando el cambio y = tan( x ) Ejemplo 9.16. Calcular
R (^) dx sen^3 ( x ) cos^5 ( x ) Z dx sen^3 ( x ) cos^5 ( x )
y = tan( x ) dy = sec^2 x dx
Z
(1 + y^2 )^3 y^3 dy
=
cotan 2 ( x ) + 3 log (^) | tan( x ) (^) | +
tan 2 ( x ) +
tan 4 ( x ).
Integrales de la forma
R
R (sen( x ), cos( x )), R una función racional
Se trata de calcular primitivas de funciones racionales en sen( x ) y cos( x ), es decir, funciones que sean cociente de dos polinomios en sen( x ) y cos( x ). En general, se hace el cambio de variable t = tan
⇣ (^) x 2
, con lo que sen( x ) = (^12) + tt 2 , cos( x ) = 1 t^ 2 1 + t^2 , y^ dx^ =^
2 dt 1 + t^2. Con este cambio convertimos la integral en la integral de una función racional, que ya hemos estudiado. Ejemplo 9.17. Calcular
R (^) dx sen( x ) tan( x ) Z dx sen( x ) tan( x )
Z
cos( x ) dx sen( x ) cos( x ) sen( x )
tan
✓ (^) x 2
= t
Z
t^2 1 2 t^3
dt
4 t^2
log | t | 2
4 tan^2
⇣ (^) x 2
log
tan
✓ (^) x 2
9.1.5 Integración de funciones hiperbólicas
Integrales de la forma
R
R (senh( x ), cosh( x )), R una función racional
Se trata de calcular primitivas de funciones racionales en senh( x ) y cosh( x ), es decir, funciones que sean cociente de dos polinomios en senh( x ) y cosh( x ). En general, se hace el cambio de variable ex^ = t , con lo que la integral en una racional, que ya hemos estudiado. Ejemplo 9.18. Calcular
R (^) dx 1 +2 senh( x )+3 cosh( x )
