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Números reales
Funciones elementales
1 Números reales
Ejercicio 1. Calcula para qué valores de x se verifica que (^2) xx+− 23 < 13. Ejercicio 2. Encuentra aquellos valores de x que verifican que: a) (^1) x + (^11) −x > 0 , b) x^2 − 5 x + 9 > x, c) x^3 (x − 2)(x + 3)^2 < 0 ,
d) x^2 6 x, e) x^3 6 x, f) x^2 − 3 x − 2 < 10 − 2 x. Ejercicio 3. Discute para qué valores de x se verifica que: a) |x − 1 | |x + 2 | = 3 , b) |x^2 − x| > 1 ,
c) |x − 1 | + |x + 1 | < 1 , d) |x + 1 | < |x + 3 |. Ejercicio 4. ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad x^2 − (a + b)x + ab < 0?
2 Funciones elementales
Ejercicio 5. Calcula el dominio de las siguientes las funciones: a) y =
√ (^) x− 2 x+ 2 b) y = log (^ x x^22 −+^54 xx++^66 ) c) y =^ √^1 −|x x |
d) y = tan (x + π 4 ) e) y = log(sen(x)) f) y = √log(sen(x)) Ejercicio 6. Si f (x) = 1 /x y g(x) = 1 /√x, ¿cuáles son los dominios naturales de f , g, f + g, f · g y de las composiciones f ◦ g y g ◦ f? Ejercicio 7. Estudia si son pares o impares las siguientes funciones: a) f (x) = | x + 1 | − | x − 1 | b) f (x) = log (^11 +−xx^ ) c) f (x) = ex^ + e−x
d) f (x) = ex^ − e−x e) f (x) = sen (| x |) f) f (x) = cos(x^3 )
Ejercicio 8. ¿Para qué números reales es cierta la desigualdad e^3 x+^8 (x + 7) > 0? Ejercicio 9. Comprueba que la igualdad alog(b)^ = blog(a)^ es cierta para cualquier par de números positivos a y b. Ejercicio 10. Resuelve la siguiente ecuación: 1 logx(a) =^
logb(a) +^
logc(a) +^
logd(a).
Funciones elementales
Ejercicio 11. ¿Para qué valores de x se cumple que log(x − 1)(x − 2) = log(x − 1) + log(x − 2)?
Ejercicio 12. Prueba que log (x + √ 1 + x^2 )^ + log (√ 1 + x^2 − x)^ = 0.
Ejercicio 13. Resuelve la ecuación x√x^ = (√x )x^.
Ejercicio 14. Simplifica las siguientes expresiones: a) alog(log^ a)/^ log^ a,
b) loga^ (loga(aax )).
Ejercicio 15. Comprueba que si f (x) = (^1) −^1 x , entonces f ◦ f ◦ f (x) = x. Ejercicio 16. Calcula la inversa de las siguientes funciones a) f (x) = √^31 − x^3 b) f (x) = 1 e+xex Ejercicio 17. ¿Hay algún valor de x e y para los que se cumpla que √x + y = √x + √y? Ejercicio 18. ¿Hay algún valor de x e y para los que se cumpla que (^) x+^1 y = (^1) x + (^1) y?
Ejercicio 19. Estudia si son periódicas y cuál es el periodo de las siguientes funciones: a) 2 cos(3x), b) 4 sen(πx),
c) 3 sen(5x/8), d) | sen(x) | + | cos(x) |. Ejercicio 20. Calcula el valor de sen(7π/12) y cos(π/12). Ejercicio 21. Discute si son ciertas las siguientes identidades: a) arccos(cos(π/4)) = π/ 4 , b) arcsen(sen(10)) = 10 ,
c) arctan(tan(3π/2)) = 3 π/ 2 , d) arccos(cos(x)) = x. Ejercicio 22. Usa las fórmulas de adición para expresar tan(x + y) en términos de tan(x) y tan(y).
