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Grupo de ejercicios 1 – Vectores:
Desarrolle para cada uno de los siguientes ejercicios:
- Hallar las componentes y la longitud del vector 𝑣 que tiene punto inicial 𝑝 y punto final
- Calcular el punto medio del segmento de recta $𝑝$𝑞$
- Encontrar un vector unitario en la dirección de 𝑣
- Realizar la gráfica de los tres objetos anteriores por medio de la herramienta GeoGebra.
Solución:
Para determinar la magnitud del vector realizamos la siguiente operación:
Q − P =
Luego el vector v es:
v =− 9
^
i + 2
^
j + 1
^
k
Y la magnitud será:
⌈ v ⌉ =√(− 9 )
2
2
2
⌈ v ⌉ =√ 81 + 4 + 1 =√ 86
Punto medio del segmento de recta QP
M =
M =
Vector unitario en la dirección de v
u =
√^85
^
i + 2
^
j + 1
^
k )
u =
(
√^85
^
i +
√^85
^
j +
√^85
^
k
)
Grupo de ejercicios 2 – Rectas y planos:
Obtenga una ecuación de la recta que satisfaga las condiciones indicadas. Haga un análisis
de los resultados obtenidos gráficamente con ayuda de GeoGebra:
Para obtener la ecuación de la reca necesitamos el vector director, en este caso por ser
paralelo al eje y se tiene:
v = 1
^
j
O en otra notación
v =
Y la ecuación de la recta será:
x
y
z
= t ∗
x
y
z
t +
( x + 3 )
2
− 2 (^ y
2
2
(
z +
√
)
2
( x + 3 )
2
( y
2
− 3 )^
2
(
z +
√
)
2
Es un hiperboloide de dos hojas que abre sobre el eje y
Grupo de ejercicios 4 – Funciones vectoriales:
En los siguientes ejercicios, para la función vectorial dada (𝑡) escriba sus vectores normales
unitarios, la ecuación de la recta tangente en el punto 𝑃 y su curvatura. Dibuje la curva
trazada por la función vectorial y la recta tangente con ayuda de Geogebra.
R (^ t )=cos 2 t
^
i −sin 3 t
^
j + t
^
k
Los vectores normales unitarios se determinan derivando y hallando la magnitud asi:
R
'
( t )=− 2 sin 2 t
^
i − 3 cos 3 t
^
j + 1
^
k
| R
'
( t )|=√(− 2 sin 2 t )
2
+(− 3 cos 3 t )
2
2
| R
'
( t )|=√ 4 sin
2
2 t + 9 cos
2
3 t + 1
Vector tangente unitario
T =
− 2 sin 2 t
^
i − 3 cos 3 t
^
j + 1
^
k
√^4 sin
2
2 t + 9 cos
2
3 t + 1
Derivamos el vector tangente unitario
T
'
=
[
(− 4 cos 2 t
^
i + 9 sin 3 t
^
j )^ √ 4 sin
2
2 t + 9 cos
2
3 t + 1 −
(− 2 sin 2 t
^
i − 3 cos 3 t
^
j + 1
^
k )∗ 1
( 4 sin
2
2 t + 9 cos
2
3 t + 1 )
− 1
2
∗(
4 sin
2
2 t + 9 cos
2
3 t + 1
Luego para obtener el vector normal unitario calculamos la norma y definimos el vector
unitario así:
N =
T
'
| T
'
Recta tangente en el punto P
Con el punto P, determinamos el parámetro que dio origen al mismo.
R (^ t )=cos 2 t
^
i −sin 3 t
^
j + t
^
k
P =
(
π
)
Grupo de ejercicios 5 – Límites y continuidad:
Calcular el límite y determinar la continuidad de las siguientes funciones en el punto
indicado:
Evaluamos la función en el punto P =(−1,0) en este caso dará:
f (−1,0 )=
Evaluamos el límite
lim
x, y → −1,
1 + x + y
1 − x
2
− 2 xy − y
2
Si evaluamos directamente el límite se indetermina, asi que intentamos factorizar
lim
x, y → −1,
1 + x + y
−( 1 + x + y ) ( x + y − 1 )
lim
x, y → −1,
−( x + y − 1 )
Luego la función es continua en el punto P =(−1,0)
