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Grupo de ejercicios 1 – Integrales dobles.
Una carga eléctrica está distribuida sobre la región 𝑅 de tal manera que su densidad de carga σ(𝑥, 𝑦)
(medida en culombios por metro cuadrado) use integrales dobles para calcular la carga total:
b. σ ( x , y )= 2 yx , donde R es la región acotada por x = 4 − y
2
y y = x + 2
Procedimiento
- Graficamos las curvas de x e y.
Como vemos, hay dos intersecciones entre y (rojo) y x (negro). También, se puede ver que es
más fácil integrar desde el eje y. En el caso contrario tocaría hacer varias integrales.
- Para hallar las intersecciones igualamos respecto a X y realizamos el algebra.
4 − y
2
= y − 2
6 − y − y
2
y
2
Factorizando, obtenemos.
( y + 3 ) ( y − 2 ) = 0
Por lo tanto, las intersecciones son en y = -3 y y = 2 , justo como se puede apreciar en la gráfica.
- Procedemos a calcular la integral.
− 3
2
y − 2
4 − y
2
2 yx dxdy
− 3
2
y ¿ ¿ ¿
− 3
2
y ¿ ¿
− 3
2
y
5
− 9 y
3
2
- Como resultado final, obtenemos
columbios.
Grupo de ejercicios 2 – Integrales triples.
Use Geogebra para dibujar la región 𝑅 y use integrales triples para calcular su volumen, en cada uno de
los casos:
b. 𝑅 está dentro del cono
z =√ x
2
2
y la esfera x
2
2
2
.
Procedimiento
- Graficamos las curvas.
Este volumen se puede hallar tanto por coordenadas cilíndricas como esféricas. En este caso lo
haremos por coordenadas cilíndricas.
- Primero, hallamos la curva intersección entre el cono y la esfera remplazando la ecuación del
cono dentro de la ecuación de la esfera.
x
2
2
x
2
2
x
2
2
x
2
2
2
2
5 x
2
2
x
2
2
Q
x
( x , y ) =
− 2 y
y
2
2
- Planteamos la integral
R
❑
Q
x
( x , y )− P
y
( x , y ) =
R
❑
− 2 y
y
2
2
2 y
ln ( x
2
2
Grupo de ejercicios 4 – Teorema de Stokes.
En cada ejercicio utilice el teorema de Stokes para resolver el problema dado.
b. Calcule la integral ∬ 𝑟𝑜((𝑧 , 𝑥, 𝑦𝑧
2
)) ∙ 𝑑𝑆 donde S es el hemisferio superior de una esfera centrada
en (1,1,1) de radio 3.
Procedimiento.
- Primero se calcula la curva C que genera la esfera con z = 0
( x − 1 )
2
+( y − 1 )
2
2
( x − 1 )
2
+( y − 1 )
2
( x − 1 )
2
+( y − 1 )
2
- Se parametriza la curva C en i, j y k utilizando senos y cosenos.
r
t
=( 1 +√ 8 cos
t
) i +( 1 + √ 8 sen
t
) j + 0 k , 0 ≤ r ≤ 2 π
- Con el teorema de Stokes se tiene que:
C
❑
F ∙ dr =
s
❑
∇ × F ∙ n ds
Por lo tanto, se puede calcular la integral inicial como una integral de línea.
Resolvemos la integral de línea, teniendo en cuenta lo siguiente.
F =
P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z )
C
❑
F ∙ dr =
0
2 π
P ( r ( t ) ) r
i
' ( t ) + Q ( r ( t ) ) r
j
' ( t ) + R ( r ( t ) ) r
k
' ( t ) dt
donde
P
x , y , z
= z ; Q
x , y , z
= x ; R
x , y , z
= y z
2
Finalmente
0
2 π
√
8 cos ( t ) )+¿ ¿
Como resultado se obtiene 8 π.
Grupo de ejercicios 5 – Teorema de la divergencia.
En cada ejercicio utilice el teorema de divergencia para resolver el problema dado.
b. Calcule el flujo del campo de velocidades
F
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (ln(sec(𝑦
2
)), 𝑐𝑜𝑠(xz), z) a través del
paraboloide 𝑦
2
2
- 𝑧 = 2 que se encuentra arriba del plano 𝑧 = 1.
Procedimiento
- Calculamos ¿
F
, teniendo en cuenta lo siguiente.
F =
P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z )
P
x
= 0 ; Q
y
= 0 ; R
z
- Hallamos la curva de intersección reemplazando z = 1 en el paraboloide.
( x )
2
2
( x )
2
+( y )
2
- Aplicando el teorema de la divergencia, tenemos lo siguiente.
s
❑
F ∙ ds =
B
❑
¿ F dV
En nuestro caso y teniendo en cuenta que por la forma la solución en coordenadas cilíndricas
sería más fácil, obtenemos.
z
1
z
2
= 2 −( rcos ( α ))
2
−( rsen ( α ) )
2
, simplificando
z
2
= 2 − r
- Finalmente, planteamos la integral teniendo en cuenta el radio de la circunferencia de
intersección y resolvemos.
0
2 π
0
1
1
2 − r
r dzdrdα =
π
- Como resultado se obtiene
π
.
