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Tarea 3 -Calculo multivariado.
Tipo: Ejercicios
1 / 15
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Unidad 3 - Tarea 3 - Cálculo Vectorial
Presentado a:
ANGEL DE JESUSS URUETA
Entregado por:
Andrés Monsalve Tobón
Código: 1035 833 340
Grupo: 203057_
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
21 DE NOVIEMBRE DE 2023
MEDELLÍN
INTRODUCCIÓN
Podemos hablar del cálculo multivariado como una herramienta que nos permite
estudiar y analizar funciones de varias variables.
En el presente informe pretendo desarrollar diversas actividades que nos adentren en
esa exploración, para una posterior explotación de este recurso vital en nuestra carrera
de ingeniería.
Igualamos los componentes
Despejamos el valor del diferencial de 𝑡 y lo igualamos
Integramos los dos lados
ln (𝑦) = ln (𝑥) + 𝐶
Reescribimos la expresión apoyándonos en los postulados logarítmicos:
ln (𝑦) = ln (𝑥) + 𝐶
𝐶
𝐷
Grupo de ejercicios 3 – teorema de Green
sobre la elipse 2 𝑥
2
2
= 4 en sentido positivo.
encontrados.
a) 𝐹
En base a la ley del trabajo 𝑊 = ∮
𝐹
⃗
∙ 𝑑𝑟⃗ y el teorema de Green nos dice que ∮
𝜕𝑄
𝜕𝑥
𝜕𝑃
𝜕𝑦
) 𝑑𝐴, decimos que:
Antes de resolver la integral de superficie definimos Q y P
Gráfica
Evidencia de la orientación de la curva
Aprendizaje adquirido
El teorema de Green es una herramienta matemática que nos ayuda a relacionar la
integral de línea y la integral de superficie respecto a un campo vectorial, esto nos
favorece en la simplificación del cálculo de trabajo y a obtener un análisis más claro del
comportamiento de algunos sistemas en el cálculo multivariado.
En particular, esta teoría se puede emplear para calcular el trabajo ejecutado por una
partícula que se desplaza a lo largo de una elipse en el campo de las fuerzas “ F”. En
este caso, los resultados obtenidos en la variable del trabajo son igual a - 17.
unidades.
Grupo de ejercicios 4 – Teorema de Stokes
Verificar que se cumple el teorema de Stokes, es decir, verificar que los valores de la
integral de línea y la integral de superficie coinciden.
a) 𝐹
⃗
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 − 𝑧 , 𝑧 − 𝑥 , 𝑥 − 𝑦) y 𝑀 es la intersección del cubo de vértices en los
puntos ( 0 , 0 , 𝑎), ( 0 , 𝑎, 0 ), (𝑎, 0 , 0 ) con el plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =
3 𝑎
2
Graficamos
Tomamos la intersección de los seis segmentos y los sumamos
1
2
3
4
5
6
𝟒
4
𝑡
2
𝑎
2
𝑡
2
4
1
2
1
2
4
4
4
𝑎
0
4
′
𝑎
0
𝑎
0
2
𝟓
5
𝑎
2
𝑡
2
𝑡
2
5
1
2
1
2
5
5
5
𝑎
0
5
′
𝑎
0
𝑎
0
2
𝟔
6
𝑡
2
𝑎
2
𝑡
2
6
′(𝑡)
1
2
1
2
6
6
6
𝑎
0
6
′
𝑎
0
𝑎
0
2
Retornamos los resultados a la forma original/inicial
1
2
3
4
5
6
2
2
Definimos la integral de superficie como ∬
𝑟𝑜𝑡 𝐹 ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴:
𝑟𝑜𝑡 𝐹 =
( − 2 , − 2 , − 2
)
𝑛⃗⃗ =
( − 1 , − 1 , 1
)
∬ 𝑟𝑜𝑡 𝐹 ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴 = ∬(− 2 , − 2 , − 2 ) ∙ (− 1 , − 1 , 1 ) 𝑑𝐴 = ∬ 2 + 2 − 2 𝑑𝐴 = ∬ 2 𝑑𝐴 = 2 ∬ 𝑑𝐴 = 2 𝐴
La presente área es de la figura formada por la intersección, entonces calculamos:
𝐴 =
𝑛 · 𝐿 · 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎
2
=
𝟗
𝟒
𝒂
𝟐
Entonces,
∬ 𝑟𝑜𝑡 𝐹 ∙ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝐴 = 2 ·
9
4
=
𝟗
𝟐
𝒂
𝟐
Graficamos
Se puede observar el volumen encerrado por el paraboloide y el plano 𝑧 = 0 retirando
la parte del paraboloide que delimita el plano 𝑥 + 𝑦 = 2 , es por ello que la expresión
del volumen puede calcularse como
𝑉 = ∬ 𝐹 ∙ 𝑑𝑆
1
− ∬ 𝐹 ∙ 𝑑𝑆
2
Donde,
1
= superficie total del paraboloide
2
= 𝑟egión del paraboloide que delimita el plano 𝑥 + 𝑦 = 2
Calculamos las integrales por separado
∬ 𝑭 ∙ 𝒅𝑺
𝟏
1
2
1
2
1 𝑟
= (𝑠𝑒𝑛(𝑡), cos(𝑡) , 2 𝑟)
1 𝑡
1 𝑟
1 𝑡
2
2
cos(𝑡) , −𝑟)
1
1
1 𝑡
1 𝑟
3
2
0
2 𝜋
0
𝟐
2
2
2
2
1
2
2
2 𝑥
2 𝑦
2 𝑥
2 𝑦
2
2
′
2 𝑥
′
2 𝑦
2
2
√ 4 −𝑥
2
2 −𝑥
2
0
