Cálculo de Varias Variables: Gradiente y Derivada Direccional, Apuntes de Cálculo para Ingenierios

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Cálculo de Varias

Variables

FACULTAD DE INGENIERÍA

Gradiente y Derivada direccional

de una función de varias

variables

Explicando la gradiente y la derivada direccional: Un diálogo sobre cálculo multivariable

• Persona 1: Hola, ¿qué estás estudiando?
• Persona 2: Estoy estudiando cálculo multivariable y estamos viendo los conceptos de gradiente y derivada direccional.
• Persona 1: Suena complicado. ¿Qué son esos conceptos?
• Persona 2: La gradiente es un vector que indica la dirección y magnitud del mayor cambio posible en una función de varias variables. La derivada direccional, por otro lado, mide la tasa de cambio de una función en una dirección específica.
• Persona 1: Hmm, todavía no lo entiendo del todo. ¿Puedes darme un ejemplo?
• Persona 2: Claro, imagina que tienes un campo de cultivo y quieres saber en qué dirección crecen más rápido las plantas. Podrías usar la gradiente para saber la dirección de mayor cambio de la función que representa el crecimiento de las plantas.
• Persona 1: Ah, ya veo. Y la derivada direccional sería la tasa de crecimiento de las plantas en una dirección específica.
• Persona 2: Exacto, podrías caminar en diferentes direcciones en el campo y medir la tasa de crecimiento de las plantas en cada dirección para encontrar las áreas donde están creciendo mejor.
• Persona 1: Eso tiene sentido. Entonces, ¿cómo se calcula la gradiente y la derivada direccional?
• Persona 2: La gradiente se calcula encontrando los derivados parciales de la función en cada variable y agrupándolos en un vector. La derivada direccional se calcula multiplicando la gradiente por un vector de dirección específico.
• Persona 1: Gracias por explicármelo. Realmente ayuda a entender cómo se pueden aplicar estos conceptos en situaciones prácticas

Gradiente de una función de

varias variables

Derivada direccional de una

función de dos variables

CONTENIDOS

Saberes previos Antes de iniciar el estudio de las funciones de varias variables, recordemos algunos contenidos que nos ayudarán a comprender íntegramente lo que estudiaremos en esta lección. ➢Regla de la cadena. ➢Diferencial de una función. ➢Vectores. Resuelva los siguientes ejercicios en su cuaderno, luego compare las soluciones con sus compañeros.

Saberes previos

1. Calcule las derivadas de las siguientes funciones en el punto dado: a) 𝑢 𝑡 = ln 𝑡 2 cos 𝑡 + 1 ; 𝑡 0 = 𝜋 2 . b) 𝑢 𝑠 = sen 2 𝑒 𝑠 sen 𝑠 ; 𝑠 0 = 𝜋 2 .
2. Calcule el diferencial de las funciones siguientes : a) 𝑦 = 4 𝑒 2 𝑥 3 , si 𝑥 = 1 y 𝑑𝑥 = 0 , 01. b) 𝑦 = ln 4 + 𝑥 , si 𝑥 = 2 y 𝑑𝑥 = − 0 , 05. c) 𝑦 = 𝑅 2 − 𝑅 2 − 1 12 , si 𝑅 = 1 , 5 y 𝑑𝑅 = 0 , 02.
3. Determine el vector que va desde el punto 𝑃 1 ; − 1 hasta el punto 𝑄 − 4 ; 1.
4. Determine el vector unitario que forma un ángulo de 𝜋 3 rad con el eje positivo de las abscisas.

Gradiente de una función de

varias variables

Gradiente Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ 𝑛 → ℝ tal que sus derivadas parciales existan en un punto 𝑥 0 ∈ 𝐷. El gradiente de 𝑓 en el punto 𝑥 0 , que se denota 𝜵𝒇(𝒙𝟎) , es el vector 𝛁𝒇 𝒙𝟎 = 𝝏𝒇 𝝏𝒙𝟏 𝒙𝟎 ; 𝝏𝒇 𝝏𝒙𝟐 𝒙𝟎 ; … ; 𝝏𝒇 𝝏𝒙𝒏 𝒙𝟎 Facultad de Ingeniería Otra notación para el gradiente es 𝐠𝐫𝐚𝐝 𝒇. Observación

La dirección de máximo crecimiento viene dada por el

gradiente de la función

Para las siguientes funciones, calcule la dirección de máximo crecimiento de 𝑓 en el punto 𝑃, a) 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥𝑒 𝑦 3 en 𝑃 = (− 1 ; 0 ). c) 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑥 2 en 𝑃 = 1 ; 1. DIRECCIÓN DE ESTUDIOS GENERALES Solución

Derivada direccional de una

función de dos variables

Derivada direccional

Si 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ

𝑛

→ ℝ es una función definida en 𝐷 ⊂ ℝ

𝑛

0

y un vector 𝑣Ԧ ∈ ℝ

𝑛

, la derivada direccional de 𝑓 en el punto 𝑥

0

y en la dirección del vector 𝑣Ԧ se define como:

𝒗

𝟎

= lim

𝒕→𝟎

𝟎

𝟎

siempre y cuando este límite exista.

Derivada direccional y gradiente Si 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ 𝑛 → ℝ es una función diferenciable en 𝑥 0 ∈ 𝐷, entonces la derivada direccional de 𝑓 en el punto 𝑥 0 y en la dirección del vector unitario 𝒖 se calcula por la fórmula: 𝑫

𝒇 𝒙

= 𝛁𝒇 𝒙

∙ 𝒖 Así como las derivadas parciales nos dan información de la razón de cambio de 𝑓 a lo largo de los ejes coordenados, la derivada direccional hace lo mismo pero en una dirección 𝑢 específica.

EJEMPLO PARA MOSTRAR EN CLASE

DIRECCIÓN DE ESTUDIOS GENERALES En cada caso calcule la derivada direccional de 𝑓 en el punto 𝑃 dado y en la dirección del vector 𝑣Ԧ indicada. a) 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥²𝑦 + 𝑥 3 𝑦², en 𝑃( 1 ; − 2 ), 𝑣Ԧ = (− 3 ; 6 ). b) 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 2

• 𝑦 2 , en 𝑃( 1 ; 1 ) hacia el punto 0 ; 0. c) 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥𝑒 𝑦 3 , en 𝑃(− 1 ; 0 ) , 𝑣Ԧ forma un ángulo de 𝜋 3 radianes con el semieje positivo 𝑋. Solución