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Capítulo 1
Práctica 1. Conjuntos
1.1. Conjuntos
Vamos a ver aquí cómo Maxima trae implementados algunos conceptos básicos sobre conjuntos. Lo primero es ver cómo introducir conjuntos. Tenemos, en principio, dos opciones:
Enumerando los elementos, separados por "," y encerrándolos entre llaves. (%ixx) A:{1,2,3,4,5,6,7,8,9}; (%oxx) {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Mediante la sentencia set (%ixx) B:set(2,4,6,8,10,12,14,16); (%oxx) {2,4,6,8,10,12,14,16}
Ahora tenemos comandos para calcular uniones, intersecciones, etc. (%ixx) union(A,B); (%oxx) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16} (%ixx) intersection(A,B); (%oxx) {2,4,6,8} (%ixx) setdifference(A,B); (%oxx) {1,3,5,7,9} También tenemos la posibilidad de preguntar algunas cuestiones, tales como si un elemento pertenece o no a un conjunto, si un conjunto es o no subconjunto de otro, etc. (%ixx) elementp(5,A); (%oxx) true (%ixx) elementp(5,B); (%oxx) false (%ixx) subsetp(A,B); (%oxx) false (%ixx) subsetp({2,6,10},B); (%oxx) true También se puede preguntar a Maxima con el comando is. Como argumento, debe ir una expresión lógica. Por ejemplo: (%ixx) is(A=B); (%oxx) false (%ixx) is(2<3); (%oxx) true Otras funciones elementales sobre conjuntos: (%ixx) cardinality(B); (%oxx) 8 (%ixx) powerset(intersection(A,B));
(%oxx) {{},{2},{2,4},{2,4,6},{2,4,6,8},{2,4,8},{2,6},{2,6,8},{2,8},{4},{4, },{4,6,8},{4,8},{6},{6,8},{8}} Vemos cómo el conjunto vacío lo representa como {} Vamos a calcular, por ejemplo, el cardinal de P(A ∪ B). (%ixx) cardinality(powerset(union(A,B))); (%oxx) 8192 que es 213. A partir de lo visto, definimos una función que nos calcule la diferencia simétrica de dos conjuntos. Sabemos que dados dos conjuntos A y B se define A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) (es decir, A∆B es el conjunto formado por los elementos que están exactamente en uno de los dos conjuntos, A o B). Entonces: (%ixx) dif_sim(X,Y):=union(setdifference(X,Y),setdifference(Y,X))$ (%ixx) dif_sim(A,B); (%oxx) {1,3,5,7,9,10,12,14,16} También puede definirse la diferencia simétrica como A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B). Como ejercicio, define una función que calcule la anterior expresión, y comprueba con algunos ejemplos que las dos definiciones son equivalentes. Si tenemos un conjunto X, podemos considerar el subconjunto formado por los elementos de X que satisfacen una determinada propiedad. Esto lo hacemos con la sentencia subset, que tiene dos argumentos: por una parte el conjunto de partida, y por otra la condición que deben cumplir los elementos para pertenecer al subconjunto (%ixx) f(x):=is(x>6)$ (%ixx) C:subset(A,f); (%oxx) {7,8,9} Para especificar la condición también es posible utilizar algunas funciones que nos trae Maxima, como por ejemplo primep, que nos dice si un número es o no primo, oddp o evenp, que nos dicen si un número es par o impar, etc. (%ixx) Pr:subset(A,primep); (%oxx) {2,3,5,7} Otra forma de obtener conjuntos es a partir de listas. La función setify transforma una lista en un conjunto, mientras que la función listify transforma un conjunto en una lista. (%ixx) setify([2,3,5,6,8,9,11,12]); (%oxx) {2,3,5,6,8,9,11,12} (%ixx) listify(A); (%oxx) [1,2,3,4,5,6,7,8,9] Como sabemos, en un conjunto no puede haber elementos repetidos, mientras que en una lista sí. Por tanto, si tenemos una lista con elementos repetidos, Maxima los ignora al pasarla a conjunto. (%ixx) x:[1,2,2,3,3,3,4,4,4,4]$ (%ixx) setify(x); (%oxx) {1,2,3,4} También sabemos que en una lista, el orden de los elementos es significativo, no así en conjuntos: (%ixx) is([1,2,3]=[3,2,1]); (%oxx) false (%ixx) is({1,2,3}={3,2,1}); (%oxx) true Como ejemplo, vamos a construir el conjunto de los números primos menores que 100. Para esto primero construimos una lista con los 100 primeros números, a continuación la pasamos a conjunto y por último la filtramos, quedándonos únicamente con los elementos que sean primos. (%ixx) x:makelist(i,i,1,100)$ D:setify(x)$ P:subset(D,primep); (%oxx) {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89, } Con Maxima podemos construir el producto cartesiano de dos o más conjuntos. (%ixx) A1:{a,b,c}$ A2:{3,5}$ cartesian_product(A1,A2); (%oxx) {[a,3],[a,5],[b,3],[b,5],[c,3],[c,5]} También podemos construir conjuntos con la instrucción makeset. Esta función tiene tres argumentos. Una expresión, una lista de variables, y un conjunto de listas. Por ejemplo:
