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Cap´ıtulo 1
Teor´ıa de Conjuntos
Definici´on 1.
Conjunto: [Cantor] Cualquier colecci´on de objetos determinados y bien distintos en nuestra percepci´on o pensamiento, reunidos en un todo. Ejemplos: N´umeros naturales, ´arboles de un bosque, letras de un alfabeto. Elemento: Cada uno de los elementos que constituyen un conjunto. Pertenencia: Relaciona los elementos con el conjunto que forman.
Normalmente se utilizan las letras min´usculas para los elementos, may´usculas para los conjuntos y el s´ımbolo ∈ o 3 para la pertenencia. As´ı, por ejemplo, que a es un elemento del conjunto A lo escribiremos
a ∈ A o A 3 a
que se lee a pertenece a A. Por el contrario si el elemento b no pertenece a A (o no es elemento de A) lo escribiremos b /∈ A
Ejemplo 1.1 Sea S = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, 0 ∈ S, 7 ∈/ S.
Definici´on 1.2 Dados dos conjuntos A y B, se dice que
son iguales si tienen los mismos elementos y se representa A = B. En caso contra- rio A 6 = B. que el conjunto A est´a contenido o incluido en B si todos los elementos de A pertenecen a B y se representa A ⊆ B o B ⊇ A. En caso contrario, se escribe A * B o B + A. Por A ⊂ B denotamos que A ⊆ B y A 6 = B y se llama inclusi´on estricta.
Los conjuntos formados por un solo elemento se denominan conjuntos unitarios. El conjunto sin ning´un elemento se denomina conjunto vac´ıo y se representa con el s´ımbolo ∅. Seg´un la definici´on de inclusi´on, para cualquier conjunto A se tiene
∅ ⊆ A
Definici´on 1.3 Sean A y B dos subconjuntos de un conjunto E. Se definen
Conjunto intersecci´on de A y B A ∩ B = {x ∈ E | x ∈ A y x ∈ B}
Conjunto uni´on de A y B A ∪ B = {x ∈ E | x ∈ A o´ x ∈ B}
Conjunto complementario de A A′^ = E\A = {x ∈ E | x /∈ A}
Conjunto diferencia A\B = {x ∈ E | x ∈ A y x /∈ B}
10. A ∩ A′^ = ∅ A ∪ A′^ = E
Definici´on 1.4 Dados los conjuntos A y B, se denomina producto cartesiano de A y B, y se representa A × B, al conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer elemento pertenece al conjunto A y el segundo elemento pertenece al conjunto B, es decir,
A × B = {(a, b) | a ∈ A y b ∈ B}
Ejemplo 1. R^2 = R × R
Nota 1.
(x, y) ∈ A × B ⇐⇒ x ∈ A y y ∈ B (x, y) ∈/ A × B ⇐⇒ x /∈ A o´ y /∈ B
- Como los pares son ordenados, si a 6 = b entonces (a, b) 6 = (b, a) Luego, en general, A × B 6 = B × A. Son iguales si A = B y se representa A × A = A^2
- (x, y) = (w, z) ⇐⇒
x = w y = z
- Lo dicho anteriormente se pueden extender de forma natural a m conjuntos. As´ı, se tiene A 1 × · · · × Am = {(a 1 ,... , am) | ai ∈ Ai i = 1,... , m} A × · · · × A = Am (a 1 ,... , am) = (b 1 ,... , bm) ⇐⇒ ai = bi i = 1,... , m. Un ejemplo lo encontramos en Rn
Ejemplo 1.3 Sean A = { 1 , 2 , 3 } y B = {a, b}.
A × B = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)} B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
