teoria conjuntos, Apuntes de Álgebra

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Algebra Lineal y Estructuras Matem´´ aticas

J. C. Rosales y P. A. Garc´ıa S´anchez

Departamento de Algebra, Universidad de Granada´

2. OPERACIONES CON CONJUNTOS 4

y a los elementos de A 1 × · · · × An les llamaremos n-uplas. Al conjunto A×

n · · · ×A lo denotaremos por An, para n un entero positivo. El cardinal de un conjunto es el n´umero de elementos que contiene. Usaremos ]A para denotar el cardinal del conjunto A.

]P(A) = 2 ]A. ](A × B) = ]A · ]B.

Maxima 1: Los conjuntos en maxima se pueden definir usando llaves o bien la funci´on set.

(%i1) {a,a,b,c};

( %o1) {a, b, c}

Definamos un par de conjuntos y veamos c´omo se pueden hacer las operaciones hasta ahora descritas con ellos.

(%i2) A:{1,2,3,4};

( %o2) {1, 2, 3, 4}

(%i3) B:set(3,4,5);

( %o3) {3, 4, 5}

(%i4) elementp(5,A);

( %o4) false

(%i5) elementp(1,A);

( %o5) true

(%i6) is (A=B);

( %o6) false

(%i7) is (A=A);

( %o7) true

(%i8) setequalp(A,B);

( %o8) false

(%i9) subsetp(A,B);

( %o9) false

(%i10) subsetp(A,union(A,B));

( %o10) true

(%i11) intersection(A,B);

( %o11) {3, 4}

(%i12) union(A,B);

( %o12) {1, 2, 3, 4, 5}

(%i13) setdifference(A,B);

( %o13) {1, 2}

2. OPERACIONES CON CONJUNTOS 5

(%i14) powerset(B);

( %o14) {{}, { 3 }, {3, 4}, {3, 4, 5}, {3, 5}, { 4 }, {4, 5}, { 5 }}

N´otese que el conjunto vac´ıo se denota por {}.

(%i15) is(cardinality(powerset(A))=2^(cardinality(A)));

( %o15) true

(%i16) cartesian_product(A,B);

( %o16) {[1, 3], [1, 4], [1, 5], [2, 3], [2, 4], [2, 5], [3, 3], [3, 4], [3, 5], [4, 3], [4, 4], [4, 5]}

Podemos adem´as elegir los elementos de A que son impares.

(%i17) subset(A,oddp);

( %o17) {1, 3}

O bien las sumas de los pares del producto cartesiano con A y B.

(%i18) makeset(a+b, [a,b], cartesian_product(A,B));

( %o18) {4, 5, 6, 7, 8, 9}

Maxima 2: Pongamos un ejemplo de una funci´on cuyos argumentos sean conjuntos. Podemos definir la diferencia sim´etrica de dos conjuntos A y B como (A \ B) ∪ (B \ A).

(%i1) A:{1,2,3,4};

( %o1) {1, 2, 3, 4}

(%i2) B:set(3,4,5);

( %o2) {3, 4, 5}

(%i3) dif_sim(X,Y):=union(setdifference(X,Y),setdifference(Y,X))$

Para definir funciones usamos := en vez de :. El “$” al final de una l´ınea inhibe la salida.

(%i4) dif_sim(A,B);

( %o4) {1, 2, 5}

Maxima 3: Podemos definir conjuntos utilizando listas y viceversa, lo cual hace que podamos usar las funciones espec´ıficas para listas en conjuntos. Adem´as se pueden definir subconjuntos utilizando funciones booleanas, tal y como vemos a continuaci´on.

(%i1) l:makelist(i,i,1,100)$ A:setify(l)$

Crea un conjunto con los los enteros del uno al cien.

(%i3) B:subset(A,primep);

( %o3) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}

Escojo aquellos que son primos.

(%i4) C:subset(B,lambda([x],is(x>80)));

4. RELACIONES DE ORDEN 7

1. Ai 6 = ∅ para todo i ∈ I,
2. Ai ∩ Aj = ∅ para cualesquiera i, j ∈ I con i 6 = j,
3. X =

i∈I Ai^ (la uni´on de todos los elementos de la familia^ {Ai}i∈I). Se puede comprobar f´acilmente que el hecho de ser R una relaci´on de equivalencia sobre A hace que A/R sea una partici´on de A. Es m´as, si {A 1 ,... , An} es una partici´on de A, entonces

R = (A 1 × A 1 ) ∪ · · · ∪ (An × An)

es una relaci´on de equivalencia sobre A (n´otese que para a, b ∈ A, a R b si y s´olo si existe i ∈ {1,... , n} tal que a, b ∈ Ai) y A R

= {A 1 ,... , An}.

Maxima 4: Veamos c´omo se pueden calcular las clases de equivalencia del conjunto A = {1,... , 10} sobre la relaci´on de equivalencia x R y si x − y es un m´ultiplo de 3. Primero definimos el conjunto {1,... , 10}. Para ello hacemos una lista con los elementos del uno al diez, y luego la convertimos en conjunto.

(%i1) l:makelist(i,i,1,10);

( %o1) [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

(%i2) s:setify(l);

( %o2) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(%i3) equiv_classes(s,lambda([x,y],is(remainder(x-y,3)=0)));

( %o3) {{1, 4, 7, 10}, {2, 5, 8}, {3, 6, 9}}

Tambi´en podr´ıamos haber definido R, y luego calculado A/R.

(%i4) R(x,y):=is(remainder(x-y,3)=0);

( %o4) R (x, y) := is (remainder (x − y, 3) = 0 )

(%i5) equiv_classes(A,R);

( %o5) {{1, 4, 7, 10}, {2, 5, 8}, {3, 6, 9}}

Se ve que es una partici´on de A, pues todos sus elementos son no vac´ıos, disjuntos dos a dos, y la uni´on de ellos da A.

4. Relaciones de orden Una relaci´on binaria ≤ sobre un conjunto A es una relaci´on de orden si verifica las siguientes propiedades.

1. Para todo a ∈ A, a ≤ a (reflexiva).
2. Dados a, b ∈ A, si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b (antisim´etrica).
3. Para cualesquiera a, b, c ∈ A, si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c (transitiva).

4. RELACIONES DE ORDEN 8

Ejemplos de orden son ≤ en N, Z, Q y R. Si un conjunto A tiene una relaci´on de orden ≤, al par (A, ≤) lo llamaremos conjunto ordenado. Ejercicio 3: En el conjunto de los n´umeros naturales N = {0, 1, 2,.. .} definimos la relaci´on a | b si b es m´ultiplo de a. Demuestra que | es una relaci´on de orden.

Ejercicio 4: Sea X un conjunto. Demuestra que ⊆ es una relaci´on de orden en P(X).

Un conjunto ordenado (A, ≤) es totalmente ordenado si para cada a, b ∈ A, se tiene que a ≤ b o b ≤ A. Ejercicio 5: En Nn^ definimos la siguiente relaci´on binaria

(a 1 ,... , an) ≤p (b 1 ,... , bn) si a 1 ≤ b 1 ,... , an ≤ bn.

Demuestra que ≤p es una relaci´on de orden (orden producto cartesiano), pero no es un orden total para n ≥ 2.

Ejercicio 6: En Nn^ definimos la siguiente relaci´on binaria (a 1 ,... , an) lex (b 1 ,... , bn) si la primera coordenada no nula de (a 1 − b 1 ,... , an − bn) ∈ Zn^ es positiva (caso de que exista, es decir, puede ser que todas sean nulas). Demuestra que lex es un orden total.

4.1. Elementos notables de un conjunto ordenado. Sea (A, ≤) un conjunto ordenado y sea B un subconjunto de A.

1. Decimos que m es un elemento maximal de B si m ∈ B y para cualquier b ∈ B tal que m ≤ b se tiene que m = b.
2. Decimos que m es un elemento minimal de B si m ∈ B y para cualquier b ∈ B tal que b ≤ m se tiene que m = b.
3. Un elemento m ∈ B es el m´aximo de B si b ≤ m para todo b ∈ B.
4. Un elemento m ∈ B es el m´ınimo de B si m ≤ b para todo b ∈ B.
5. Decimos que c ∈ A es una cota inferior de B si c ≤ b para todo b ∈ B.
6. Decimos que c ∈ A es una cota superior de B si b ≤ c para todo b ∈ B.
7. Un elemento s ∈ A es el supremo de B si es el m´ınimo de todas las cotas superiores de B.
8. Un elemento i ∈ A es el ´ınfimo de B si es el m´aximo de todas las cotas inferiores de B.

Ejercicio 7: En (N, |), calcula los elementos notables de {1, 2, 3, 4, 5}.

Maxima 5:

(%i1) menores(x,rel,conj):=subset(conj,lambda([y],rel(y,x) ))$ (%i2) mayores(x,rel,conj):=subset(conj,lambda([y],rel(x,y) ))$ (%i3) D:setdifference(divisors(30),{1,2,30}); ( %o3) {3, 5, 6, 10, 15}

(%i4) menores(15,lambda([x,y],is(mod(y,x)=0)), {1,2,3,4,5,6,7}); ( %o4) {1, 3, 5}

(%i5) minimal(x,rel,con):=is(menores(x,rel,con)={x}) and elementp(x,con)$ (%i6) maximal(x,rel,con):=is(mayores(x,rel,con)={x}) and elementp(x,con)$ (%i7) minimal(3,lambda([x,y],is(mod(y,x)=0)), D); ( %o7) true

(%i8) minimales(rel,con):=subset(con,lambda([x],minimal(x,rel,con)))$ (%i9) maximales(rel,con):=subset(con,lambda([x],maximal(x,rel,con)))$

5. APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS 10
6. Aplicaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos. Una aplicaci´on f de A en B, que denotaremos como f : A → B, es una correspondencia que a cada elemento de A le asocia un ´unico elemento de B (de nuevo esta definici´on es algo imprecisa, pero suficiente para nuestro curso). Si a ∈ A, al elemento que le asocia f en B lo denotamos por f(a), y se llama la imagen de a por f. Los conjuntos A y B son el dominio y codominio de f, respectivamente. Llamaremos conjunto imagen de f a

Im(f) = {f(a) tales que a ∈ A}.

Ejercicio 8: Sea Q el conjunto de los n´umeros racionales y R el de los reales. ¿Tiene sentido decir que f : Q → R, x 7 → xx+−^11 es una aplicaci´on?

Ejercicio 9: Dada la aplicaci´on f : N → Z, f(n) = 2n + 1. Calcula Im(f).

5.1. Tipos especiales de aplicaciones. Si f : A → B es una aplicaci´on, diremos que f es

1. inyectiva si f(a) = f(a′) para a, a′^ ∈ A, implica a = a′;
2. sobreyectiva si Im(f) = B (para todo b ∈ B, existe a ∈ A tal que f(a) = b);
3. biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Ejercicio 10: Demuestra que la aplicaci´on f : Q → R definida por f(x) = 12 (2x + 1 ) es inyectiva pero no sobreyectiva.

Ejercicio 11: Demuestra que la aplicaci´on f : Z → N, f(x) = |x| (valor absoluto) es sobreyectiva pero no inyectiva.

Ejercicio 12: Demuestra que la aplicaci´on f : Q → Q, f(x) = 3x 2 + 1 es biyectiva.

5.2. Composici´on de aplicaciones. Sean f : A → B y g : B → C dos aplicaciones. La aplicaci´on composici´on de f y g (tambi´en conocida como f compuesta con g) es la aplicaci´on g ◦ f : A → C, definida como (g ◦ f)(a) = g(f(a)). Para calcular la imagen de un elemento por la composici´on primero aplicamos f y luego g. Ejercicio 13: Sean f : Z → Z, x 7 → x^2 , y g : Z → Q, y 7 → 12 (y + 1 ). Calcula g ◦ f.

La composici´on de aplicaciones es asociativa (f◦(g◦h) = (f◦g)◦h) pero no es conmutativa (f ◦ g no tiene por qu´e ser igual a g ◦ f).

Maxima 6: Veamos como las funciones cuadrado y sumar uno no conmutan al componerlas.

(%i1) f(x):=x^2$ g(x):=x+1$

(%i2) f(g(1)); g(f(1));

( %o2) 4

( %o3) 2

(%i4) f(g(x))=g(f(x));

( %o4) (x + 1 )^2 = x^2 + 1

(%i5) expand(%);

5. APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS 11

( %o5) x^2 + 2 x + 1 = x^2 + 1

Sea A un conjunto. La aplicaci´on identidad en A es la aplicaci´on (^1) A : A → A definida como (^1) A(a) = a para todo a ∈ A.

Una aplicaci´on f : A → B es biyectiva si y s´olo si existe una ´unica aplicaci´on g : B → A tal que g ◦ f = (^1) A y f ◦ g = (^1) B. Dicha aplicaci´on diremos que es la inversa de f y la denotaremos por f−^1.

Ejercicio 14: Demuestra que la aplicaci´on f : Q → Q, f(x) = 13 (2x + 1 ) es biyectiva. Calcula f−^1.

Maxima 7: Veamos que la inversa de la funci´on f(x) = x+ 1 (suponemos que el dominio y codominio son los n´umeros enteros) es g(x) = x − 1.

(%i1) f(x):=x+1$ g(x):=x-1$

(%i3) f(g(x)); g(f(x));

( %o3) x

( %o4) x

Maxima 8: Consideremos ahora la aplicaci´on f : {0, 1,... , 7} → {0, 1,... , 7}, que dado un elemento x de {0, 1,... , 7}, devuelve el resto de dividir por 8 la cantidad x^2 + 1.

(%i1) s:setify(makelist(i,i,0,7)); ( %o1) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

(%i2) f(x):=remainder(x^2+1,8)$ Calculemos el conjunto imagen de f.

(%i3) makelist(f(x),x,0,7); ( %o3) [1, 2, 5, 2, 1, 2, 5, 2]

(%i4) setify(%); ( %o4) {1, 2, 5} Por lo que esta aplicaci´on no es sobreyectiva (por ejemplo, el 0 no est´a en la imagen). Veamos ahora qui´en es la preimagen del 1. Para ello calculamos todos los elementos que se aplican en ´el por f.

(%i5) subset(s,lambda([x],is(f(x)=1))); ( %o5) {0, 4} Esto nos dice que f( 0 ) = f( 4 ) = 1 , por lo que f tampoco es inyectiva. Por ´ultimo, para cualquier aplicaci´on f : X → Y podemos definir Rf, que es una relaci´on de equivalencia en X, de la siguiente forma

x Rf y si f(x) = f(y). Veamos el conjunto de clases de equivalencia en nuestro ejemplo bajo esta relaci´on.

(%i6) equiv_classes(s,lambda([x,y],is(f(x)=f(y)))); ( %o6) {{0, 4}, {1, 3, 5, 7}, {2, 6}}