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2. Concentración de esfuerzos. La concentración de esfuerzos es un obstáculo que los ingenieros debemos enfrentar al diseñar un elemento que requiera cambios súbitos de geometría debido a su aplicación, como son barrenos, cuñas, etc. en otras palabras, que tenga concentradores de esfuerzos. Debido a la infinidad de diferentes concentradores de esfuerzos que pueden estar presentes en una placa, por su geometría, posición u otras características, es de vital importancia conocer y entender los conceptos básicos de lo que en sí la concentración de esfuerzos. 2.1 Definición. Las fórmulas elementales usadas en el diseño se basan en elementos que tienen una sección transversal constante o que el cambio en esta es gradual. Estas condiciones, sin embargo, difícilmente se encuentran en la realidad debido a los requerimientos o las características de los elementos de máquinas o estructuras actuales. La presencia de cuñeros, surcos, agujeros, etc. Provoca modificaciones en la distribución de los esfuerzos. Por lo que aparecen esfuerzos mayores en algunas zonas. Este fenómeno se conoce como concentración de esfuerzos. El concepto de concentración de esfuerzos, se refiere al estado macroscópico de esfuerzos, y tiene un significado único para problemas en el plano que involucran la definición de esfuerzo promedio. Entonces, si se barrena un agujero en una placa sometida a tensión, el esfuerzo presente en el elemento es constante siempre y cuando se mida a una distancia apreciable del agujero, pero el esfuerzo tangencial en el borde del agujero se vería incrementado considerablemente.(figura1) Este cambio o incremento en el esfuerzo en el borde es denominado concentración de esfuerzos. Por lo que es importante de terminar el factor de concentración de esfuerzos kt
figura 1.
Por el concepto de esfuerzo macroscópico se entiende generalmente el esfuerzo promedio calculado relacionado al volumen de material caracterizado por una estructura muy fina. En términos de los requerimientos este concepto es lo suficientemente preciso para la mayoría de las situaciones de diseño. Esta situación se presenta, no solamente en caso de un agujero, sino donde hay cambios súbitos en la sección transversal. Ya que en esas zonas la distribución de esfuerzos tendrá altos gradientes en puntos específicos, ya que cuando la sección transversal es constante el flujo de esfuerzos es uniforme, pero en donde hay cambios en esta sección transversal, el flujo de esfuerzos se vuelve irregular. Observemos el siguiente ejemplo consistente en una placa con un agujero en el centro, sometida a tensión, a la cual se le hace un análisis foto-elástico (capítulo 2.4) para determinar la localización de los gradientes en el flujo de esfuerzos. El espesor de la placa es t = .125´ altura w = 1.5´ diámetro del agujero d = .5´ y fuerza P = 60 lb. En la sección A-A, el flujo de esfuerzos es uniforme, tal y como se esperaba, mientras que en la sección B-B, el flujo se volvió irregular debido a la presencia del agujero. (figura2)
redondeadas en las cuales la curvatura no es muy cerrada. Sin embargo, la información aún en la actualidad resulta limitada, dado que los experimentos se han realizado bajo solo ciertas características como son la presencia de un solo agujero o cierta carga. Y no cuando varios concentradores de esfuerzos están presentes en distintos arreglos geométricos. En el segundo grupo de concentradores de esfuerzos, una cuestión muy común esta relacionada con la diferencia en el efecto que tiene el tipo de carga en una flecha circular y una barra rectangular con agujeros circulares centrales, ya que la concentración de esfuerzos varía de acuerdo a la posición del agujero y se nota mas susceptibilidad por parte de la barra rectangular. Donde hay ángulos afilados, cuñeros o elementos similares, el valor teórico de la concentración de esfuerzos puede ser muy alto, y por esta razón la teoría debería corregirse para radios pequeños de curvatura. Bajo carga repetitiva, sin embargo, los elementos afilados como ángulos, cuñeros pueden ser prejudiciales. Las concentraciones de esfuerzos más grandes se darán donde la penetración en el elemento es mayor, como son cuñeros profundos, mientras que el radio de curvatura y el ángulo son pequeños. (figura 3).
figura 3 La concentración de esfuerzos en presencia de surcos produce el efecto de un patrón de esfuerzos combinados, disminuyendo el esfuerzo cortante, por ejemplo, en un elemento cilíndrico con dichos surcos. Este efecto resulta en una fractura de copa y cono en un ensayo a tensión, es decir, un material dúctil presenta fractura frágil en el centro.
Desde el punto de vista del diseño de estructuras, algunas consideraciones relacionadas deben ser mencionadas aunque brevemente. En adición a los problemas de surcos o esquinas afiladas, una distribución no uniforme de esfuerzos se puede encontrar en uniones soldadas, particularmente en el caso de soldaduras transversales (figura 4). Donde podemos observar la manera de colocar el hilo para disminuir la concentración de esfuerzos (a), a diferencia de la manera tradicional de hacerlo, que provoca un flujo de esfuerzos mas irregular (b).
figura 4
2.3 Factor teórico de concentración de esfuerzos El factor de concentración de esfuerzos puede ser obtenido por métodos teóricos y experimentales. Extensas tablas para este factor han sido publicadas, y el diseño contra falla por fatiga en la presencia de concentradores de esfuerzos ha sido analizado en diversos libros. Ejemplo (figura 5).
El factor Kt definido como Kt = σσ^ nom max
Donde σnom es el esfuerzo nominal determinado por el esfuerzo simple en las ecuaciones de los materiales. Generalmente, el esfuerzo nominal es determinado usando toda el área transversal σmax es el esfuerzo máximo obtenido por un método experimental.
2.4 Métodos de cálculo del factor de concentración de esfuerzos en una placa con concentradores de esfuerzos. El factor de concentración de esfuerzos puede obtenerse tanto por métodos matemáticos como experimentales. Algunos métodos se explican brevemente a continuación... Métodos experimentales.
-Método de capa o cubierta frágil (brittle coating method). El método de capa frágil tiene una larga historia dentro del análisis de esfuerzos, pero su comienzo real fue en la observación del comportamiento del acero rolado en caliente con una cascarilla, ya que al someterlo a esfuerzo actuaba en forma inusual. En un ensayo de tensión, por ejemplo, la cascarilla se desprende en un patrón geométrico a lo largo de líneas donde el esfuerzo cortante es mayor. Estas líneas de máximo esfuerzo cortante fueron observadas por primera vez por Lueder, por lo que se denominan líneas de Lueder. La descamación de la cascarilla es una representación macroscópica de un fenómeno microscópico. Desde estas observaciones, se ha visto que se podía usar una cubierta de cal o cemento Pórtland y el mismo patrón geométrico aparecería. Una modificación posterior consistió en usar una cubierta más sensible en la cual los esfuerzos son medidos en comparación con patrones de fracturas con barras de calibración. El método de capa frágil provee una aproximación simple y directa a muchos problemas de diseño industrial en los que no se requiere extrema precisión. La superficie cubierta del espécimen a analizar puede ser tanta como se desee. La cobertura falla a niveles relativamente bajos de esfuerzos por lo que el elemento a ser analizado nunca se sobre esfuerza.
en un horno, se le aplican las cargas al elemento, que provocan que la capa se fracture. Estas fracturas se relacionan a los esfuerzos, como se muestra mas adelante. Ya que la capa es muy delgada, se pude asumir que las deformaciones que ocurren en el elemento se transmiten a la capa sin modificarse, y que son uniformes a lo ancho de la capa. El esfuerzo principal en el elemento, perpendicular a la fractura en la capa, se computan usando la ecuación. σ = Eε Donde σ = esfuerzo principal en el elemento en el lugar de la fractura de la capa E = módulo de elasticidad del material del elemento ∈ = deformación requerida para que la capa se fracture cuando el elemento es sometido a un estado de esfuerzos uniaxial. Como se menciona en las desventajas, a pesar de ser una fórmula generalmente aceptada, ignora la influencia de la fractura de la capa causada por un esfuerzo biaxial, lo que usualmente existe en la práctica real. Existen capas con base cerámica y capas con base resina. Ejemplo de sección de elemento con cubierta. (figura 7).
-análisis foto-elástico.
Muchos cuerpos transparentes no cristalinos que son opticamente isótropos en estado libre de esfuerzos se vuelven opticamente anisótropos y muestran características similares a los cristales cuando se someten a esfuerzos. Esta característica se manifiesta cuando se mantiene la carga aplicada y desaparece cuando se deja de aplicar la carga. Este comportamiento, conocido como doble refracción momentánea o temporal (temporary double refraction), fue observado por primera vez por Sir David Brewster en
- el método de foto-elasticidad esta basado en este comportamiento físico de los materiales transparentes no cristalinos. Muchos elementos de máquinas o estructuras tienen geometrías muy complicadas, por lo que el cálculo de la distribución de esfuerzos se vuelve casi imposible abordarlos de manera analítica, y el único recurso que nos queda es un método experimental. El método foto-elástico es uno de los más utilizados ya que provee información precisa para los problemas analíticamente indeterminados. Ya sean esfuerzos uniaxiales, biaxiales o triaxiales. En este método se realiza un modelo de un material transparente no cristalino, con la forma que se desea investigar. Este modelo se carga en una manera similar al prototipo y se obtienen medidas cuantitativas para los esfuerzos producidos mediante la medición del cambio en las propiedades ópticas del modelo, debidas al esfuerzo. Por ejemplo, la siguiente figura (figura 8) muestra un modelo de barra en cantilever con un fileteado. Cuando se aplica la carga P, se desarrollan franjas en el modelo (líneas oscuras) que, mediante calibración, proveen una forma de determinar el esfuerzo en la zona fileteada.
tridimensional, el patrón óptico producido por el esfuerzo se congela en el modelo mediante un tratamiento de recocido. Ya que el modelo se enfría, se analiza con el mismo proceso que el problema bidimensional. El análisis clásico de un modelo plano o bidimensional se basa en los dos factores mencionados previamente. De acuerdo al segundo...
2 2 0 2 1 1 2
1 1 0 1 1 2 2
R R R C C
y
R R R C C
Donde ( ∆ r ) 1 y ( ∆ R ) 2 son los cambios en el índice de refracción de los planos
principales 1 y 2 respectivamente, R 0 es el índice de refracción de el material sin carga aplicada. R 1 y R 2 son los índices de refracción de los principales planos 1 y 2 respectivamente. σ 1 y σ 2 son los esfuerzos principales. C 1 y C 2 son constantes foto- elásticas del material. De estas ecuaciones.
Donde C es la constante diferencial esfuerzo-óptica. El índice de refracción se define como...
... 2
velocityin medium R = velocityinmedium
por lo tanto, combinándola con la última ecuación tenemos...
1 2
2 1 (^1212) ( ) (^ ) υυ
υυ υ υ
υ υ Cσ − σ =^ υ − = −
Donde υ es la velocidad en el medio y υ 1 y υ 2 son las velocidades en los planos principales respectivamente. Esto demuestra que la diferencia en las velocidades de
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 σ σ
σ σ ∆ − ∆ = −
R R C
ó
R R R R C C
transmisión y el cambio de fase resultante es directamente proporcional a la diferencia de los dos esfuerzos principales ( σ 1 − σ 2 ),medir el cambio de fase es por lo tanto, el
elemento esencial en el método foto-elástico, y esto se logra mediante el polariscopio. Mostrado a continuación en esquema. (figura 12).
figura 9 El cálculo del esfuerzo se realiza con las siguientes Ecuaciones. σ 1 − σ 2 =( υ / ch )( t 1 − t 2 )= fn / h
donde f es la constante isocromática y n es el orden de interferencia. Esta constante f es... f =( σ 1 − σ 2 ) h / n
y se interpreta como el cambio en los esfuerzos que producen un cambio de un orden de interferencia en un punto dado en el modelo. Para obtener un valor numérico para f se requiere una prueba de calibración, generalmente de tensión. La ecuación se vuelve. f = σ 1 h / n = Fh / An = Fh / bhn = F / bn
si el espécimen tiene un espesor diferente que el modelo, f se corrige multiplicándolo por h / h 1 , donde h 1 es el espesor del espécimen y h es el espesor del modelo. Para cálculos prácticos la ecuación es τ = fn / 2 h.
-Foto-esfuerzo (Photostress)
Otros análisis matemáticos son... -Análisis de uniones mediante pernos. -esfuerzos de contacto -carga en una placa plana infinita. -bordes afilados o pivotes. -Elementos en cantilever. -esfuerzos en un rodillo. -cilindro de paredes pesadas con agujeros laterales. -cilindro de paredes delgadas con finales gruesos. -concentración de esfuerzos en estructuras filamentosas. Etc. Existen más métodos tanto experimentales como teóricos. Un método matemático muy importante en el análisis de esfuerzos es el método del elemento finito, el cual discutiremos a fondo en el capítulo 3.
2.5 múltiples concentradores de esfuerzos. Como su nombre lo indica múltiples concentradores de esfuerzo significa que en el elemento a analizar, sea un componente de máquina o estructura, o como en el caso de este proyecto, una placa, tenga en su geometría dos o mas concentradores de esfuerzos. La presencia de estos concentradores se debe a principalmente dos factores...
- el componente requiere de estos elementos en su geometría debido a su aplicación, como son agujeros para pernos, partes soldadas, surcos, cuñeros, etc.
- los concentradores de esfuerzos han sido deliberadamente añadidos al elemento con el propósito de modificar el factor de concentración de esfuerzos Kt
Sea cual sea el caso, podemos encontrar dos o mas agujeros en un elemento, combinación de agujeros con surcos o partes con ángulos cerrados, elementos con cuñeros además de ranuras o muescas, etc. La presencia de múltiples concentradores de esfuerzos modifica el comportamiento de un elemento bajo carga, por lo que la determinación del factor Kt en esta circunstancia es importante.
