Cinemática del sólido rígido
Teoría básica para el curso
Cinemática del sólido rígido, ejercicios comentados
A
A
B
B
P
O
δ
A
B
AB
Ramírez López-Para, Pilar
Loizaga Garmendia, Maider
López Soto, Jaime
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Tipo: Resúmenes
2019/2020
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Cinemática del sólido rígido
Teoría básica para el curso
Cinemática del sólido rígido, ejercicios comentados
A^ A
B B
P
ݎ⃗
߱ ሬሬ⃗
O
ߙ⃗
δ
A
B
ABሬሬሬሬሬ⃗
߱ ሬሬ⃗
ߙ⃗
Ramírez López-Para, Pilar
Loizaga Garmendia, Maider
López Soto, Jaime
ÍNDICE DE CONTENIDOS
- INTRODUCCIÓN ...............................................................................................................................................
- 1.1. DEFINICIÓN DE CINEMÁTICA ...........................................................................................................................
- 1.2. DEFINICIONES INICIALES. ................................................................................................................................
- CINEMÁTICA DE LA PARTICULA........................................................................................................................
- 2.1. VELOCIDAD DE LA PARTÍCULA ..........................................................................................................................
- 2.2. ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA .......................................................................................................................
- TIPOS DE MOVIMIENTOS DEL SÓLIDO RÍGIDO .................................................................................................
- 3.1. CLASIFICACIÓN ............................................................................................................................................
- 3.2. MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN PURA .................................................................................................................
- 3.3. MOVIMIENTO DE ROTACIÓN PURA O ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO ................................................................
- 3.3.1. Movimiento circular en el plano
- 3.4. DERIVADA TEMPORAL DE UN VECTOR RESPECTO DE SISTEMAS MÓVILES. LEY DE BOURE
- 3.5. MOVIMIENTO GENERAL DE UN SÓLIDO RÍGIDO EN EL ESPACIO
- 3.6. CAMPO DE VELOCIDADES Y DE ACELERACIONES EN EL MOVIMIENTO GENERAL:
- 3.7. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE VELOCIDADES Y ACELERACIONES EN EL MOVIMIENTO GENERAL
- MOVIMIENTO RELATIVO................................................................................................................................
- 4.1. MOVIMIENTO RELATIVO DE UN PUNTO RESPECTO A UN SISTEMA DE REFERENCIA EN TRASLACIÓN
- 4.2. MOVIMIENTO RELATIVO GENERAL DE UN PUNTO RESPECTO A UN SISTEMA EN ROTACIÓN. ACELERACIÓN DE CORIOLIS
- 4.3. MOVIMIENTO RELATIVO ENTRE DOS SÓLIDOS
- 4.3.1. Campo de velocidades relativas a S
- 4.3.2. Campo de aceleraciones relativas a S
- 4.3.3. Cálculo de la aceleración angular absoluta de un sólido rígido
1.2. Definiciones iniciales.
Vector de posición, es el vector que une el origen del sistema de referencia, punto O, con el punto móvil P, definiendo su posición en el plano o en el espacio.
ݎ⃗ = ݔ ∙ ଓ⃗ + ݕ ∙ ଔ⃗ + ݖ ∙ ݇ሬ⃗^ ( 1) En la Figura 2 se muestra el punto P en el instante inicial, P1, y transcurrido un intervalo de tiempo t, P 2.
La expresión del vector de posición en función del tiempo define la ecuación vectorial de la trayectoria y determina el movimiento del punto.
ݎ⃗ (ݐ) = ݔ(ݐ) ∙ ଓ⃗ + ݕ(ݐ) ∙ ଔ⃗ + ݖ(ݐ) ∙ ݇ሬ⃗^ ( 2)
La trayectoria es el lugar geométrico definido por las sucesivas posiciones que un punto ocupa en el tiempo. En función de la trayectoria seguida por un punto se puede hacer la siguiente clasificación de los movimientos:
Movimiento curvilíneo: si su trayectoria es una línea curva cualquiera. Puede considerarse como un caso general dentro del cual pueden definirse el movimiento rectilíneo y el circular.
Movimiento rectilíneo: cuando su trayectoria es una recta.
Movimiento circular: cuando su trayectoria es una circunferencia.
Figura 2
El vector desplazamiento es aquel que une las posiciones inicial y final de un punto correspondientes a un determinado intervalo de tiempo y representa el cambio de magnitud y de dirección del vector de posición.
∆ݎ⃗ = ܱܲሬሬሬሬሬ⃗^ ଶ − ܱܲሬሬሬሬሬ⃗^ ଵ = ∆ݔ ∙ ଓ⃗ + ∆ݕ ∙ ଔ⃗ + ∆ݖ ∙ ݇ሬ⃗^ ( 3)
La distancia recorrida por un punto es el escalar que expresa el cambio de posición del punto en un intervalo de tiempo medido sobre la trayectoria s.
Cuando el intervalo de tiempo se reduce hasta tender a cero también se hace diferencial el vector desplazamiento :
݀ ݎ⃗ = ݀ݔ ∙ ଓ⃗ + ݀ݕ ∙ ଔ⃗ + ݀ݖ ∙ ݇ሬ⃗^ ( 4)
Asimismo, la distancia recorrida será también un valor diferencial, ds. En este caso, la secante se confunde con la tangente y se pueden igualar el módulo del desplazamiento y la distancia recorrida:
|݀ ݎ⃗ | = ݀ݏ (^) ( 5)
2. CINEMÁTICA DE LA PARTICULA
2.1. Velocidad de la partícula
Dado un móvil que se mueve desde el punto P 1 al punto P 2 (ver Figura 2), se define como velocidad instantánea en el instante t a la derivada del vector de posición respecto del tiempo en ese instante.
ݒ⃗ =
La velocidad instantánea, ⃗ݒ, es una magnitud vectorial puede expresarse de las siguientes formas:
En función de sus componentes cartesianas:
ݒ⃗ =
∙ ݇ሬ⃗^ ( 7)
Mediante su módulo y su dirección. Para ello se parte de la expresión de la velocidad instantánea y se opera de la siguiente forma:
ௗó
∙
óௗ௨ ( 8)
= (^) ∆lim→
Se parte obteniendo la derivada del vector unitario respecto el ángulo abrazado por la trayectoria, ௗ௨ ௗఏሬሬ⃗^ . Para calcular esta derivada, debe observarse en la Figura 3 los vectores unitarios en las direcciones tangentes a la trayectoria del punto P para los instantes (t) y (t+Δt). Nótese que se han representado también el centro de curvatura C y el radio de curvatura ρ correspondientes a un intervalo de tiempo Δt que tiende a cero.
A continuación, tal y como se detalla en la Figura 4, se traza una circunferencia de radio 1 en la que se situarán los extremos de todos los vectores unitarios.
Así, puede definirse el vector unitario normal a la trayectoria, con las siguientes características:
Módulo: cuando 0 la cuerda ( ݑ∆ሬ⃗ (^) ௧ ) y el arco ( s= r· = 1· ) coinciden, por lo que: ݈݉݅ ∆ఏ→∆௨ ∆ఏሬሬ⃗^ = ݈݉݅ ∆ఏ→ଵ∙∆ఏ∆ఏ = 1 Dirección: cuando → ߠ∆ 0 , ∆௨ ∆ఏሬሬ⃗^ se hace tangente a la circunferencia de radio unidad, por lo tanto perpendicular a ݑሬ⃗ (^) ௧ , es decir sigue la dirección normal que viene indicada por ݑሬ⃗ (^) . Sentido:
Para calcular el valor de la segunda derivada, ௗఏ ௗ௦ , se plantea que la longitud de un arco es el ángulo abarcado por su radio de curvatura ρ, obteniéndose:
݀ ݏ = ߩ ∙ ݀ߠ ;
݀ߠ = lim ∆→
ߠ∆ =^ ݑሬ⃗^ ^ ( 14)
uሬ⃗ (^) t1^ P^1 (t)
∆θ uሬ⃗ (^) t
∆θ
ρ
C
uሬ⃗ (^) n uሬ⃗ (^) n
P 2 (t+Δt)
ρ
uሬ⃗ (^) t ∆θ Δut uሬ⃗ (^) t
Figura 3
Figura 4
Por último, se sabe que la tercera derivada de la expresión (13), es decir, ௗ௦ௗ௧ se corresponde con el módulo de la velocidad. Por lo tanto: ݀ ݏ ݀ݐ
Y llevando los resultados obtenidos en (14), (15) y (16) a la expresión (13), se obtiene: ݀ ݑሬ⃗ (^) ௧ ݀ݐ
Sustituyendo en la expresión (12), se obtiene la aceleración en función de sus componentes tangencial y normal que se representan en la Figura 5.
ܽ⃗ =
La aceleración tangencial, es tangente a la trayectoria e indica el cambio del módulo de la velocidad.
ܽ⃗ ௧ =
( 19 )
La aceleración normal, está dirigida siempre hacia el centro de curvatura de la trayectoria, es la responsable del cambio de dirección de la velocidad.
ܽ ⃗
( ( 20 )
3. TIPOS DE MOVIMIENTOS DEL SÓLIDO RÍGIDO
3.1. Clasificación
Para un punto o partícula existe una sola trayectoria, así como una sola velocidad y aceleración en cada instante. Dependiendo de la trayectoria descrita por un punto, en el caso general el movimiento del punto será curvilíneo, pudiéndose mover con movimiento circular cuando el radio de curvatura de la trayectoria sea constante o con movimiento rectilíneo cuando sea infinito.
El caso del sólido rígido es bien diferente. Un sólido rígido está compuesto por un conjunto de puntos materiales tales que las distancias entre dos puntos cualesquiera permanece invariable, y en su movimiento se cumple que:
Cada uno de los puntos que pertenecen al sólido rígido describe su correspondiente trayectoria, con una velocidad y una aceleración determinadas.
Figura 5
Sustituyendo en la derivada y derivando de nuevo:
݀^ ଶ⃗ݎ
݀^ ଶ⃗ݎ
Tal y como se ha demostrado, todos los puntos del sólido rígido tienen la misma velocidad y aceleración para un instante determinado. Por esta razón, en el caso de la traslación pura cuando se puede hablar de velocidad o aceleración del sólido rígido. La traslación puede ser rectilínea o curvilínea.
Traslación rectilínea: todos los puntos del sólido recorren trayectorias rectas y paralelas entre sí. En la Figura 7se ha ilustrado esta idea representando las velocidades de los puntos A y B.
Traslación curvilínea: las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpo son curvas. En la Figura 8 la estructura circular de la noria tiene rotación pura pero las barquillas, despreciando los pequeños balanceos, tienen un movimiento de traslación circular.
En el ejemplo anterior puede apreciarse que los puntos A y B describen circunferencias iguales con sus centros desplazados, los puntos tienen velocidades y aceleraciones iguales y la posición de la barquilla es siempre horizontal (cualquier recta contenida en el cuerpo mantiene su dirección en el movimiento).
B
A ݒ⃗^
ݒ⃗ (^)
Figura 7
Figura 8
ݒ⃗ (^)
A
B
ݒ⃗ (^)
(24)
(25)
3.3. Movimiento de rotación pura o rotación alrededor de un eje fijo
Se dice que un sólido tiene un movimiento de rotación pura cuando gira alrededor de un eje fijo.
Todos los puntos del sólido describen trayectorias circulares cuyos centros se encuentran alineados en una recta perpendicular a cada una de las trayectorias denominada eje de rotación. Los puntos situados sobre el eje de rotación tienen velocidad nula.
Para estudiar este tipo de movimiento comienza representándose un sólido rígido rotando alrededor del eje fijo δ, y definiendo las magnitudes vectoriales ߱ ሬሬ⃗ y ⃗ߙ, es decir la velocidad y aceleración angular del sólido.
Puesto que el sólido gira, su orientación cambia, y por lo tanto es necesario un parámetro que indique cómo de rápido gira, es decir un parámetro que exprese el ángulo girado por unidad de tiempo.
Siendo θ como el ángulo que gira el sólido en torno a su eje, pueden definirse la velocidad angular ߱ ሬሬ⃗ y la aceleración angular ⃗ߙ:
Velocidad angular del sólido rígido:
Módulo: ߱ =
ௗఏ ௗ௧ Dirección: perpendicular a la circunferencia trayectoria, pasando por su centro; coincide con la dirección del eje de rotación. Sentido: el del avance del sacacorchos al girar en el sentido del movimiento. Punto de aplicación: cualquier punto del eje de rotación, ya que es un vector deslizante.
Aceleración angular del sólido rígido:
Módulo: ߙ =
ௗఠ
ௗ௧ =^
ௗమఏ ௗ௧ Dirección: perpendicular a la circunferencia trayectoria, pasando por su centro; coincide con la dirección del eje de rotación.
Sentido: cuando ⃗ߙ tiene el mismo sentido que߱ ሬሬ⃗ el sólido gira cada vez rápido; si ⃗ߙ tiene sentido opuesto a ߱ ሬሬ⃗ (^) ; el sólido está frenando. Ver Figura 10.
Punto de aplicación: cualquier punto del eje de rotación, ya que es un vector deslizante.
Figura 10
Figura 9
Para calcular la aceleración del punto P se deriva la velocidad respecto del tiempo. La expresión obtenida puede descomponerse en las denominadas componentes intrínsecas de la aceleración: la aceleración tangencial y la aceleración normal.
La aceleración tangencial: Módulo: Dirección: tangente a la circunferencia trayectoria en el punto P Sentido: el que origina α Aplicada en el punto P
La aceleración normal:
Módulo:
Dirección: Normal a la trayectoria Sentido: hacia el centro de la circunferencia descrita por el punto P Aplicada en el punto P
En el caso de que se conozca el centro O´ de la circunferencia descrita por el punto, ambas componentes de la aceleración pueden calcularse escalarmente. Por último, indicar que pueden calcularse el módulo de la aceleración y el ángulo β que forma la aceleración con la tangente:
ܽ = ටܽ ௧^ ଶ^ + ܽ ^ ଶ^ = ඥܴ^ ଶ^ ∙ ߙଶ^ + ܴ ଶ^ ∙ ߱ ସ^ = ܴ ඥߙଶ^ + ߱ ସ^
( 27 )
ܽ ௧
( 28 )
ೌೌ
ೝೌ
( 26)
ܽ ௧ = ߙ ∙ ߮݊݁ݏݎ = ܴ ∙ ߙ (^30 )
ܽ = ߱ ∙ ݒ ∙ ݊݁ݏ 90° = ߱ ∙ ܴ ∙ ߱ = ߱ ଶ^ ∙ ܴ ( 32)
3.3.1. Movimiento circular en el plano En el caso de que el movimineto circular se produzca en el plano XY, el camculo de velocidades y aceleraciones descrito en el apartado anterior puede simplicarse notablemente. La circunferencia trayectoria, así como la velocidad y las aceleraciones están contenidas en el plano XY, y además la velocidad angular ߱ ሬሬ⃗ y la aceleración angular ⃗ߙ son perpendiculares a dicho plano, es decir, paralelas al eje Z.
Para analizar la velocidad del punto P se parte de la expresión (27): Velocidad del punto P: ⃗ݒ = ߱ሬሬ⃗ ∧ ݎ⃗ Módulo: como ߱ ሬሬ⃗ y ⃗ݎ son perpendiculares entre sí, ݒ = ݊݁ݏ ∙ ݎ 90° ߱∙ = ߱ ܴ∙ Dirección: tangente a la circunferencia, contenida en el plano XY. Sentido: el del movimiento Aplicada en el punto P
Para analizar la aceleración del punto P, se parte de la expresión de las aceleraciones intrínsecas obtenidas anteriormente en el caso general: La aceleración tangencial: ⃗ܽ ௧ = ߙ⃗ ∧ ݎ⃗ Módulo: Dirección: tangente a la circunferencia y contenida en el plano XY Sentido: si α es positivo, el sentido de la velocidad; si α es negativo, el contrario. Aplicada en el punto P
Y
X
a ሬ⃗ (^) t a ሬ⃗ (^) n
a ሬ⃗
v ⃗ P
β
P (rx, ry)
ω ሬሬ⃗
Z
(35)
ܽ⃗௧ ܽ ௧ = ܴ ∙ ߙ (^36 )
Figura 12
( 39)
3.4. Derivada temporal de un vector respecto de sistemas móviles. Ley de Boure.
A la hora de derivar un vector cualquiera ⃗ݎ es imprescindible indicar respecto de que sistema de referencia es observado. En principio las variaciones de dicho vector serán observadas de manera diferente desde una referencia fija o respecto de otro sistema en movimiento. Se pueden relacionar las derivadas temporales de un vector cualquiera respecto de dos sistemas de referencia mediante la ley de Boure.
Se comienza observando que ocurre al desarrollar la derivada temporal de un vector definido en un sistema en traslación.
Se definen los sistemas de referencia fijo (OXYZ) y el móvil (O´X´Y´Z´) que únicamente se traslada. El vector ⃗ݎ se define en el sistema móvil. El objetivo es definir la relación entre las derivadas del vector en ambos sistemas de referencia.
La derivada temporal de un vector ⃗ݎ respecto a un sistema fijo coincide con la derivada respecto a un sistema en translación.
´´´
Ahora se observa un caso general como es la derivada temporal de un vector respecto de un sistema en rotación.
Se definen los sistemas de referencia fijo (OXYZ) y el móvil (O´X´Y´Z´) que rota con ߱ ሬሬ⃗ y ⃗ߙ. Nuevamente se define el vector ⃗ݎ en el sistema de referencia móvil. La derivada temporal de un vector ⃗ݎ respecto a un sistema fijo no coincide con la derivada respecto a un sistema en rotación. Para derivarlo deberemos aplicar la ley de Boure que se enuncia a continuación.
La deriva temporal de un vector ⃗ݎ respecto de un sistema fijo es igual a la derivada del vector respecto del sistema móvil en rotación más el producto vectorial de ߱ ሬሬ⃗ , la velocidad angular del sistema móvil, por el vector en cuestión.
ቆ
´´´
Figura 15
Figura 14
Figura 17
Figura 18
Figura 16
3.5. Movimiento general de un sólido rígido en el espacio
Hasta el momento se han definido la traslación y la rotación pura como movimientos elementales del sólido rígido. Se recuerda que en el caso de la traslación (Figura 16) todos los puntos tienen la misma velocidad y la misma aceleración y por lo tanto pueden definirse una ⃗ݒ y una ⃗ܽ para el sólido.
En el caso de la rotación (Figura 17), pueden definirse una ߱ ሬሬ⃗ y ⃗ߙ , que son las que producen el cambio de orientación del sólido en el espacio.
Si el movimiento de un sólido no se puede clasificar como uno de los dos movimientos particulares anteriores, traslación o rotación pura, se dice que se mueve con movimiento general.
En el ejemplo de la Figura 18, la barra AB no tiene un movimiento de traslación ya que es evidente que los puntos A y B no tienen la misma velocidad y que la barra cambia de orientación en el movimiento. Sin embargo, tampoco se mueve con rotación pura ya que los puntos A y B no describen trayectorias circulares con eje común, por tanto puede deducirse que su movimiento es general.
Otro ejemplo de movimiento general, ahora en el espacio tridimensional, es el de una peonza, que puede girar en un punto fijo, variando la orientación del eje de rotación, o desplazarse, en cuyo caso el eje de rotación además de cambiar de orientación se desplaza. En cualquiera de estos casos, ߱ ሬሬ⃗ y ⃗ߙ ya no tienen la misma dirección ya que se trata de un sólido con movimiento general.
El estudio del movimiento general del sólido rígido, parte de definir el vector de /posición de un punto cualquiera perteneciente al sólido rígido y de derivarlo dos veces respecto del tiempo:
ݎ⃗ = ݎ⃗ + ܤܣሬሬሬሬሬ⃗^ ( 31)
El campo de velocidades del sólido rígido se obtiene a partir de la primera derivada de la expresión (42):
Puesto que el vector ܤܣሬሬሬሬሬ⃗^ está situado en el sistema móvil, es decir en un sistema en rotación, es necesario aplicar la ley de Boure para obtener su derivada:
´´´
Como el vector ܤܣሬሬሬሬሬ⃗^ une dos puntos del sólido rígido tiene un módulo constante y además no cambia su dirección visto desde el sistema móvil, se concluye que la derivada de dicho vector en
el sistema móvil es nula, es decir que ቀௗ ሬሬሬሬሬ⃗ ௗ௧ ቁ´´´ = 0, por lo que:
Y por lo tanto se concluye que:
ݒ⃗ (^) = ݒ⃗ (^) + ߱ሬሬ⃗ ∧ ܤܣሬሬሬሬሬ⃗^ ( 46)
Analizando el resultado, puede afirmarse que es posible calcular la velocidad de un punto B del sólido sumando a la velocidad de un punto A arbitrario la velocidad debida a la rotación del punto B alrededor de dicho punto A.
( 43)
( 44)
( 45)
Figura 20
El campo de aceleraciones del sólido se obtiene a partir de la segunda derivada de la expresión (42):
ܤܣ ∧ሬሬሬሬሬ⃗^ + ߱ ሬሬ⃗ ∧ ቆ݀
Y se obtiene:
ܽ ⃗^ =^ ܽ⃗^ +^ ߙ⃗^ ∧^ ܤܣ
Se puede calcular la aceleración de un punto B cualquiera del sólido rígido como la suma de la aceleración de un punto A arbitrario la aceleración debida a la rotación del punto B alrededor de de dicho punto A.
Por lo según las expresiones (46) y (48) puede concluirse que la velocidad y/o aceleración de un punto B cualquiera del sólido puede calcularse como la suma de la velocidad y/o aceleración de un punto cualquiera A y la velocidad y/o aceleración debidas a la rotación del punto B alrededor de un eje que pasa por el punto A.
El cálculo realizado para el punto B puede extenderse a cualquier punto del sólido rígido, permitiendo extraer la siguiente conclusión:
El movimiento general un sólido rígido consiste en una traslación y una rotación simultáneas y por lo tanto puede expresarse en cada instante como la superposición de una traslación de un punto de referencia arbitrario y una rotación alrededor del eje que pasa por dicho punto de referencia.
B
A
A 2
B 2
- posición inicial 2. la barra AB se traslada como lo hace el punto B 3. la barra AB rota alrededor del punto B
B 2
A´
Movimiento general de la barra AB tomando como referencia el punto A
Figura 21
( 47)