cinètica, Apuntes de Ciencias Alimentarias

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MOVIMIENTO RECTILINEO

UNIFORMEMENTE

VARIADO

MRUV - MOVIMIENTO RECTLÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

Suponé un coche que está quieto y arranca. Cada vez se mueve más rápido. Primero se mueve a 10 por hora, después a 20 por hora, después a 30 por hora y así siguiendo. Su velocidad va cambiando (varía). Esto vendría a ser un movimiento variado. Entonces, Pregunta: ¿ Cuándo tengo un movimiento variado? Rta: cuando la velocidad cambia. ( O sea, varía ). Ahora, ellos dicen que un movimiento es UNIFORMEMENTE variado si la velocidad cambia lo mismo en cada segundo que pasa. Mirá el dibujito :

Cuando el tipo ve al monstruo se pone a correr. Después de 1 segundo su velocidad es de 10 Km/h y después de 2 segundos es de 20 Km/h. Su velocidad está aumentando, de manera uniforme , a razón de 10 Km/h por cada segundo que pasa. Digo entonces que el movimiento del tipo es uniformemente variado aumentando ∆v = 10 Km/h en cada ∆t = 1 segundo. Atención, aclaro: en física, la palabra uniforme significa "Siempre igual, siempre lo mismo, siempre de la misma manera ".

ACELERACIÓN ( Atento )

El concepto de aceleración es muy importante. Es la base para poder entender bien - bien MRUV y también otras cosas como caída libre y tiro vertical. Entender lo que es la aceleración no es difícil. Ya tenés una idea del asunto porque la palabra aceleración también se usa en la vida diaria. De todas maneras lee con atención lo que sigue y lo vas a entender mejor. Fijate.

En el ejemplo del monstruo malvado que asusta al señor, el tipo pasa de 0 á 10 Km/h en 1 seg. Pero podría haber pasado de 0 á 10 Km/h en un año. En ese caso estaría acelerando más despacio. Digo entonces que la aceleración es la rapidez con que está cambiando la velocidad.

Fijate que el resultado dio en m/s 2. Estas son las unidades de la aceleración: " metro dividido segundo dividido segundo ". Siempre se suelen poner las unidades de la aceleración en m/s 2. Pero también se puede usar cualquier otra unidad de longitud dividida por una unidad de tiempo al cuadrado ( como Km/h 2 ). Ahora, pregunta: ¿ Qué significa esto de " 1 m/s 2 "? Rta: Bueno, 1 m/s 2 lo puedo escribir como:

Esto de " 1 m/seg dividido 1 segundo " se lee así: La aceleración de este coche es tal que su velocidad aumenta 1 metro por segundo, en cada segundo que pasa ( Atención ) Un esquema de la situación sería éste:

De acá quiero que veas algo importante: Al tener una idea de lo que es la aceleración puedo decir esto ( Importante ) : La característica del movimiento uniformemente variado es justamente que tiene aceleración constante. Otra manera de decir lo mismo ( y esto se ve en el dibujito ) es decir que en el MRUV la velocidad aumenta todo el tiempo ( o disminuye todo el tiempo ). Y que ese aumento ( o disminución ) de velocidad es LINEAL CON EL TIEMPO.

Fin del ejemplo SIGNO DE LA ACELERACIÓN:

La aceleración que tiene un objeto puede Ser ( + ) o ( - ). Esto depende de 2 cosas:

1 – De si el tipo se está moviendo cada vez más rápido o cada vez más despacio. 2 – De si se está moviendo en el mismo sentido del eje x o al revés. ( Ojaldre! )

La regla para saber el signo de la aceleración es esta:

s }

m s 1

1 Variación de velocidad. Intervalo de tiempo.

LA ACELERACIÓN ES POSITIVA CUANDO EL VECTOR ACELE-

RACIÓN APUNTA EN EL MISMO SENTIDO QUE EL EJE EQUIS

Si el vector aceleración apunta al revés del eje equis, va a ser negativa. La cosa es que esto nunca se entiende bien y la gente suele decir: Bueno, no es tan difícil. Si el tipo va cada vez más rápido, su aceleración es positiva y si va cada vez más despacio, su aceleración es negativa. Hummmmm.... ¡ Cuidado! Esto vale solamente si el tipo se mueve en el sentido positivo del eje x. Si el tipo va para el otro lado, los signos son exactamente al revés. No lo tomes a mal. Esto de los signos no lo inventé yo. Todo el asunto sale de reemplazar los valores de las velocidades en la ecuación:

MATEMÁTICA: ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA

En matemática, una parábola se representaba por la siguiente ecuación:

Por ejemplo, una parábola podría ser : Y = 4 x 2 + 2x - 8. Dándole valores a x voy obteniendo los valores de Y. Así puedo construir una tabla. Representando estos valores en un par de ejes x-y voy obteniendo los puntos de la parábola. Eso puede dar una cosa así:

La parábola puede dar más arriba: , más abajo ,más a la derecha:

, más a la izquierda: , más abierta: más cerrada:

Puede incluso dar para a bajo:

Una parábola puede dar cualquier cosa, dependiendo de los valores de a, b y c. Pero siempre tendrá forma de parábola. Atento con esto! Las parábolas aparecen mucho en los problemas de MRUV. Es un poco largo de explicar. Pero en realidad, resolver un problema de MRUV es resolver la ecuación de una parábola. ( Una ecuación cuadrá- tica, en realidad )

y =a.x^2 +b.x+c ←ECUACIONDEUNA PARABOLA.

⋅ −

−

f 0

f 0 t t

v v a

ECUACIONES HORARIAS Y GRÁFICOS EN EL MRUV ( IMPORTANTE )

Las ecuaciones horarias son siempre las de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Quiero que veas cómo se representa cada ecuación en el MRUV. Voy a empezar por la 3ra ecuación que es más fácil de entender.

3ª Ecuación horaria ( a = f (^) (t) )

La característica fundamental de un movimiento uniformemente variado es que la aceleración es constante. En el MRUV la aceleración no cambia. Es siempre igual. Vale siempre lo mismo. Esto puesto en forma matemática sería:

El gráfico correspondiente es una recta paralela al eje horizontal. O sea, algo así:

2ª Ecuación horaria ( V = f (^) (t) )

Otra manera de decir que la aceleración es constante es decir que la velocidad aumenta ( o disminuye ) linealmente con el tiempo. Esto sale de la definición de aceleración. Fijate. Era:

Tonces, si despejo : V (^) f - V 0 = a ( t – t 0 )

Î V (^) f = V 0 + a ( t – t 0 )

Casi siempre t (^) cero vale cero. Entonces la ecuación de la velocidad queda así:

V (^) f = V 0 + a. t

Esto es la ecuación de una recta. Tiene la forma y = eme equis + be. ( Y = m x + b). Acá el tiempo cumple la función de la variable equis. La representación es así:

a = Cte ← 3 ra Ecuación horaria

2 da^ ECUACION HORARIA

f 0

f 0

t t

a v v

Por ejemplo, una 2ª ecuación horaria típica podría ser: V (^) f = 10 s

m (^) + 2 s

m (^) t

El tipo que se mueve siguiendo la ecuación V (^) f = 10 m/s + 2 m/s. t salió con una velocidad inicial de 10 m/s y tiene una aceleración de 2 m /s 2. Esto lo vas a entender mejor cuando veas algún ejemplo hecho con números y cuando empieces a resolver problemas. ( Como siempre ). Ahora seguí.

1 ra^ Ecuación horaria ( x = f (^) (t) )

Esta es la ecuación importante y es la que hay que saber bien. La ecuación de la posición en función del tiempo para el movimiento uniformemente variado es ésta:

X = X 0 + V 0 t + ½ a t 2 ← 1 ra^ ECUACION HORARIA.

La deducción de esta ecuación porque es un poco larga. No la voy a poner acá. Puede ser que ellos hagan la demostración en el pizarrón. No sé. De todas maneras en los libros está. Lo que sí quiero que veas es que es la ecuación de una parábola. Fijate:

VER LA CORRESPONDEN- CIA DE CADA TERMINO

Cada término de la ecuación X = X 0 + V 0 t + ½ a t 2 tiene su equivalente en la expresión

Y = a x^2 + b x + C. La representación de la posición en función del tiempo es esta:

Este dibujito lindo quiere decir muchas cosas. Ellos suelen decirlo así : Este gráfico representa la variación de la posición en función del tiempo para un movimiento uniformemente variado. Este dibujito lindo es la representación gráfica de la función

X = x 0 + V 0 t + ½ a t 2. La ecuación nos da nada más ni nada menos que la posición del

móvil para cualquier instante t. Esta función es una ecuación cuadrática. ( t está al cuadrado ). Esto es importante porque me da una característica fundamental del movimiento uniformemente variado. Esa característica es esta:

y c b x a. x^2

x x 0 v 0 .t 21 a.t^2

Este gráfico es la representación de la 1ra ecuación horaria. Me gustaría que notaras dos cosas:

1. • La parábola va para arriba ( ∪ ) porque a es positiva.
2. • Aunque uno vea sólo un arco así esto es una parábola.

La parte que falta estaría a la izquierda y no la dibujé. La podría representar si le diera valores negativos a t ( como –1 seg, -2 seg, etc ). En ese caso el asunto daría así:

Fin Explicación Ec. Horarias UN EJEMPLO DE MRUV

Una hormiga picadorus sale de la posición X 0 = 0 con velocidad inicial cero y comienza a moverse con aceleración a = 2 m/s^2. a) - Escribir las ecuaciones horarias. b) - Hacer los gráficos x (^) (t), v (^) (t) y a(t).

Voy a hacer un esquema de lo que pasa y tomo un sistema de referencia:

Las ecuaciones horarias para una cosa que se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente variado son:

ECUACIONES HORARIAS ESCRITAS EN FORMA GENERAL.

x 0 y v 0 valen cero. Reemplazando por los otros datos el asunto queda así:

Ahora, dando valores a t voy sacando los valores de equis y de v. Hago esta tabla:

s

2 m

paralahormiga s

0 2 m Ecuacioneshorarias

s

0 0 2 m

2

2

2 21 2

a cte

v t

x t t

f = =

a cte

v v at

x x v t at

f 0

2 2 0 0 1

0 a^ t^ t^0

2 0 0 21

a

v v v v

x x v t a t

f f

= + ⋅ ⇒ =^ −

X t V t a t 0 0 0 0 2 m/s 2 0 1 m 1 s 2 m/s 1 s 2 m/s 2 1 s 4 m 2 s 4 m/s 2 s 2 m/s 2 2 s

Teniendo la tabla puedo representar las ecuaciones horarias.

Fin del Ejemplo

LA ECUACIÓN COMPLEMENTARIA ( leer )

Hay una fórmula más que se usa a veces para resolver los problemas. La suelen llamar ecuación complementaria. La fórmula es ésta:

Vf^2 – V 0 2 = 2 a ( Xf – X 0 )

Esta ecuación vendría a ser una mezcla entre la 1ra^ y la 2 da^ ecuación horaria. La deducción de esta ecuación es un poco larga. Pero te puedo explicar de dónde sale. Seguime. Escribo las 2 primeras ecuaciones horarias. Despejo t de la 2da^ y lo reemplazo en la 1ra.

REEMPLAZO

Si vos te tomás el trabajex de reemplazar el choclazo y de hacer todos los pasos que siguen, termina quedándote la famosa ecuación complementaria. Sobre esta ecuación me gustaría que veas algunas cositas.

Primero: Las ecuaciones horarias se llaman así porque en ellas aparece el tiempo. ( El tiempo = la hora ). La ecuación complementaria NO es una ecuación horaria porque en ella no aparece el tiempo.

ECUACIONCOMPLEMENTARIA

VELOCIDAD INSTANTÁNEA EN EL MRUV ( leer )

En el movimiento uniformemente variado la velocidad va cambiando todo el tiempo. La velocidad instantánea es la que tiene el tipo justo en un momento determinado. ( = en ese instante ). El velocímetro de los autos va marcando todo el tiempo la velocidad instantánea.

Ahora quiero que le prestes atención a una cuestión importante. Suponé que agarro el gráfico de posición en función del tiempo y trazo la tangente a la parábola en algún lugar. La pendiente de esta recta tangente me va a dar la velocidad instantánea en ese momento. Fijate:

Es decir, yo tengo la parábola. Ahora lo que hago es agarrar una regla y trazar la tangen- te en algún punto determinado de la curva ( por ejemplo en t 1 = 3 seg ). Esa recta va a formar un ángulo alfa y va a tener una determinada inclinación. O sea, una determinada pendiente. ( Pendiente = inclinación ). Midiendo esa pendiente tengo la velocidad instan- tánea en ese momento ( a los 3 segundos ).

Es un poco largo de explicar porqué esto es así, pero es así. Se supone que alguna vez tendrían que habértelo explicado en matemática. ( Derivada y todo eso).

De este asunto puedo sacar como conclusión que cuanto mayor sea la inclinación de la recta tangente al gráfico de posición, mayor será la velocidad del tipo en ese momento. Por favor prestale atención a esta última frase y mirá el siguiente dibujito:

VELOCIDAD INSTANTANEA

Velocímetro

La idea es que entiendas esto:

En el gráfico la pendiente de la recta para t = 2 seg es mayor que la pendiente de la recta para t = 1 seg. Esto me dice la que la velocidad a los 2 seg es mayor que la velocidad en 1 seg. Esto es razonable. Este gráfico representa a un tipo que se mueve cada vez más rápido. Todo bien. Ahora, pregunto:... ¿ Cuál será la velocidad del tipo para t = 0? ( ojo ) Rta: Bueno, ahí la recta tangente es horizontal ( ). Y la pendiente de una recta horizontal es CERO. Entonces la velocidad tendrá que ser cero.

ANÁLISIS DE LA PENDIENTE y DEL ÁREA DEL GRÁFICO v = v (^) (t)

Supongamos que tengo un gráfico cualquiera de velocidad en función del tiempo. Por ejemplo éste:

Este gráfico indica que lo que se está moviendo salió con una velocidad inicial de 4 m/s y está aumentando su velocidad en 2 m/s, por cada segundo que pasa. Pensemos: ¿ Qué obtengo si calculo la pendiente de la recta del gráfico? Rta: Obtengo la aceleración. Esta aceleración sale de mirar el siguiente dibujito:

LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN SON VECTORES

La velocidad y la aceleración son vectores. ¿ Qué quiere decir esto? Rta: Quiere decir que puedo representar la velocidad y la aceleración por una flecha.

Si por ejemplo, la velocidad va así Æ , la flecha se pone apuntando así Æ. La situación del dibujito es el caso de un tipo que se mueve con velocidad constante. Fijate ahora estas otras 2 posibilidades:

Lo que quiero que veas es que si el auto va para la derecha, la velocidad siempre irá para la derecha, pero la aceleración NO. ( Es decir, puede que sí, puede que no. Esta cuestión es importante por lo siguiente: si la velocidad que tiene una cosa va en el mismo sentido que el eje x, esa velocidad será ( + ). Si va al revés será ( - ). Lo mismo pasa con la aceleración ( y acá viene el asunto ). Fijate :

Ejemplo: Un auto que viene con una velocidad de 54 Km/h frena durante 3 seg con una aceleración de 2m/s 2. ¿ Qué distancia recorrió en ese intervalo ?.

Hago un esquema de lo que pasa. El auto viene a 54 por hora y empieza a frenar.

54 km por hora son 15 m/seg. ( Dividí por 3,6 ). El dibujito sería este:

Ahora tomo un sistema de referencia. Lo tomo positivo para allá Æ. Planteo las ecuaciones horarias. Me queda esto:

En la 1ª ec. horaria reemplazo t por 3 seg y calculo la posición final:

Conclusión: En los tres segundos el tipo recorre 36 metros. Si yo me hubiera equivocado en el signo de la aceleración y la hubiera puesto positiva, la cosa habría quedado así:

Lo mismo hubiera pasado si hubiera calculado la velocidad final después de los 3 seg:

a - 2.

v 15 2 t Ecuacioneshorarias.

x 0 15 2

B 2

2

2 21 2

cte

s

m

s

m

s

m

t

s

t m

s

m

B

B

( )

36 Posición final

15 3 1 3 2

ver

⇒ = ←

= ⋅ − ⋅

x m

x ms seg ms seg

f

f

X (^) f = 54 m ( Nada que ver )

f (^ 3seg)^2

s

3 seg 1 m s

x = 15 m⋅ + ⋅

HORROR!

s

v 21 m

3 seg s

2 m s

v 15 m

f

f 2

⇒ = ←