CLASE 1 MATEMATICA II, Diapositivas de Matemáticas

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MATEMÁTICA II

CICLO: 2023 - I

SEMANA 1

GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL

ESPACIO

TEMA:

PRESENTACIÓN

MOTIVACIÓN

(Ó MÓDULO)

MAGNITUDES

DEFINICIÓN ALGEBRAICA DE UN VECTOR

Un vector v en el espacio xyz es una terna de números reales (a;b;c),

donde a, b y c se llaman componentes del vector.

se llama vector de posición, cuyo punto inicial es el origen (0;0;0).

( )

r = x y z ; ;

OPERACIONES CON VECTORES EN

a



b



a b





( ; ; )

1 1 2 2 3 3

a + b = a + b a + b a + b





Suma de dos vectores:

Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido:

1 1 2 2 3 3

a = b  a = b , a = b , a = b





t a



( ; ; )

1 2 3

t a = ta ta ta



Producto de un escalar con un vector:

3

VECTORES EN

VECTORES UNITARIOS

Son aquellos cuyo modulo es igual a la unidad.

a

( ; ; )

a

a

u

1 2 3

a

 





a a a

= =

u = 1



VECTORES CANÓNICOS

Son vectores unitarios paralelos a los ejes coordenados, cuyo

sentido es la dirección positiva de los ejes.

x

y

i

j

( ; )

( ; )

01

10

=

=

j

i





( ; ; )

( ; ; )

( ; ; )

0 01

010

10 0

=

=

=

k

j

i





3

Dados los vectores ( ; ; ) ( ; ; )

1 1 1 2 2 2

u = a b c y v = a b c

Se define:

1 2 1 2 1 2

u  v = a a + b b + c c

Observación: El producto escalar de dos vectores es un número real.

PRODUCTO ESCALAR

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES

VECTORES EN

3

u v u v cos 

u

v

u v

u v

cos  =

0     rad

PRODUCTO VECTORIAL

Magnitud:

VECTORES EN

3

Sean u y v dos vectores cualesquiera que forman un ángulo .

El producto vectorial u x v se define como un vector que tiene:

u  v = u v sen 

Dirección:

Perpendicular al plano que

forman u y v



u

v

u  v

v  u

Observación:

El producto vectorial sólo se puede realizar en R

Ejemplo

ഥ 𝒂

ഥ

𝒃

ഥ𝒂 𝒙

ഥ

𝒃

ത 𝒄

=

ത 𝒄

ቊ

ഥ𝒂 ⊥ ത𝒄

ഥ

𝒃 ⊥ 𝒄ത

= (𝟐, 𝟑, 𝟑)

= (𝟏, 𝟑, 𝟐)

𝑖 𝑗 𝑘

𝟐 𝟑 𝟑

𝟏 𝟑 𝟐

= ( − 𝟑 −, 𝟏 , 𝟑)

2 , 3 , 3. − 3 , − 1 , 3 = 0

1 , 3 , 2. − 3 , − 1 , 3 = 0

ഥ

𝒃 𝒙

ഥ 𝒂

=

𝑖

𝑗 𝑘

𝟏 𝟑

𝟐

𝟐 𝟑 𝟑

𝟑, −

𝟏, −𝟑

= ( )

ഥ 𝒂 𝒙

ഥ

𝒃 = −(

ഥ

𝒃 𝒙

ഥ 𝒂)

−𝒄ത

( ) ( )

Dados los vectores a = 2 3 3 ; ; y b = 1 3 2 ; ; determinar a  b y b a

Solución:

Observación:

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

[

ഥ 𝒂.

ഥ

𝒃.

ത 𝒄] =

ഥ 𝒂. (

ഥ

𝒃𝒙

ത 𝒄)

[ഥ𝒂.

ഥ

𝒃. 𝒄ത] = [𝒄ത. ഥ𝒂.

ഥ

𝒃] = [

ഥ

𝒃.

ത 𝒄.

ഥ 𝒂]

𝑐 ҧ. ( 𝑎ത𝑥

ത

𝑏)

ത

𝑏. ( 𝑐ҧ𝑥 𝑎ത)

ഥ𝒂 = (𝟐, 𝟏, 𝟏)

ഥ

𝒃 = (𝟑, 𝟏, 𝟐) ത 𝒄 = (𝟏, 𝟏, 𝟐)

ഥ

𝒃 𝒙 𝒄ത =

𝒊

𝒋

𝒌

𝟑

𝟏 𝟐

𝟏 𝟏 𝟐

= ( 0, 𝟒 ,

𝟐)

𝟐, 𝟏, 𝟏. 𝟎, −𝟒, 𝟐 =

−𝟐

a b .(  c )

También llamado producto mixto:

[

ഥ 𝒂.

ഥ

𝒃.

ത 𝒄]=

ഥ 𝒂. (

ഥ

𝒃𝒙

ത 𝒄)

Propiedad:

a b c , , 2

Ejemplo:

también:

=

𝒊

𝟐

𝟏 𝟏

𝟑 𝟏 𝟐

= (𝟏 , 𝟏 , ഥ 𝒂 𝒙

ഥ

𝒃

𝒋

𝒌

𝟏)

c a .(  b )

𝟏, 𝟏, 𝟐. 𝟏, −𝟏, −𝟏 =

−𝟐

c a b , , 2

−

−

análogamente:

b c a , , 2

Prisma de base triangular

Volumen= [𝒂ഥ.

ഥ

𝒃. 𝒄ത]

Volumen=

[ഥ𝒂.

ഥ

𝒃.ത𝒄]

𝟐

Tetraedro

Volumen=

[ഥ𝒂.

ഥ

𝒃.ത𝒄]

𝟔

INTERPRETACIÓN DEL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

RECTAS EN

La ecuación de la recta en el espacio puede ser expresada en

distintas formas. Esta puede ser expresada en su forma vectorial,

paramétrica y simétrica.

3

P

0

( x

0

; y

0

; z

0

)

P ( x ; y ; z )

X

Y

Z

v =( a ; b ; c )

OP

OP

0

O

L

ECUACIONES DE LA RECTA EN

3

FORMA PARAMÉTRICA

De la ecuación anterior:

L: (x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) + t (a; b; c)

Usando la igualdad de vectores

se deduce la ecuación en forma

paramétrica

EJEMPLO:

Determine la ecuación vectorial y

paramétrica de la recta que pasa por

los puntos ( 4 ; 2 ; – 3 ) y ( 3 ; 1 ; – 1 ).

0

0

0

x x ta

L y y tb t R

z z tc

FORMA SIMÉTRICA

Despejando t de la ecuación

anterior se obtiene la ecuación

de la recta en forma simétrica:

x x y y z z

L

a b c

:

− − −

= =

Determine la ecuación vectorial y

simétrica de la recta que pasa por los

puntos ( 3 ; 5 ; – 6 ) y ( 1 ; 3 ; – 2 ).

EJEMPLO:

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Prueba: