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Este documento contiene la solución a problemas del examen de Matemática Intermedia 1 de la Universidad de San Carlos de Guatemala, correspondiente al primer semestre del año 2018. Se incluyen temas como el cálculo de determinantes, la inversa de matrices, la integración de funciones y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Tipo: Exámenes
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Matemática Intermedia 1
SEMESTRE: Primer Semestre
JORNADA: Vespertina
TIPO DE EXAMEN: Primer Examen Parcial
FECHA DE EXAMEN: Febrero de 2018
RESOLVIÓ EL EXAMEN: Kevin Emanuel Itzep Mendoza
COORDINADOR: Inga. Vera Marroquín
TEMA 1: (15 Puntos)
Usando la matriz inversa, calcule la solución al siguiente problema. O muestre que la información dada
es incorrecta o insuficiente. Hay tres cadenas que pesan: 450, 610 y 950 onzas, cada una de ellas formada
por eslabones de tres tamaños diferentes. Cada cadena tiene 10 eslabones pequeños, también tienen 20,
30 y 40 eslabones de tamaño mediano, así como 30, 40 y 70 eslabones de tamaño grande,
respectivamente. Encuentre cuánto pesa cada tamaño de eslabón: pequeño, mediano y grande.
TEMA 2: (15 Puntos) Use propiedades de determinante combinado con Cofactores y encuentre el
valor del determinante de la siguiente matriz.
1 1 2 4
0 3 5 6
1 4 0 3
0 5 6 7
−
−
−
Tema 3: (15 puntos)
Determine los valores de K, para que el sistema dado tenga: a) Solución Única, b) Infinitas soluciones y
c) No tenga solución:
𝑘𝑥 + 3 𝑦 = − 3
𝑥 +(𝑘 − 2 )𝑦 = 3
Tema 4: (10 puntos)
Dada la matriz A, encuentre lo solicitado: a) La Adjunta de A, b) La matriz inversa y c) Pruebe la
inversa.
𝐴 = (
1 3
− 2 2
)
Tema 5: (4 5 puntos) Resuelva las siguientes integrales.
∫
2
2
𝑑𝑥
∫ 𝑡
𝑡𝑎𝑛
𝑡 𝑑𝑡
∫ 𝑡𝑎𝑛
𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥
∫
( 𝑥 − 1
)
√ 3 + 2 𝑥 − 𝑥
𝑑𝑥
12
1 + 2
12
3
22
2 + 2
22
4
32
3 + 2
32
5
13
1 + 3
13
4
23
2 + 3
23
5
33
3 + 3
33
6
6 Encontramos entonces la matriz de
cofactores.
7 Hallamos la transpuesta de la matriz de
cofactores, también conocida como la matriz
adjunta de A.
𝑇
8 Con los datos hallados anteriormente,
podemos hallar la inversa.
− 1
− 1
− 1
9 Hallamos los valores de las variables que
resuelven el sistema de ecuaciones,
utilizando la matriz inversa.
− 1
4 Ahora procedemos a calcular el
determinante de la matriz A.
2
4
Tema 3
Determine los valores de k, para que el sistema dado tenga:
𝑘𝑥 + 3 𝑦 = − 3
𝑥 +(𝑘 − 2 )𝑦 = 3
a) Solución Única
No. Explicación Operatoria
1 En primer lugar, es necesario hallar el
determinante de nuestro sistema, pues si tal
determinante es distinto de cero, sabemos
que tenemos solución única. En caso de que
nuestro determinante sea igual a cero,
sabemos que puede tener infinitas
soluciones o no tener solución.
det(𝐴) = |
det
2
2 Igualamos el resultado anterior a cero, y
obtenemos los valores para los que el
determinante es cero, por lo tanto,
concluimos que el sistema tendrá solución
única, cuando el valor de k sea distinto a los
valores hallados anteriormente.
Procedemos a probar el valor k = - 1, para saber que tipo de sistema obtenemos.
No. Explicación Operatoria
1 Haciendo el valor de k = - 1, el sistema
adquiere la siguiente forma.
(
2 El anterior resultado nos indica que las
soluciones para nuestro sistema son infinitas.
Pues el sistema se reduce a una sola
ecuación.
R// El sistema tendrá solución única si:
Tema 4
Dada la matriz A, encuentre lo solicitado:
𝐴 = (
1 3
− 2 2
)
a) La adjunta de A
No. Explicación Operatoria
1 Por teorema, hallamos la adjunta de la matriz
22
12
21
11
2 Sustituyendo los valores obtenemos.
b) La matriz inversa
No. Explicación Operatoria
1 En primer lugar, procedemos a calcular el
determinante de A.
det(𝐴) =
2 Ya que conocemos el la matriz adjunta, y el
determinante de la matriz, su inversa se
puede calcular de la siguiente forma:
− 1
− 1
3 Simplificando obtenemos.
− 1
− 1
c) Pruebe la matriz inversa
No. Explicación Operatoria
1 Por definición sabemos que, si existe la
matriz inversa de una matriz, entonces el
producto de ambas, debe ser igual a la matriz
identidad. Es decir si una matriz es la inversa
de otra, su multiplicación debe dar como
resultado la matriz identidad.
− 1
− 1
2 Procedemos a multiplicar ambas matrices.
− 1
3 Simplificamos el resultado.
− 1
4 Efectivamente se obtuvo la matriz identidad
como resultado de la multiplicación,
podemos concluir que la matriz inversa es
correcta.
− 1
No. Explicación Operatoria
1 Para resolver esta integral utilizamos el
método de integración por partes. Donde u
siempre son las funciones trigonométricas
inversas, en este caso tenemos tangente
inversa.
− 1
2
3
4
2 Aplicamos el método, de integración por
partes.
3
− 1
4
− 1
4
2
3 Simplificamos el término dentro de la
integral, por medio de división larga.
4
2
2
2
4 Resolvemos la integral.
3
− 1
4
− 1
2
2
4
− 1
3
− 1
4
− 1
3
− 1
3
− 1
𝑡
4
4
− 1
𝑡
3
12
1
4
− 1
𝑡
4
No. Explicación Operatoria
1 Expandimos la expresión para obtener una
forma más conveniente, ya que tenemos una
potencia impar de tangente, procedemos a
expandir la tangente.
∫ tan
5
(𝑥) sec(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ tan(𝑥) [𝑡𝑎𝑛
2
2
sec(𝑥) 𝑑𝑥
2
2
tan(𝑥) sec(𝑥) 𝑑𝑥
2 Aplicamos la identidad que relaciona la
tangente y la secante. Y obtenemos una
expresión más conveniente para integrar.
tan
2
2
∫ tan
5
(𝑥) sec(𝑥) 𝑑𝑥
2
2
tan
sec
3 Aplicamos una sustitución. 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥)
𝑑𝑢 = sec(𝑥) tan(𝑥)𝑑𝑥
2
2
4 Resolvemos la integral, para la variable u.
4
2
4
2
5
3
5 Volvemos a la variable original. 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥)
5
3
5
1
5
5
2
3
3
6 Volvemos a la variable u.
2
− 1
− 1
2
7 Volvemos a la variable original.
− 1
2
− 1
2
∫
(𝑥− 1 )
2
√ 3 + 2 𝑥−𝑥
2
𝑑𝑥 = − 𝐶𝑜𝑠
− 1
(
𝑥− 1
2
) −
1
2
( 𝑥 − 1
) √ 3 + 2 𝑥 − 𝑥
2
