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COLECCIÓN DE PROBLEMAS DE

MODELIZAR Y RESOLVER CON

ORDENADOR

MATEMÁTICAS II

CURSO ACADÉMICO 201 7 - 18

Curso Académico 2017-

PROGRAMACIÓN NO LINEAL

Problema del consumidor

Este problema es el origen de toda la teoría de demanda en microeconomía. Consiste en maximizar la utilidad del consumidor. Las variables representan las cantidades consumidas de cada bien. La función de utilidad que mejor representa las preferencias de un consumidor racional es aquélla con utilidades marginales estrictamente positivas (se prefiere más a menos) y cóncava (es preferible una mezcla de consumos de varios bienes que especializarse en el consumo de un sólo bien). La restricción de este problema es de tipo presupuestario, con un primer miembro que representa el gasto en el consumo (precios por cantidades) y un segundo miembro que es la renta disponible del consumidor. Adicionalmente, pueden existir restricciones de consumos mínimos o máximos de algún producto.

1. Un consumidor puede elegir entre dos bienes cuyos precios son

respectivamente de 5 y 9 euros. Dispone de una renta de 450 euros que debe gastar enteramente entre ambos bienes. La función de utilidad es 𝑈(𝑥, 𝑦) = 20𝑥0,4𝑦0,6, siendo x las unidades consumidas del primer bien e y las del segundo.

a) Obtén las unidades consumidas de cada bien, el valor de la función de utilidad

y el valor del multiplicador de Lagrange asociado a la restricción que maximiza la utilidad.

b) Interpreta el significado del multiplicador. ¿Cuál sería aproximadamente la

nueva utilidad óptima si la renta disponible pasara a valer 452 €?

c) Resuelve de nuevo el problema para el caso en que la renta disponible del

consumidor sea de 452 €. Compara el resultado con el obtenido en el apartado b).

Problema de producción de la empresa

Este problema puede tener varias formulaciones. En su versión más básica se trata de minimizar costes con una restricción de producción mínima. También puede ser el de maximizar la producción con una restricción de limitación de costes. En ambos casos, en lugar de trabajar con la función de costes se puede pasar a función de beneficios añadiendo el precio de venta del producto. Las variables son las cantidades utilizadas de cada input en la producción, normalmente capital y trabajo, que se transforman en producción de un único bien. La función de producción es habitualmente cóncava con productividades marginales positivas. La más utilizada es la de rendimientos constantes a escala y, dentro de ellas, la de tipo Cobb-Douglas.

2. Una empresa en competencia se plantea minimizar los costes de producción.

Los costes unitarios de los dos factores que utiliza (capital -K- y trabajo -L-) son de 4 y 5 unidades monetarias, respectivamente. La producción mínima que ha de cubrir la empresa es de 1000 unidades físicas. La empresa tiene la siguiente función de producción 𝐹(𝐾, 𝐿) = 10𝐾0,5𝐿0,5.

a) Obtén los valores del capital y del trabajo que minimizan el coste de

producción de la empresa, así como el coste mínimo.

b) Interpreta el multiplicador. Calcula aproximadamente los nuevos costes de

producción si la producción mínima es de 1001 unidades. Resuelve de nuevo el problema para este caso y compara la aproximación anterior con el valor exacto.

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Problema de minimizar desviaciones cuadráticas

En ocasiones existen unos valores objetivo para ciertas variables relacionadas entre sí que no pueden alcanzarse simultáneamente y lo que se pretende es desviarse lo menos posible de esos valores objetivo. En lugar de utilizar el valor absoluto de la diferencia, que sería una función no diferenciable, se utiliza el cuadrado de la diferencia, lo que da lugar a una función objetivo diferenciable y convexa. Las diferencias cuadráticas de las variables se suelen multiplicar por coeficientes que permiten unificar las distintas magnitudes en que vienen expresadas las variables y/o ponderar de distinta forma las desviaciones de las variables. Este problema tiene aplicación en estadística (regresión lineal por mínimos cuadrados ordinarios).

5. En una Economía simplificada, el sector público recauda impuestos sobre la

renta (Y) aplicando un tipo impositivo igual a t e impuestos sobre el consumo (C) aplicando un tipo impositivo igual a r. Con la recaudación total, 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 = 𝑡𝑌 + 𝑟𝐶, debe pagar el gasto público (G). Por motivos económicos y demográficos, se debe ajustar el gasto público en una tasa igual a g y/o los tipos impositivos, manteniendo el equilibrio presupuestario: 𝑡𝑌 + 𝑟𝐶 = 𝐺(1 − 𝑔). La situación de partida era de equilibrio con unos valores Y0=1000, C0=800 y G0=448 para las variables macroeconómicas, unos tipos impositivos 𝑡 0 = 0,28, 𝑟 0 = 0,21, y sin ajustes en el gasto, 𝑔 0 = 0. Calcula los valores óptimos de t, r y g si, con la crisis, el Estado quiere desviarse lo mínimo posible de sus valores iniciales, considerados como valores objetivo, manteniendo el equilibrio presupuestario sabiendo que el valor esperado de las variables macroeconómicas es Y=950, C=760 y G=448.

Problemas variados

6. Un consumidor desea maximizar su función de utilidad que depende del

consumo de tres bienes en cantidades (x,y,z). Dicha función es 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 25𝑥0,5𝑦0,25𝑧0,25. Los precios unitarios de los tres bienes son 12, 8 y 5 € respectivamente, y su renta presupuestaria es de 540 €. El tercer bien está sometido a un consumo mínimo de subsistencia de 20 unidades, mientras que el primero y el segundo lo están a unos niveles máximos de saturación en el consumo de 40 unidades cada uno.

a) Obtén los consumos óptimos para maximizar la utilidad y la utilidad máxima.

¿Se gasta el consumidor toda su renta?

b) Calcula el valor del multiplicador y su interpretación económica.

7. Supongamos que una empresa vende su producto a un precio de 2 euros por

unidad y adquiere sus inputs a unos precios de 4 céntimos por cada euro de capital que toma prestado y a 5 euros la hora de trabajo. La cantidad vendida de producto no debe sobrepasar la producción, que viene dada por la función: 𝐹(𝐾, 𝐿) = 𝐾0,5𝐿0,4.

a) Calcula el capital y el trabajo que debe emplear en la producción para

maximizar beneficios

b) Calcula la producción, la cantidad vendida del producto y los beneficios

máximos.

8. Una empresa produce tres tipos de productos en cantidades x, y, z. El beneficio

unitario de cada producto es:

 Beneficio unitario del producto 1: 24 – x.

 Beneficio unitario del producto 2: 20 – y.

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 Beneficio unitario del producto 3: 20 – z.

Se sabe que para producir una unidad del producto 1 se utilizan cuatro horas de trabajo, para producir una unidad del segundo se utilizan dos horas y para producir una unidad del tercer producto se utilizan dos horas. Además, la empresa dispone de 16 trabajadores que trabajan 8 horas cada uno.

a) Calcula las cantidades a producir de cada tipo de producto para maximizar el

beneficio de la empresa y el beneficio máximo.

b) Determina, según los resultados obtenidos en el apartado anterior, si a la

empresa le interesa aumentar o reducir el número de horas de trabajo de su plantilla.

9. Un fondo de inversión global se plantea diversificar su capital de un millón de

euros entre renta fija europea (x, en millones de euros), renta variable española (y, en millones de euros), renta variable europea (z, en millones de euros) y activos inmobiliarios (t, en millones de euros). Su objetivo es minimizar el riesgo, que viene dado por la función:

𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 0,25𝑥^2 + 5,25𝑦^2 + 8,5𝑧^2 + 4𝑡^2 + 6𝑦𝑧 + 2𝑥𝑦 − 1,5𝑧𝑡 La rentabilidad mínima que se quiere asegurar es del 6%, teniendo en cuenta que la renta fija europea tiene prevista una rentabilidad del 1%, la renta variable española del 10%, la europea del 15% y la inmobiliaria del 4%.

a) Calcula la distribución óptima del capital a invertir.

b) Calcula la distribución óptima del capital a invertir si se exige que la inversión

total en renta variable no supere el 25% del capital a invertir.

c) Interpreta económicamente el valor del multiplicador de la restricción de

rentabilidad mínima.

10. En una urbanización se están construyendo dos tipos de viviendas:

apartamentos y áticos, cuyos precios son p1 y p2 en miles de euros, respectivamente. La curva de demanda para los apartamentos es 𝑑 1 = 200 − 2𝑝 1 y para los áticos es 𝑑 2 = 300 − 3𝑝 2. El constructor ha calculado que, debido a los pedidos ya realizados a sus proveedores de materias primas, le conviene construir 8 veces más apartamentos que áticos. Por otra parte, ha calculado que la construcción de un apartamento le supone un coste total de 65 miles de € y la de un ático, 80 miles de €. Sabiendo que tiene un presupuesto de 3 millones de euros:

a) Calcula los precios de ambos tipos de viviendas para que el constructor

maximice su ingreso. Calcula el número de apartamentos y áticos que debe construir y los ingresos máximos.

b) ¿Le interesaría aumentar el presupuesto disponible?

11. Una tienda de quesos tiene 20 kilos de una mezcla de frutas de estación y 60

kilos de un queso caro, con los cuales se prepararán dos tipos de queso para untar, fino y normal, que son populares durante la semana de Navidad. Cada kilo del queso fino para untar se compone de 0'2 kilos de la mezcla de frutas, 0'3 kilos del queso caro y 0'5 kilos de un queso de relleno, que es barato y del cual se tiene abundante reserva. Cada kilo del queso normal para untar se compone de 0'2 kilos de la mezcla de frutas, 0'2 kilos del queso caro y 0'6 kilos de un queso de relleno. Debido a las políticas de precios empleadas en el pasado por la tienda, se sabe que la demanda de queso para untar fino es 𝑑 1 = 190 −

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Precio de venta de una unidad del producto 1: 210 − 𝑥. Precio de venta de una unidad del producto 2: 106 − 𝑦.

Precio de venta de una unidad del producto 3: 65 − 𝑧. Por otra parte, el coste de producción de cada uno de ellos se compone de un coste fijo de mantenimiento de 100, 60 y 30 unidades monetarias, respectivamente, y un coste variable por unidad producida de 10, 6 y 5 unidades monetarias.

a) Determina las cantidades de cada producto que maximizan el beneficio de la

empresa, teniendo en cuenta que se deben producir exactamente 360 unidades entre los tres productos. ¿Cuál es ese beneficio máximo?

b) Si el empresario pudiera producir más de 360 unidades, ¿aumentaría su

beneficio?

17. Calcula la pendiente de la recta de regresión que minimiza las desviaciones

cuadráticas entre los valores observados y esperados de la variable y para los siguientes datos por CC.AA. de 2013, donde x=PIB per cápita, y=porcentaje de personas que han comprado alguna vez por internet:

CC.AA. x y ANDALUCÍA 16.666 32, ARAGÓN 24.732 37, ASTURIAS 20.591 40 BALEARS 23.446 43, CANARIAS 18.873 29, CANTABRIA 21.550 39, CASTILLA Y LEÓN 21.879 37, CASTILLA - LA MANCHA 17.780 35, CATALUÑA 26.666 42, COMUNITAT VALENCIANA 19.502 30, EXTREMADURA 15.026 30, GALICIA 20.399 35, MADRID 28.915 44, MURCIA 17.901 32, NAVARRA 28.358 41, PAÍS VASCO 29.959 47 RIOJA 25.277 35,

18. Una panadería produce cuatro tipos de pan en cantidades x , y , z, t, usando harina, levadura, agua y fibras vegetales de las que dispone en abundantes existencias. La función de ingresos depende de las cantidades fabricadas como 𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = −𝑥^2 + 3𝑦 + 𝑧 + 2𝑡. Los costes de producción de cada tipo de pan son, respectivamente 1, 2, 3 y 4 unidades monetarias. La demanda máxima de cada uno de los tres primeros productos es de 100 unidades y de 10 para el cuarto. Además, se dispone de 400 horas para elaborar todos los panes y las necesidades de tiempo en horas son respectivamente 0’2, 0’5, 0’1 y 0’7 para cada unidad de los diferentes tipos de pan. Se pide:

a) Resolver el problema de maximizar el beneficio.

b) Si cada hora extraordinaria se paga a 3 unidades monetarias, ¿interesa

contratar una hora adicional?

c) Determina si el máximo es o no global.

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contener entre 26 y 32 unidades de vitamina A, al menos 25 unidades de vitamina B, al menos 30 de C y, al menos, 10 de vitamina D. La tabla siguiente nos da el número de unidades de las distintas vitaminas por unidad de alimento elegido entre seis tipos disponibles así como el coste de cada unidad del alimento correspondiente.

Vitaminas (^) Coste por Alimentos A B C D^ unidad 1 1 1 0 1 10 2 1 2 1 0 14 3 0 1 2 0 12 4 3 1 0 1 18 5 2 1 2 0 20 6 1 0 2 1 16

a) Define las variables y modeliza el problema.

b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS.

Problemas de blending o de mezclas

En algunos problemas, como por ejemplo los de blending o mezclas, aparecen algunas restricciones formuladas mediante ratios o cocientes entre variables, es decir, de la forma:

∑ 𝛼𝑖𝑗 𝑥𝑗 ∑ 𝛽𝑖𝑗 𝑥𝑗

Ante este tipo de restricciones lo usual es linealizarlas, es decir, suponiendo que ∑ 𝛽𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≠ 0, transformarla es una restricción de la forma:

21. Una cooperativa vinícola produce dos tipos de vinos cuya graduación depende

de las zonas de la comarca y del tipo de uva de sus asociados, de acuerdo con el siguiente cuadro:

GRADUACIÓN CANTIDAD VINO 1 15 200. VINO 2 10 100.

La cooperativa ha observado que estos dos tipos de vinos son difíciles de comercializar dado que el primero tiene una graduación excesiva y el segundo una graduación demasiado baja, motivo por el cual la demanda del primero nunca es superior a 100.000 litros y la del segundo a 60.000 litros, por lo que todos los años se producen excedentes de ambos tipos de vinos que la cooperativa debe destinar a la producción de alcohol que vende posteriormente a un precio de 1 euro por litro.

Por este motivo se plantea realizar una mezcla de ambos tipos de vino con el fin de obtener una nueva marca de vino (v3) con una graduación intermedia que tiene una mayor aceptación en el mercado.

Después de un exhaustivo estudio, la cooperativa ha determinado que el vino que tiene una mayor aceptación en el mercado es el que tiene una graduación

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comprendida en los 12 y 13 grados y que en este caso tendría garantizada una comercialización total de la producción si el precio fuera de 5 euros el litro.

El precio de coste del vino 1 (v1) es de 2,5 euros por litro y el del vino 2 (v2) es de 1,5 euros por litro. Los precios de venta actuales de ambos vinos son de 4 y 2,5 euros respectivamente.

Determina la cantidad a producir y comercializar de cada uno de los tipos de vino y del vino de mezcla (v3).

Problema de transporte

La primera referencia escrita de este problema se remonta a 1781, cuando el matemático francés Gaspard Monge describe el problema de la construcción y abastecimiento de fortificaciones militares de los ejércitos de Napoleon. Monge era entonces general de los ejércitos napoleónicos. Para resolver este problema usó el método de “cortar y llenar”, es decir, ir abasteciendo las diferentes trincheras desde los depósitos de material existentes.

Formalmente, este problema aparece en 1941 cuando F.L. Hitchcock publica una solución analítica para este problema, aunque su desarrollo se produce a finales de los años 40, cuando Koopmans (un joven holandés) realiza su tesis doctoral sobre los problemas de embarque de la marina holandesa.

A partir de ese momento el campo de aplicación del problema del transporte empieza a crecer de una forma muy rápida, no solo en aplicaciones militares, sino también en el campo de la producción, la distribución, las finanzas, etc.

22. Una compañía de transporte terrestre puede comprar gasolina a tres

proveedores. Los proveedores disponen mensualmente de 2.000, 6.000 y 6. litros respectivamente. La compañía necesita gasolina en tres localidades que requieren 5.000, 3.000 y 2.000 litros mensuales respectivamente. El precio por litro de gasolina a la entrega de cada localidad es el siguiente:

localidad 1 2 3

proveedor

La compañía desea minimizar el coste.

a) Define las variables y modeliza el problema.

b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS.

c) ¿Cuál es la solución óptima del problema? ¿Y el coste mínimo?

d) ¿Entre qué valores puede variar el precio que paga la ciudad 1 al proveedor 2

sin que cambie la solución óptima?

e) Los requerimientos de la localidad 3 han disminuido y ahora sólo se necesitan

1800 litros mensuales. ¿Qué información conoces de la nueva solución óptima sin resolver de nuevo el problema?

Problema de planificación financiera

Este problema, parecido al de selección de cartera, trata de distribuir un capital disponible entre distintos activos, aunque el riesgo se controla a través de restricciones que aseguran una diversificación suficiente de la cartera, en lugar de definir una función de riesgo.

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Pan Harina refinada (gr.)

Harina integral (gr.)

Centeno (gr.)

Aceite (ml.) Normal 120 0 10 10 Rústico 80 10 30 10 Gallego 100 10 50 10 Integral 30 80 20 10 Aceite 70 0 20 30

Los precios de venta al público son: 65 céntimos de euro por cada barra de pan normal, 70 céntimos el rústico, 80 céntimos el gallego, 80 céntimos el integral y 90 céntimos el de aceite. Las existencias para el día de cada ingrediente son: 3 sacos de 25 Kg. de harina refinada, 5 sacos de 10 Kg. de harina integral, 2 sacos de 10 Kg. de centeno y 12 litros de aceite. La demanda máxima diaria es de 700 barras de pan conjuntamente entre pan normal, rústico y gallego; y de 150 barras entre pan integral y de aceite. Otra característica de la demanda de pan es que se venden más del triple de panes normales que de integrales. La demanda mínima diaria de cada tipo de pan es de 150 barras para el normal, 120 para el rústico, 150 para el gallego, 50 para el integral y 40 para el de aceite. Plantea el problema para determinar cuántas barras debe elaborar de cada tipo de pan para maximizar los ingresos suponiendo que vende todos los que produce.

26. Un granjero quiere planificar la alimentación de su ganado al menor coste

posible. El ganado puede alimentarse de tres maneras diferentes: con forraje que el grajero puede adquirir a 20 céntimos de euro el kilo, con un pienso A a 50 céntimos el kilo o con un pienso B a 40 céntimos el kilo. Cada cabeza de ganado debe obtener diariamente al menos 400 gramos de proteínas, al menos 800 gramos de hidratos de carbono y no más de 100 gramos de grasas. El forraje contiene un 10% de proteína, un 80% de hidratos y un 10% de grasas. El pienso A contiene un 40% de proteína, un 60% de hidratos de carbono y no contiene grasas. El pienso B contiene un 30% de proteína, un 50% de hidratos de carbono y un 20% de grasas. El granjero quiere obviamente minimizar los costes.

a) Define las variables y modeliza el problema.

b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS.

c) Escribe cuál es la dieta óptima, el coste óptimo y el valor de las variables de

holgura.

d) Indica cuáles son las variables básicas y no básicas en la solución obtenida.

e) ¿Es única la solución? ¿Es degenerada?

f) ¿Sigue siendo válida la solución si las necesidades de proteína del ganado

pasaran a ser de 600 gramos diarios? Explica tu respuesta.

g) La Unión Europea decide subvencionar el pienso B con 3 céntimos de euro por

Kg. ¿Es válida la solución actual en esas condiciones?

h) ¿En cuánto aumentaría el coste si las necesidades de hidratos de carbono

pasaran a ser de 900 gramos?

i) Escribe entre qué valores puede oscilar el precio del pienso A para que siga

siendo válida la solución actual.

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27. MONDESCOR es una empresa que fabrica dos modelos de coches en dos plantas

de producción y los vende en Madrid, Barcelona y Valencia. Los costes de transportar un coche, independientemente del modelo, de cada fábrica a cada ciudad, vienen dados en unidades monetarias en la siguiente tabla:

Madrid Barcelona Valencia Planta 1 30 20 40 Planta 2 100 90 40 Y la demanda de cada modelo en cada ciudad es:

Madrid Barcelona Valencia Modelo 1 800 2000 4500 Modelo 2 1200 1000 1500

La capacidad máxima de producción de cada planta es de 10000 y 8000 coches, respectivamente, sumando los dos modelos.

a) Determina cuántos coches de cada modelo se deben transportar desde cada

planta a cada ciudad para satisfacer la demanda y minimizar los costes de transporte.

b) ¿Qué ocurrirá con la solución anterior si en Madrid se produce un aumento de

demanda del 10% para el Modelo 1?

28. MULTIPOT es una empresa especializada en la fabricación y comercialización de

barriles de tres capacidades diferentes: de 100, 50 y 20 litros de capacidad. Tras realizar un estudio de mercado, la empresa piensa que le resultaría rentable comercializar como máximo 1062 barriles en total, siempre que sean al menos 100 de 100 litros y 300 de 20 litros. Bajo estas condiciones, los beneficios que obtendría por cada barril serían de 52, 50 y 48 unidades monetarias respectivamente. Sabiendo que la empresa dispone de un total de 1500 horas de mano de obra y fabricar cada barril de cada capacidad cuesta 100, 80 y 90 minutos, MULTIPOT quiere saber cuántos barriles de cada tipo debe fabricar para maximizar sus beneficios.

a) Define las variables y modeliza el problema.

b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS.

c) ¿Cuántos barriles de cada tipo comercializará MULTIPOT? ¿Qué beneficio

obtendrá?

d) Indica cuáles son las variables básicas y no básicas en la solución óptima y

justifica si la solución es única y/o degenerada.

e) Si la empresa decide fabricar un barril menos de 20 litros, ¿qué ocurrirá con

los beneficios?

f) Si el beneficio por barril de 100 litros desciende hasta 50 unidades monetarias,

¿la solución sigue siendo óptima? Escribe la solución óptima y el valor de la función objetivo en el óptimo.

g) Si la empresa decide fabricar como mínimo 1100 barriles en total, ¿la solución

sigue siendo óptima? Escribe la solución óptima y el valor de la función objetivo en el óptimo.

29. Una refinería adquiere petróleo para procesarlo y obtener tres tipos de

gasolinas. El crudo que adquiere en el mercado es de cuatro clases diferentes, siendo las características en cuanto a octanaje, las disponibilidades y los precios, los que se recogen en la tabla siguiente:

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Yogures comerciales Ingredientes (Kgs/l.) Nombre Benef. (€/l.) Yogur leche Jar. Plátano Jar. fresa Natural 0,91 0,9 0 0 Plátano 1,03 0,5 0,3 0 Fresa 1,22 0,4 0 0, Plátano-Fresa 1,24 0,3 0,25 0, Nat.azucarado 0,79 0,8 0 0 Disponibilidad (Kgs.) 250 50 50

También tiene en cuenta que la demanda de los yogures de plátano y fresa no puede superar las 50 unidades de cada uno y que de natural y natural azucarado debe producir al menos tantos como de los otros tres. La empresa desea maximizar sus beneficios. Se pide:

a) Define las variables y modeliza el problema.

b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS.

c) Solución óptima en términos económicos para las variables principales y la

función objetivo.

d) Valor óptimo y significado económico del multiplicador de K-T de la 3ª

restricción.

e) Valor óptimo y significado económico de la variable de holgura de la 1ª

restricción.

f) Razona si la solución es única o hay solución múltiple.

g) Intervalo de sensibilidad e interpretación económica del precio del yogur

azucarado.

32. Una empresa editorial publica y comercializa tres tipos de libro: novela, ensayo

y poesía. El proceso de publicación y comercialización de cada uno de estos libros pasa por 4 secciones: edición del texto, diseño de dibujos y fotos, impresión y encuadernado, y distribución y comercialización. La tabla adjunta proporciona el número de horas empleadas en cada sección por unidad y los beneficios estimados (en cientos de euros) para cada tipo de libro.

Tipo de Libro

Edición Texto

Dibujos y Fotos

Impresión y Encuadernado

Distribución y Comercialización Beneficios Novela 10 6 24 8 28 Ensayo 9 15 28 20 15 Poesía 15 5 48 50 25

Sabiendo que dispone de 1620 horas en la sección de edición del texto, 748 horas en la sección de diseño de dibujos y fotos, 4392 horas en la sección de impresión y encuadernado, y 5200 horas en la sección de distribución y comercialización, la empresa desea conocer cuántos libros tiene que publicar y comercializar de cada tipo para maximizar sus beneficios.

a) Define las variables y modeliza el problema.

b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS.

c) ¿Cuál es la solución óptima del problema? ¿Y el beneficio máximo? ¿Se gastan

todos los recursos disponibles?

d) Indica cuáles son las variables básicas y no básicas en la solución óptima. ¿La

solución es única y/o degenerada?

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e) ¿Qué efecto tendría sobre el beneficio la publicación y comercialización de 4

libros de ensayo?

f) ¿Entre qué valores pueden variar las horas disponibles en la sección de

impresión y encuadernado para que siga sin interesar a la empresa publicar y comercializar libros de ensayo?

g) ¿Cuál sería la solución óptima del problema si los beneficios de la publicación

y comercialización de novelas aumentaran a 2875€? ¿Y el beneficio óptimo?

33. La dirección de una cooperativa vinícola pretender introducirse en el mercado

de los vinos elaborados, para ello ha analizado las variedades de cepas que tienen sus socios así como las previsiones de cosechas para los próximos años, y con esos estudios previos han tomado la decisión de invertir en una planta de elaboración de vinos y cavas. De cara a la próxima cosecha las características de las diferentes variedades, y las disponibilidades son las siguientes:

Variedad Clase Graduación Disponibilidad (en litros)

Precio de coste (cts. €) Bobal Tinto 10 200.000 25 Tempranillo Tinto 8 250.000 29 Garnacha Tinto 14 400.000 22 Macabeo Blanco 5 150.000 35 Garnacha Blanco 8 200.000 40

Con estas variedades la cooperativa pretende elaborar siete tipos de vinos y cavas con diferentes características:

Producto Graduación Tipo de variedad Mesa blanco 9 100% blanco Rosado 10 60% blanco y 40% tinto Tinto de mesa 13 100% tinto Tinto de crianza 11 100% tinto Tinto de reserva 12 100% tinto Cava 7 100% blanco Cava rosado 7 60% blanco macabeo

La cooperativa debe cumplir una serie de requisitos con la empresa distribuidora de las nuevas clases de vinos y cavas, así la producción de blanco de mesa no puede exceder de las 100.000 botellas de 0,75 litros. La elaboración de vino rosado ha de ser superior a las 50.000 botellas de 750 c.c. El vino de mesa tinto no puede exceder de las 100.000 botellas de 0,75 litros. La producción del tinto de crianza ha se ser superior a las 300.000 botellas de 750 c.c. El tinto de reserva ha de elaborarse un mínimo de 200.000 botellas de 0, litros. La producción de cava ha de ser superior a las 50.000 botellas de 0, litros, mientras que del cava rosado no pueden elaborarse más de 100. botellas de 750 c.c.

Los márgenes netos (precio de venta menos los costes de elaboración) que proporcionan los diferentes vinos y cavas son los siguientes: el vino blanco de mesa tiene un margen de 0,4 € por botella, el vino rosado proporciona un margen de 0,45 € por botella, el tinto de mesa tiene un margen de 0,25 € por botella. En cuanto a los tinto de crianza y reserva los márgenes son respectivamente de 0,45 y 0,40 € por botella. Los cavas proporcionan unos márgenes de 0,30 € el cava normal y de 0,35 € el cava rosado. Con la información anterior, de ha de determinar las mezclas de las diferentes variedades de forma que se alcance la graduación alcohólica necesaria en cada

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f) Se nos ofrece un Kg. más de fermento a un precio de 10 euros. ¿Nos conviene

aceptar la oferta? ¿Cuál es el incremento esperado para el ingreso?

g) Indica el intervalo de sensibilidad de la disponibilidad de fermento y explica lo

que significa que el término independiente salga de ese intervalo.

h) ¿Entre qué valores puede oscilar el precio del yogur natural para que la

solución actual siga siendo válida?

36. La ciudad 1 produce diariamente 500 Tm. de basura y la ciudad 2 produce 400

Tm. Hay dos quemadores para destruir la basura, en cada uno de los cuales se puede incinerar hasta 500 Tm. de basura al día. El coste de quemar basura en el quemador 1 es de 40 $/Tm. y en el quemador 2 es de 30 $/Tm. La incineración reduce cada tonelada de basura a 0.2 Tm. de desechos que hay que tirar en uno de dos basureros disponibles. Cada basurero puede recibir como máximo 200 Tm. de desechos al día. El coste de transportar una tonelada de basura o de desechos es de 3 $/milla, y las tablas siguientes contienen las distancias en millas entre las ciudades y los quemadores y entre los quemadores y los basureros.

Quemador 1 Quemador 2 Ciudad 1 30 5 Ciudad 2 36 42

Basurero 1 Basurero 2 Quemador 1 5 8 Quemador 2 9 6

a) ¿Cuánta basura debería quemarse en cada quemador y cuántos desechos

deberían llevarse a cada basurero para minimizar los costes? ¿Es única la solución?, ¿es degenerada?

b) Razona qué ocurriría con la solución óptima si la ciudad 2 aumenta su

producción diaria de basura a 450 Tm.

37. Un exportador de cítricos adquiere naranjas a los agricultores de su zona para

manipularla y exportarla a distintos países de la UE. Los precios en el campo y los costes de manipulación determinan unos márgenes de beneficio que dependen de la variedad de la naranja. La siguiente tabla proporciona estos datos y los meses del año en que se puede recolectar cada variedad.

1. Marisol 2. Clemenules 3. Clemenvilla Beneficio €/Kg. 0’03 0’07 0, Meses Octubre a Dic. Nov. a Enero Dic. a Febrero

La oferta máxima de naranja en la zona para esta campaña es de 200000 Kgs para cada una de las variedades 1 y 3 y de 400000 para la variedad 2. Los clientes extranjeros demandan naranja según los meses del año, sin importarles mucho la variedad de la que se trate. Las demandas que deben ser satisfechas vienen dadas en la siguiente tabla: Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Demanda (Kg) 60000 150000 230000 90000 70000

Las limitaciones del almacén donde se manipula la naranja suponen que de cada variedad y en cada mes no se pueden tratar más de 130000 Kgs.

a) Con estas limitaciones, plantee el problema que proporciona a este exportador

la cantidad de Kgs que debe comercializar de cada variedad en cada mes para maximizar el beneficio.

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b) Obtenga el intervalo de sensibilidad de la demanda de Octubre e interprételo

económicamente.

38. El gobierno quiere reformar las pensiones para ahorrarse al menos 800 millones

de € el próximo año y al menos 6000 millones de € de aquí a 10 años. Ha realizado una estimación del ahorro de cuatro posibles medidas y del coste político que tendrían. En la siguiente tabla se muestra el ahorro de cada medida (en millones de €) y el porcentaje de población que está en contra de cada una:

Medida

Ahorro próximo año

Ahorro de aquí a 10 años

Coste político

Bajar las pensiones en términos reales en el año próximo: ahorro por cada punto porcentual que bajen

Aumentar la edad de jubilación: ahorro por cada año que se aumente

Exigir más años cotizados para obtener la pensión completa: ahorro por cada año cotizado adicional

Calcular la pensión sobre la base de más años cotizados: ahorro por cada año cotizado adicional

Todas las reformas se pueden implantar con distinta profundidad, aunque la edad legal de jubilación no se puede aumentar más de 3 años y 6 meses, y los años cotizados adicionales de la tercera y cuarta medida deben ser los mismos. Modeliza el problema mediante un problema de programación matemática para determinar la profundidad de cada reforma que se debería implantar para minimizar el coste político pero cumpliendo los objetivos de ahorro.