EJERCICIOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
ELABORADOS EN EL LIBRO
PROBLEMAS RESUELTOS DE COMBINATORIA. LABORATORIO DE SAGEMATH
Tema 2. Combinatoria
2.1 Principios básicos de conteo
1. Sea el conjunto A={1,2,3,4,5}.
(a) Representa mediante una cadena de bits los subconjuntos ∅,{2,3,5},{1,5}yA.
(b) Determina el número de subconjuntos no vacíos de A.
(c) Calcula cuántos subconjuntos de Acontienen a los elementos 1y2.
2. Determina cuántos números capicúas hay con siete cifras.
3. En un colegio se utilizan códigos formados por tres letras mayúsculas (de las 27 del alfabeto)
seguidas de 4 cifras (del 0 al 9) para clasificar los historiales de los alumnos.
(a) ¿Cuántos expedientes se pueden codificar?
(b) ¿Y si en cada código no se repiten las cifras ni las letras?
(c) ¿Cuántos códigos que cumplen la condición del apartado anterior no son de la forma
A− − 1− − 3?
4. Demuestra que, dado cualquier conjunto de seis enteros positivos distintos, hay al menos dos
cuya diferencia es un múltiplo de 5.
5. Un estudiante de derecho estudió un total de 110 páginas para un examen durante 10 días
consecutivos (cada día un número entero de páginas). Si sabemos que el último día estudió
tantas páginas como el primero y menos de 10 páginas, demuestra que hubo un par de días
consecutivos en los que estudió un total de, al menos, 23 páginas.
6. Consideremos un conjunto de 5 números naturales diferentes {n1, n2, n3, n4, n5}cuya suma
es 39. Demuestra que existen en este conjunto tres números cuya suma es al menos 24.
7. Si se eligen 10 puntos en el interior de un triángulo equilátero de lado 1, demuestra que hay
puntos cuya distancia de separación es inferior a 1/3.
8. El 18 de septiembre de 2000 entró en vigor un nuevo sistema de matriculación de vehículos
en España. Es el llamado modelo “europeo”, sin distintivos provinciales, con la “E” de Es-
paña sobre la bandera de la Unión Europea y una combinación de cuatro cifras (de 0000 a
9999) seguidas de tres letras (de BBB a ZZZ) de las que se excluyen las vocales (para evitar
combinaciones malsonantes y acrónimos significativos), la Ñ (por confundirse con la N) y la
Q (por confundirse con el 0).
(a) ¿Cuántas matrículas diferentes son posibles con este sistema?
(b) ¿En cuánto podría incrementarse la cantidad si se permitiesen las vocales?
(c) En ese caso, ¿cuántos vehículos habría entre 1990 USC y2015 UDC?
9. Un profesor cuenta con 7 chicos y 10 chicas en un grupo de tutorías y decide seleccionar un
equipo de trabajo formado por dos o tres alumnos. Calcula el número de posibilidades que
tiene para hacer el equipo si quiere que en él haya, exactamente, un chico y no quiere que Xan
trabaje con Usúe ni con Henar.
10. El 30% del alumnado que se matricula por primera vez en el Grado en Ingeniería Informática
aprueba todo en la primera oportunidad. Si en ninguna de las 10 asignaturas el porcentaje de
suspensos entre los matriculados por primera vez supera el 15%, demuestra que hay al menos
tres de esas asignaturas en las que este porcentaje no baja del 5%.
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