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MATEMÁTICAS TIMONMATE
EJERCICIOS RESUELTOS DE COMBINATORIA Juan Jesús Pascual
COMBINATORIA
A. Introducción teórica
A.1. Variaciones.
A.2. Permutaciones.
A.3. Combinaciones.
A.4. Propiedades de los números combinatorios.
A.5. Binomio de Newton.
B. Ejercicios resueltos
B.1. Cálculo del valor de expresiones combinatorias.
B.2. Ecuaciones combinatorias.
B.3. desarrollo de productos mediante el binomio de Newton.
B.4. Problemas de combinatoria.
A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA
A.1 Variaciones:
Las variaciones son agrupaciones ordenadas de objetos de un conjunto.
Importa el orden y no se cogen todos los elementos del conjunto inicial.
a) Variaciones sin repetición:
m!
V m m 1 m 2 m m 1 m 2 m n 1
m,n
m n!
n elementos
b) Variaciones con repetición:
n
VR m
m,n
A.2 Permutaciones
Las permutaciones son las distintas formas en que se pueden ordenar los
n elementos de un conjunto. Importa el orden y, a diferencia de las
variaciones, se cogen todos los elementos del conjunto inicial.
a) Permutaciones sin repetición:
m m ,m
P = V = m m − 1 m − 2 ⋅⋅⋅ 3 2 1⋅ ⋅ =m!
b) Permutaciones con repetición:
r,s,t...
m
m!
P =
r! s! t! ....⋅ ⋅ ⋅
Combinatoria. Ejercicios resueltos TIMONMATE
A.3 Combinaciones
Las combinaciones son agrupaciones de objetos en las que no importa
su orden:
m ,n
m ,n
n
m V m!
C
n n! m n! P
A.4 Propiedades de los números combinatorios:
i.
m m
0 m
ii.
m m
n m n
iii.
m 1 m 1 m
n 1 n n
A.5 El desarrollo del binomio de Newton
n
n 0 n 1 1 n 2 2 n 3 3
n n n n
a b a b a b a b a b ...
− − −
1 n 1 0 n
n n
a b a b
n 1 n
−
B. EJERCICOS RESUELTOS
B.1. Halla el valor de cada expresión:
6,
V
Solución:
Hay que recordar que:
m ,n
n elementos
m!
V m m 1 m 2 m m 1 m 2 m n 1
m n!
Entonces:
Combinatoria. Ejercicios resueltos TIMONMATE
4 ,
4
V
P
Solución:
4 ,
4
V
P
B.2. Halla el valor de x:
x,2 x ,
VR − V = 8
Solución:
2 2 2
x − x x − 1 = 8 ⇒ x − x + x = 8 ⇒ x = 8
3 x 3
Solución:
Hay que recordar la propiedad
m 1 m 1 m
n n 1 n
Entonces, directamente:
x 3 1 x 2
3 x 3
5 2x 2x 2
Solución:
Hay que recordar la propiedad
m m
n m n
Entonces, el siguiente sistema nos da la solución:
m 39
5 2x n x 9
2x 2 m n
12 x( 2 !)
x!
Solución:
TIMONMATE Combinatoria. Ejercicios resueltos
12 x ( −2 !)
x x ( − 1 ) ( x −2 !)
1 2
2
x 4
1 x x 12 0
x 3
B.3. Desarrolla los siguientes productos mediante el binomio de Newton
2
x + y =
2 0 1 1 0 2
x y x y x y
2 2 2 2
x xy y x 2 xy y
3
x − y =
0 1 2 3
3 2
3
1 0
x y x y x y x y
y
x
3 2 2 3
= x − 3x y + 3xy −y
4
x + 2 =
0 1 2 3 4
4 3 2 0
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
4 3 2
x 4 2 x x 2 4 2 x 4
4 3 2
= x + 4 ⋅ 2 x⋅ + 6x + 8 ⋅ 2 x⋅ + 4
5
a b
2 a
5 0 4
5 1 3 2
a b a b a b
0 2 a 1 2 a 2 2
a b
2 a a
3 4 5 2 0
a b a b a b
2 a 2 a 2 a
5 5
3 2 3 4
4 3 3
a a b 5! ab 5! b 5! b b
2 2 2 5 2! 2 3! 5 3! 4a 4! 5 4! 2a a
TIMONMATE Combinatoria. Ejercicios resueltos
Solución:
El orden no importa. Luego son combinaciones. Los elementos no se
pueden repetir. Entonces tenemos combinaciones sin repetición, de 8
elementos tomados de 3 en tres:
8,
C
19. a) ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra
JUAN? b) ¿Cuántas ordenaciones distintas empezarán por vocal?
Solución:
a) Tenemos 4 elementos y nos piden de cuántas formas podemos
ordenarlos. No hay repetición de elementos, el orden si importa y en
la ordenación están todos los elementos. Se trata, por lo tanto, de
permutaciones de 4 elementos (o dicho de otro modo: variaciones sin
repetición de 4 elementos tomados de 4 en 4):
4
P = 4! = 4 3 2 1⋅ ⋅ ⋅ = 24
b) Para U _ _ _ , las ordenaciones son
3
P = 3! = 6 y para A _ _ _ las
ordenaciones son
3
P = 3! = 6. Entonces las ordenaciones que
empiezan por vocal son las suma de las dos, es decir, 12.
20. ¿Cuántos números distintos se pueden formar con los dígitos 3224531?
Solución:
El orden influye, luego no son combinaciones. En los grupos que se
forman están todos los elementos. Así que tenemos permutaciones. Y
como hay dígitos repetidos, las permutaciones son con repetición.
Entonces:
2,2,1,1,
7
P = = = 1260
21. ¿Cuántas combinaciones se pueden hacer con dos elementos tomados del
conjunto C = { a, b, c,d, e, f}? Escribe las combinaciones posibles.
Combinatoria. Ejercicios resueltos TIMONMATE
Solución:
Tenemos que hallar el número de combinaciones del conjunto de seis
elementos tomados de dos en dos:
6,
C
Esas 15 combinaciones son las siguientes:
ab, ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf, cd, ce, cf, de, df, ef.
22. a) ¿Cuántas permutaciones pueden hacerse con la palabra
MATEMATICAS?
b) ¿Cuántas empezarán por la letra M?
c) ¿Cuántas empezarán por la letra A?
d) ¿Cuántas empezarán y terminarán simultáneamente por la letra A?
e) ¿Cuántas tendrán las tres letras A juntas?
Solución:
a) No consideraremos las tildes. Tenemos entonces tres letras A, dos
letras M, dos letras T, una E, una C, una S y una I. Las repeticiones son
posibles. Así que :
3,2,2,1,1,1,
11
P = =
b) Fijamos una M y buscamos las permutaciones que forman las
restantes 10 palabras, teniendo en cuenta que habrá tres letras A y dos
T (permutaciones con repetición). Entonces:
3,2,1,1,1,1,
10
P = =
c) Fijamos una A y buscamos las permutaciones que forman las restantes
10 palabras, teniendo en cuenta que habrá dos letras A, dos M y dos T
(permutaciones con repetición). Entonces:
2,2,2,1,1,1,
10
P = =
