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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y
CÁLCULO DE PROBABILIDADES.
Combinatoria.
1.- Introducción. 2.- Número factorial. 3.- Números combinatorios. 4.- Combinatoria. 4.-1 Combinaciones. A.-) Combinaciones ordinarias o sin repetición. B.-) Con repetición. 4.-2 Permutaciones. A.-)Ordinarias o sin repetición. B.-) Con repetición. 4.-3 Variaciones. A.-)Ordinarias o sin repetición. B.-) Con repetición. 5.- Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos. 6.- Operaciones con sucesos. Sucesos incompatibles o compatibles.
Objetivos
- Saber calcular números factoriales y números combinatorios mediante las expresiones y la calculadora y sus propiedades.
- Conocer las distintas técnicas de recuento. Permutaciones, combinaciones y variaciones.
- Resolver problemas donde se utilicen diagramas en árbol y técnicas de recuento.
1.- Introducción.
La combinatoria estudia las diferentes formas en que se pueden realizar la ordenación o agrupamiento de unos cuantos objetos siguiendo unas determinadas condiciones o reglas. Una forma de hacer estos recuentos es utilizar los diagramas en árbol. Estos recuentos están íntimamente relacionados con la probabilidad.
2.- Número factorial: es el producto de nos^ consecutivos naturales n! = (n)·(n-1)·(n-2)· ......3·2· .Todo producto tiene al menos dos factores, luego debemos admitir que 0!=1 y que 1!= 1. Propiedad: n! = n (n-1)!
3.- Números combinatorios: se llama número combinatorio de índice m y orden n al número de
combinaciones de m elementos tomados de n en n tales que n m.
n
m
n!(m n)!
m!
Propiedades:
m =
m
m = 1
n
m =
m n
m
4.- Combinatoria. 4.-1.- Combinaciones: se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (n (^) m) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:
- cada agrupación está formada por n elementos distintos entre sí.
- dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta el orden.
Cm,n = n!(m n)!
m!
n
m = número combinatorio.
Ejercicios : 1.-) Calcular C6,3, C9,2 y C5,4. 2.-) ¿Cuantos billetes de tren se pueden hacer con diez estaciones, presentado una estación de llegada y otra de salida? 3.-) ¿Cuantas parejas se pueden establecer en una reunión de 35 personas para que hablen de un determinado tema? y ¿tríos? 4.-) Con las cincos vocales ¿cuántos subconjuntos de 3 vocales podemos obtener?, representarlos. 5.-) A un congreso asisten 60 congresistas de los cuales 40 hablan en inglés y 30 en francés. Representar en un diagrama a los congresistas. ¿Cuántas parejas se pueden formar donde los congresistas no se entiendan? ¿Cuántas parejas diferentes se pueden formar? ¿Cuántas parejas se entienden? ¿Cuántas parejas se entienden en un solo idioma? ¿Cuántas parejas se puede formar donde los dos hablen en francés? ¿Cuántas parejas se pueden formar donde al menos uno sea bilingüe? ¿Cuántas parejas se pueden forma donde a lo sumo uno sea bilingüe?
El número de subconjuntos totales que se pueden obtener de un conjunto inicial A responde a la expresión 2n^ siendo n el número de elementos del conjunto de A. Para A= {a, b, c, d}
PRma,b,c...^ = a!b!c!...
m!
Ejercicio : 1.-) ¿Cuantas quinielas con 7-1, 3-2 y 5-x, se pueden hacer? 2.-) Con 3 pares de zapatos, 4 pantalones y 3 camisas, ¿de cuantas maneras diferentes no podemos vestir si no hay ninguna prenda repetida y zapatos tampoco?
4.-3.- Variaciones ordinarias: Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n ( n m ) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:
- los n elementos que forman el grupo son distintos (no se repiten).
- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que están colocados (influye el orden).
Vnm^ =Vm,n = ( )!
m n
m
= m ( m 1 )( m 2 ( m 3 )...( m n 1 )
Ejercicio : 1.-) En una urna hay siete bolas numeradas y tomamos consecutivamente 2. ¿Cuántas posibilidades distintas tenemos de tomar las dos bolas? 2.-) En una carrera de 1500 metros participan 10 atletas, ¿De cuantas maneras se podrá entregar las medallas de oro, plata y bronce? 3.-) En una clase de 24 alumnos de cuantas maneras diferentes se podrá elegir un delegado, un subdelegado, un vocal y un secretario.
Variaciones con repetición: se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
- los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos.
- Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que estos están colocados (influye el orden). VRm,n = mn Ejercicio : 1.-) Con los dígitos 1,2,3,4,5,6, y 7, cuantos números de 5 cifras se pueden formar. ¿Cuántos empiezan por 3? 2.-) ¿Cuantos números de 4 cifras se pueden formar?
5.- Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos. Un experimento es determinista cuando al repetirlo bajo análogas condiciones se obtiene siempre el mismo resultado y es aleatorio cuando al repetirlo en idénticas condiciones no se puede predecir su resultado. Por ejemplo, el lanzamiento de una dado es un experimento aleatorio así como tomar una carta de una baraja española. Dejar caer un objeto, de una determinada altura y medir el tiempo, es un experimento determinista. El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de los resultados posibles del experimento. Lo representaremos por E o Ω. Cada uno de los elementos que presenta el espacio muestral se llaman puntos muestrales. Por ejemplo el espacio muestral del lanzamiento de una moneda sería E={C,X}.
Ejercicio : Determinar el espacio muestral del lanzamiento de dos monedas y el espacio muestral del lanzamiento de dos dado.
Se llama suceso aleatorio a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral. El conjunto de todos los sucesos de un experimento aleatorio se denomina espacio de sucesos y se representa por S. Si E tiene n elementos, S está formado por 2n^ subconjuntos. Guarda relación con lo visto en combinatoria.
- Tipos de sucesos. a.-) Sucesos elementales: son los que están formados por un solo punto muestral. b.-) Sucesos compuestos: son los que están formados por más de un punto muestral. c.-) Suceso cierto o seguro: es el que siempre se realiza. Designado E. d.-) Suceso imposible: es el que nunca se realiza. Designado por . e.-) Suceso contrario o complementario: dado un suceso cualesquiera del espacio muestras E, designado por A se llama suceso contrario o complementario de A al que se realiza cuando no se realiza A. Designado por A’ o f.-) Inclusión de suceso: un suceso A está incluido o contenido en otro B si siempre que se realiza A se realiza B. A contenido en B, A B. g.-) Igualdad de suceso: dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio son iguales, si siempre que se realiza A se realiza B y viceversa.
6.- Operaciones con sucesos. Sucesos incompatibles o compatibles. Unión de sucesos: Dado dos sucesos de un mismo experimento aleatorio se llama suceso unión de A y B al suceso que se realiza cuando se verifica A o B. El suceso A unión B se representa: A B. Intersección de sucesos: Dado dos sucesos de un mismo experimento aleatorio se llama suceso intersección de A y B al suceso que se realiza cuando se verifica A y B. El suceso A intersección B se representa: A B.
- Sucesos compatibles e incompatibles. Si A ∩ B = entonces A y B son incompatible, o sea no tienen nada en común. Si A ∩ B entonces A y B son compatibles, o sea tiene elementos en común.
Álgebra de Boole. Unión Intersección
1.-Asociativa (A U B) U C = A U ( B U C) (^) (A B) C = A ( B C )
2.-Conmutativa A U B = B U A A B = B A
3.- Idempotente A U A = A (^) A A = A
4.- Simplificativa A U ( B A) = A A (B U A) = A
5.- Distributiva (^) A U ( B C ) = (A U B) ( A U C)
