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Estadística
Es una parte de la matemática aplicada que nos proporciona
instrumentos para recopilar, organizar, resumir, presentar,
analizar, hacer predicciones e interpretar datos para tomar
decisiones sobre hechos y fenómenos de estudio.
ÁREAS QUE CONFORMAN LA ESTADÍSTICA.
Estadística Descriptiva. - Es la parte de la Estadística que se
encarga de recolectar, clasificar, organizar, resumir, presentar
y analizar en forma descriptiva sin sacar conclusiones de tipo
general.
Estadística Inferencial. - Es la parte de la Estadística, cuyo
propósito es inferir o deducir conclusiones y/o predicciones
con respecto a una población en estudio a partir de la
información de una muestra.
POBLACIÓN Y MUESTRA
POBLACIÓN. Es el total de individuos o medidas de objetos
que tienen una característica común y que permite
agruparlas.
MUESTRA. Es un sub conjunto de la población, para que
sea representativa, debe ser elegida en forma aleatoria.
VARIABLES
La variable estadística es una característica común que
presentan todos os elementos de la población, que es
materia de estudio o investigación.
EJEMPLO:
EJERCICIOS:
1. Considerando a los estudiantes de tu institución
educativa, completa el siguiente cuadro, dependiendo
si el carácter estadístico es constante (invariable) o
variable:
PROPIEDADES ES ¿POR QUÉ?
Sexo
Estatura
N° de cursos
de primer año
Distancia de tu
casa a la I. E.
Mes de
nacimiento.
- Ordena con una “X”, los siguientes caracteres estadísticos en
el cuadro según corresponda.
a. Profesión de los padres.
b. Diámetros de tubos de agua.
c. Carrera que deseas estudiar.
d. Número de pañales vendidos en un día las bodegas.
e. Capacidad del depósito de gasolina de una moto Wave
f. Número de granos de una espiga.
g. Número de goles marcados en los partidos de fútbol del
último domingo.
h. Color de ojos de las personas.
i. Qué religión profesa.
j. Estado civil de las personas.
Orden Cualitativas Discretas Continuas
a b c d e f g h i j
- Como te sugeríamos antes, elabora una encuesta a los
padres de la cuadra donde vives. En la encuesta puedes
tomar las mismas preguntas como: edad, ocupación, grado
de instrucción, pasatiempos, deportes que practican o crear
otras. Es muy importante trabajar con responsabilidad y
anotar tus datos con veracidad.
Los datos de tu encuesta podrías organizarlos en un cuadro
como este:
Edad ocupación Talla
N° de
hijos
Peso
ORGANIZACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE DATOS
Conceptos básicos:
a) Variable: característica o características de una población
susceptible a ser medida.
b) Número de datos ( n ). es la cantidad total de la muestra.
c) Frecuencia absoluta ( fi ). numero de veces que aparece un
valor.
d) Frecuencia relativa ( h i
). es el cociente entre la frecuencia
absoluta y el número total de datos.
h
i
𝒇𝒊
𝒏
e) Frecuencia porcentual ( pi ). Es la frecuencia relativa
expresada en porcentaje; es decir, multiplicar por 100 a cada
frecuencia relativa.
f) Frecuencia absoluta acumulada ( F i
). Es la suma de las
frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a n.
Fi = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 … + fi
g) Frecuencia relativa acumulada ( H i
). Es el cociente entre la
frecuencia absoluta acumulada y el número total de datos.
H
i
𝒇𝟏
𝒏
𝒇𝟐
𝒏
𝒇𝟑
𝒏
𝒇𝒊
𝒏
H
i
= h
i
+ h
2
+ h
3
+ … + h
i
Tablas de distribución de frecuencias.
Tabla. Son cuadros que facilitan la comprensión y posterior
análisis y utilización de los daos, los cuales deben constar de:
- Un título adecuado que exprese brevemente su contenido.
- Considerar fuentes de datos.
- Las unidades en que se expresan los datos.
Distribución de frecuencias para datos no agrupados.
Es la organización de datos o variables cualitativos y de variables
cuantitativas de menor cantidad de muestra.
a) Organización de los datos cualitativos : Para la realización de
las tablas
- Categorías de la variable: modalidades de la variable.
- Frecuencia absoluta
- Frecuencia relativa.
- Porcentaje.
Ejemplo:
- Distribución de frecuencias de ocupaciones.
OCUPACIONES fi hi pi
Obreros 4
Empleados 3
Empresarios 2
Jubilados 2
Estudiantes 1
Total 12
b) Métodos para datos cuantitativos. Para la realización de las
tablas:
- Frecuencia absoluta ( f i
- Frecuencia absoluta acumulada ( F i
- Frecuencia relativa ( h i
- Frecuencia relativa acumulada ( H i
- Frecuencia porcentual ( p i
Ejemplo:
Distribución de edades de las personas de mi cuadra.
Edades
(años)
f i
F
i
h i
H
i
p i
TOTAL 12
Representación gráfica de los datos no agrupados.
a) Diagramas de barras.
- Se debe construir un sistema de coordenadas:
- eje de abscisas o eje X : van los datos de las variables de
estudio, cuidando el orden y la proporción de distancia
entre dato y dato.
- eje de ordenadas o eje Y : ubica los valores de la
frecuencia absoluta, frecuencia relativa u frecuencia
porcentual.
b) Ciclogramas.
Círculo dividido en sectores en función de la presencia de cada
modalidad.
0
100
200
300
400
500
A B C D
Nº
variable 1
Numero de unidades de análisis
de acuerdo a variable 1
Distribución de las unidades de análisis de
acuerdo a variable 1
A
20%
D
10%
C
40%
B
30%
Polígonos de frecuencia
Cuando construimos el histograma, consideramos las
marcas de clase. Si ubicamos los puntos de las marcas de
clase en la base de los rectángulos y unimos dichos puntos
con el de la frecuencia respectiva, estaremos construyendo
un polígono, incluida la porción del eje X. A dicho polígono
lo llamaremos Polígono de frecuencia. Si consideramos
la frecuencia relativa, estaríamos graficando el Polígono de
frecuencia relativa. El área del polígono es igual a la suma
de las áreas de los rectángulos del histograma.
Ejercicios
- EJEMPLO 2. Se preguntó a un grupo de alumnos de primer
año del Plantel “X”, por la asignatura de su preferencia,
arrojándose los siguientes resultados:
Organizar los resultados de asignaturas en un cuadro
estadístico y elaborar su gráfico circular
- Un grupo de investigadores pertenecientes a la secretaría de
seguridad pública, tomó una muestra aleatoria de las
velocidades (km/h) registradas por 30 vehículos en el
trayecto Hermosillo a Ures, con el fin de establecer nuevos
límites máximos de velocidad para una carretera. La
muestra arrojo los datos siguientes:
Organizar los resultados de asignaturas en un cuadro
estadístico y elaborar su gráfico circular
- Los siguientes datos son los puntajes obtenidos por 50
estudiantes en un examen:
Construir la tabla de frecuencias y graficarlo.
- Los datos que se dan a continuación corresponden a los
pesos en Kg. de ochenta personas:
a) Obténgase una distribución de datos en intervalos de
amplitud 5, siendo el primer intervalo [50; 55].
b) Calcúlese el porcentaje de personas de peso menor que
65 Kg.
c) ¿Cuántas personas tienen peso mayor o igual que 70 Kg.
pero menor que 85?
- Un fabricante de neumáticos ha recabado, de los diferentes
concesionarios, información sobre la cantidad de miles de
kilómetros recorridos por un modelo concreto de esos
neumáticos hasta que se ha producido un pinchazo o un
reventón del neumático. Los concesionarios la han
proporcionado los siguientes datos:
a-Construir una taba de frecuencias para esos datos tomando
como número de intervalos ignorando las milésimas y
redondeando a las décimas. O sea 52.542 será 52,
b- Construir las tablas de frecuencias acumuladas ascendente.
c- Dibujar el histograma de frecuencias relativas sin acumular y
acumulado.
- Una máquina ha fabricados 60 cilindros cuya longitud en
centímetros se registra
a) Construya una distribución de frecuencia cuyas clases
tengan como amplitud 5 centímetros y que la primera
clase sea 235-239.
b) Construya el histograma y polígono de frecuencia
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central son medidas estadísticas que
pretenden resumir en un solo valor a un conjunto de valores.
Representan un centro en torno al cual se encuentra ubicado el
conjunto de los datos. Las medidas de tendencia central más
utilizadas son: media, mediana y moda.
Los procedimientos para obtener las medidas estadísticas
difieren levemente dependiendo de la forma en que se
encuentren los datos. Si los datos se encuentran ordenados en
una tabla estadística diremos que se encuentran “agrupados” y
si los datos no están en una tabla hablaremos de datos “no
agrupados”.
Media aritmética (𝑥̅ )
También llamado promedio, de una serie de N valores, al
cociente obtenido al dividir la suma de dichos valores entre el
número total de datos (n).
𝑖
𝑛
𝑖= 1
1
2
𝑛
El símbolo Σ se llama sumatoria. Es la letra mayúscula griega
sigma, que equivale a nuestra S, por eso la empleamos para
indicar la suma de valores.
La expresión se lee: sumatoria de x
i
desde que i es 1 hasta n.
Ejemplo:
En un salón de diez alumnos, se obtuvieron las siguientes
calificaciones: 13; 16; 10; 8; 11; 15; 10; 12; 13; 11
Aplicando la fórmula:
𝑥̅ =
13 + 16 + 10 + 8 + 11 + 15 + 10 + 12 + 13 + 11
10
𝑥̅ =
119
10
Se determina que la media aritmética de las calificaciones es
Media aritmética de datos agrupados
Cuando tenemos datos agrupados en intervalos de clase, la
fórmula para calcular la media aritmética (𝑥 𝑖
) es:
En donde f
i
es la frecuencia absoluta de cada intervalo, x
i
es la
marca de clase correspondiente, m es el número de clases y n es
el número de datos.
Veamos un ejemplo:
Tabla: Distribución de frecuencias correspondiente a un test
de aptitudes aplicado a estudiantes del colegio Champagnat
Intervalos
( I )
Marca de
Clase ( xi )
Frecuencia
absoluta ( fi )
xi fi
[ 90 – 98 〉 94 7
[ 98 – 106 〉 102 9
[ 106 – 114 〉 110 13
[ 114 – 122 〉 118 3
[ 122 – 130 〉 126 4
[ 130 – 140 ] 134 4
Aplicando la fórmula:
Moda (𝑀
𝑜
). Es entendida por el valor de la variable estadística
que más se repite o tiene máxima frecuencia.
La moda puede no ser única. Así, si hay dos modas, la
distribución se llama bimodal, si tiene tres modas, trimodal, y así
sucesivamente. Cuando la variable está agrupada en intervalos
de clase, hablaremos de intervalo modal.
Ejemplo:
- Dadas las edades de un conjunto de niños que viajan en un
autobús escolar: 7, 9, 10, 8, 11, 13, 15, 10, 13, 7, 13. ¿Cuál
será su moda?
M
o
- Tenemos los datos: 1; 4; 8; 4; 6; 8; 7; 9; 8. Observamos que
el dato que aparece con mayor frecuencia es el número 8.
Decimos entonces que la moda ( M o
) es: M o
Moda de datos agrupados
Si consideramos las edades de 22
personas agrupadas en la siguiente
tabla, podemos hallar su moda en
datos agrupados. Debemos seguir el
siguiente procedimiento:
a. Encontrar el intervalo en el cual se
encuentra la moda, que es el
intervalo con mayor frecuencia
absoluta.
En este caso es: [ 10 – 14 〉, pues es la que tiene mayor frecuencia (8).
b. Luego aplicamos la fórmula:
𝑜
𝑖
1
1
2
Donde:
M o →
es la moda
L i →
es el límite inferior del intervalo modal (en este caso es 10 )
𝟏
→
es la diferencia de la mayor frecuencia absoluta , menos
la frecuencia contigua anterior.
𝟏
𝟐
→
es la diferencia de la mayor frecuencia absoluta , menos
la frecuencia contigua posterior.
𝟐
C →
es la amplitud del intervalo: L s
– L
i
EDADES f i
[ 2 – 6 〉 3
[ 6 – 10 〉 5
[ 10 – 14 〉 8 ↕
[ 14 – 18 〉 4
[ 18 – 22 ] 2
Evaluación de capacidades de matemática
- Se han medido 75 alumnos, en centímetros, obteniéndose los
siguientes datos:
175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170
164 167 168 174 172 168 176 166 167 169 182 170
169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170
157 170 173 173 174 168 166 172 172 158 159 163
163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178 180
169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 19 0 169
173 1 71 173
Agrupa estos resultados en 8 intervalos
a. confecciona una tabla de frecuencias
b. calcula las medidas de tendencia central.
c. Además, grafica esta tabla.
- Se pregunto a un grupo de 50 chicos, qué redes sociales son los que
más utilizan, y ellos respondieron:
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a. ¿Qué red social es más utilizado? ¿Qué red social es menos
utilizado?
b. ¿Qué porcentaje de jóvenes prefieren Facebook?
c. ¿Cuál es la moda de las redes sociales?
d. ¿Qué porcentaje de jóvenes no prefieren Facebook ni Whatsapp?
e. Elabora una grafico circular de los porcentajes de preferencias de
las redes sociales.
Evaluación de capacidades de matemática
- Se han medido 75 alumnos, en centímetros, obteniéndose los
siguientes datos:
175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170
164 167 168 174 172 168 176 166 167 169 182 170
169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170
157 170 173 173 174 168 166 172 172 158 159 163
163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178 180
169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 19 0 169
174 1 71 173
Agrupa estos resultados en 8 intervalos
a. confecciona una tabla de frecuencias
b. calcula las medidas de tendencia central.
c. Además, grafica esta tabla.
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a. ¿Qué red social es más utilizado? ¿Qué red social es menos
utilizado?
b. ¿Qué porcentaje de jóvenes prefieren Facebook?
c. ¿Cuál es la moda de las redes sociales?
d. ¿Qué porcentaje de jóvenes no prefieren Facebook ni Whatsapp?
e. Elabora una grafico circular de los porcentajes de preferencias de
las redes sociales.
Evaluación de capacidades de matemática
- Se han medido 75 alumnos, en centímetros, obteniéndose los
siguientes datos:
175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170
164 167 168 174 172 168 176 166 167 169 182 170
169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170
157 170 173 173 174 168 166 172 172 158 159 163
163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178 180
169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 19 0 169
175 1 71 173
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a. confecciona una tabla de frecuencias
b. calcula las medidas de tendencia central.
c. Además, grafica esta tabla.
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más utilizan, y ellos respondieron:
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a. ¿Qué red social es más utilizado? ¿Qué red social es menos
utilizado?
b. ¿Qué porcentaje de jóvenes prefieren Facebook?
c. ¿Cuál es la moda de las redes sociales?
d. ¿Qué porcentaje de jóvenes no prefieren Facebook ni Whatsapp?
e. Elabora una grafico circular de los porcentajes de preferencias de
las redes sociales.
Evaluación de capacidades de matemática
- Se han medido 75 alumnos, en centímetros, obteniéndose los
siguientes datos:
175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170
164 167 168 174 172 168 176 166 167 169 182 170
169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170
157 170 173 173 174 168 166 172 172 158 159 163
163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178 180
169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 19 0 169
176 1 71 173
Agrupa estos resultados en 8 intervalos
a) confecciona una tabla de frecuencias
b) calcula las medidas de tendencia central.
c) Además, grafica esta tabla.
- Se pregunto a un grupo de 50 chicos, qué redes sociales son los que
más utilizan, y ellos respondieron:
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a) ¿Qué red social es más utilizado? ¿Qué red social es menos
utilizado?
b) ¿Qué porcentaje de jóvenes prefieren Facebook?
c) ¿Cuál es la moda de las redes sociales?
d) ¿Qué porcentaje de jóvenes no prefieren Facebook ni Whatsapp?
e) Elabora una grafico circular de los porcentajes de preferencias de
las redes sociales.
