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Tema 1Tema 1 Conceptos básicos de inferencia estadísticaConceptos básicos de inferencia estadística
11 II tt dd ióió ll ii ff ii t dí tit dí ti
TemaTema 1. 1. Conceptos básicos de inferencia estadísticaConceptos básicos de inferencia estadística
- Introducción a la inferencia estadística1. Introducción a la inferencia estadística
- Muestreo2. Muestreo
- Concepto de muestreoConcepto de muestreo
- Distribución3. Distribución muestralmuestral
Concepto de muestreoConcepto de muestreo
- Principales tipos de muestreoPrincipales tipos de muestreo
- Concepto de distribuciónConcepto de distribución muestralmuestral
- DistribuciónDistribución muestralmuestral de la mediade la media
- Otras distribuciones: varianza y proporciónOtras distribuciones: varianza y proporciónOtras distribuciones: varianza y proporciónOtras distribuciones: varianza y proporción
BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA
- Pardo, A. y San Martín, R. (1994). Análisis de datos en Psicología II.Pardo, A. y San Martín, R. (1994). Análisis de datos en Psicología II. Madrid: Pirámide.Madrid: Pirámide. Capítulo 1Capítulo 1
1
- Botella y otros (2001). Análisis de datos en Psicología I.Botella y otros (2001). Análisis de datos en Psicología I. Madrid: Pirámide.Madrid: Pirámide. Capítulo 15Capítulo 15
11 INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICAINTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
1 1. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA
- Razonamiento inductivo por el que propiedades desconocidasRazonamiento inductivo por el que propiedades desconocidas de la población sonde la población son estimadaspp estimadas a partir de muestras.a partir de muestras.pp
- Proceso para legitimar el paso de lo particular (muestra)Proceso para legitimar el paso de lo particular (muestra) a lo general (población) con ciertaa lo general (población) con cierta probabilidadprobabilidad..
PoblaciónPoblación ParámetroParámetro
MuestreoMuestreo
MM tt (^) E t dí tiE t dí ti
InferenciaInferencia
MuestraMuestra (^) EstadísticoEstadístico
RequisitosRequisitos
Modelos para establecer el grado de confianza en la veracidadModelos para establecer el grado de confianza en la veracidad ÓÓ
Muestras representativas de la poblaciónMuestras representativas de la población MUESTREOMUESTREO
qq
de las afirmacionesde las afirmaciones DISTRIBUCIÓN MUESTRALDISTRIBUCIÓN MUESTRAL
22 MUESTREOMUESTREO
2 2. MUESTREO.MUESTREO
2.1.2.1. CONCEPTO2.1.2.1. CONCEPTOCONCEPTOCONCEPTO
Proceso deProceso de extracciónextracción de muestras de la población.de muestras de la población.
ObjetivoObjetivo garantizar lagarantizar la representatividadrepresentatividad
FactoresFactores de los que depende:de los que depende: a)a) Tipo de muestreoTipo de muestreo
- Procedimiento de selección (azar)Procedimiento de selección (azar) b)b) Tb)b) Tamaño de la muestraTTamaño de la muestra (n) ññ dd ll tt (((n) ))
- Error muestralError muestral
3
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
2.1.2.1. TIPOS DE MUESTREOTIPOS DE MUESTREO
- Selección al azarSelección al azarSelección al azarSelección al azar
- Todos los elementos tienen la mismaTodos los elementos tienen la misma probabilidad de ser elegidosprobabilidad de ser elegidos ALEATORIOALEATORIO
p obabp obab dad de sedad de se e eg dose eg dos
- Se conoce la probabilidad de extraerSe conoce la probabilidad de extraer cada una de las posibles muestrascada una de las posibles muestras MUESTRA ALEATORIAMUESTRA ALEATORIA
NONO ALEATORIOALEATORIO
No se cumple las condiciones anterioresNo se cumple las condiciones anteriores ALEATORIOALEATORIO
Combinación de ambosCombinación de ambos MIXTOMIXTO Combinación de ambosCombinación de ambos
Tabla de números aleatoriosTabla de números aleatorios
N= 500, n= 80N= 500, n= 80 Métodos de simulaciónMétodos de simulación (((ordenador)(ordenador) dd dd ))
PROPIEDADESPROPIEDADES
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
A) Población finitaA) Población finita (^) Sin reposiciónSin reposición Con reposiciónCon reposición
Muestra aleatoria (n)Muestra aleatoria (n) secuencia desecuencia de v.a.v.a. XX 11 , X, X 22 , ...,, ..., XX (^) nn (extracciones)(extracciones) A) Población finitaA) Población finita
n n V N
Con reposiciónCon reposición N, (N), ..., (N)N, (N), ..., (N)
N!
V
SinSin reposición reposición N, (NN, (N--1), ..., (N1), ..., (N--n+1)n+1)
Nº muestrasNº muestras n n V (^) N , n ( N n )! V (^) N N NN muestrasmuestras
N= 3 (valores 5 6 7) y n=2N= 3 (valores 5 6 7) y n=2N= 3 (valores 5, 6, 7) y n=2N= 3 (valores 5, 6, 7) y n=
3 9 2 2 6 V 3
3 2 ^
x x
V
p = 1 / 6p = 1 / 6 (^) 7 57 5 1 / 91 / 9 ProbabilidadProbabilidad 7 7, 5, 5 7, 67, 6
cada muestracada muestra p = 1 / 6p = 1 / 6^ p = 1 / 9p = 1 / 9
PROPIEDADESPROPIEDADES
A) Población finitaA) Población finita (^) Sin reposiciónSin reposición Con reposiciónCon reposición
Muestra aleatoria (n)Muestra aleatoria (n) secuencia desecuencia de v.a.v.a. XX 11 , X, X 22 , ...,, ..., XX (^) nn (extracciones)(extracciones) A) Población finitaA) Población finita
Nº muestrasNº muestras (^) V n^ N n
Con reposiciónCon reposición N, (N), ..., (N)N, (N), ..., (N)
N!
V
SinSin reposición reposición N, (NN, (N--1), ..., (N1), ..., (N--n+1)n+1)
NN muestrasmuestras n n , (^) ( N n )! V (^) N N
V N n
f(Xf(X 11 ) = f(X) = f(X 22 ) =... = f(X) =... = f(Xnn)) igual distribuciónigual distribución f(Xf(X XX XX )) f(Xf(X ) f(X) f(X )) f(Xf(X ))
f(Xf(X 11 ) = f(X) = f(X 22 ) =... = f(X) =... = f(Xnn)) igual distribuciónigual distribución f(Xf(X 11 , X, X2 ,...2 ,..., X, Xnn)) f(Xf(X 11 ) f(X) f(X 22 )...f(X)...f(Xnn)) f(Xf(X XX XX )) f(Xf(X ) f(X) f(X )) f(Xf(X )) dependientesdependientes
f(Xf(X 11 , X, X2 ,...2 ,..., X, Xnn)) == f(Xf(X 11 ) f(X) f(X 22 )...f(X)...f(Xnn)) independientesindependientes
*...^111
N 2
N 1
N
N
N
N
MuestreoMuestreo
9
B) Población infinitaB) Población infinita (con o sin reposición)(con o sin reposición)
MuestreoMuestreo aleatorioaleatorio simplesimple
MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICOMUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
MUESTREOMUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO ALEATORIO SISTEMÁTICO
Elegir al azar elElegir al azar el primerprimer elemento de la muestra y obtenerelemento de la muestra y obtener todos los demás a partir de éltodos los demás a partir de éltodos los demás a partir de él.todos los demás a partir de él.
ProcedimientoProcedimiento EjemploEjemplo 1.1. Numerar los elementos de laNumerar los elementos de la población (población (NN)) 22 Determinar el tamaño de laDeterminar el tamaño de la
1.1. N = 1000N = 1000
2.2. Determinar el tamaño de laDeterminar el tamaño de la 2.2.^ n =n =^200200 muestra (muestra (nn)) 3.3. Calcular el coeficiente deCalcular el coeficiente de ll ióió ((kk N /N / ))
3.3. k = 1000 / 200 = 5k = 1000 / 200 = 5
elevación (elevación (kk = N / n)= N / n)^44 ii^11 azar (1azar (1--5); (5); (tablatabla ii^11 = 3)= 3) 4.4. Elegir el primer elemento (Elegir el primer elemento (ii 11 )) al azar entre 1 y kal azar entre 1 y k
4.4. ii 11 azar (1azar (1 5); (5); (tablatabla, i, i 11 3)3)
5.5. ii 22 = i= i 11 + k = 3 + 5 = 8+ k = 3 + 5 = 8
5.5. Elegir elementos siguientesElegir elementos siguientes ii^ ii^ kk^88 55
sumando k al anteriorsumando k al anterior 66 Localizarlos en el listado deLocalizarlos en el listado de
ii 33 = i= i 22 + k = 8 + 5 = 13+ k = 8 + 5 = 13 .............. iinn = i= inn--1 1 + k+ k 6 6.. Localizarlos en el listado deLocalizarlos en el listado de la poblaciónla población
nn nn 1 1 iinn = i= i 11 + (n+ (n--1)k1)k
MUESTREO NO ALEATORIOMUESTREO NO ALEATORIO
1.1. AccidentalAccidental ((incidentalincidental)) La selección se hace sin criterios estadísticos o teóricosLa selección se hace sin criterios estadísticos o teóricos (((comodidad).(comodidad). did d)did d) 2.2. IntencionalIntencional La elección se basa en criterios teóricos del investigadorLa elección se basa en criterios teóricos del investigadorLa elección se basa en criterios teóricos del investigadorLa elección se basa en criterios teóricos del investigador (conoce la población y el tema de estudio).(conoce la población y el tema de estudio). 3.3. PorPor cuotascuotas Muestreo estratificado no aleatorioMuestreo estratificado no aleatorio (cuota = % del estrato).(cuota = % del estrato). 4.4. PorPor rutasrutas Itinerario que especifica en detalle los lugares en los que hacerItinerario que especifica en detalle los lugares en los que hacer la selección.la selección.
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3.3. DISTRIBUCIÓN MUESTRALDISTRIBUCIÓN MUESTRAL
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
Indica laIndica la probabilidadprobabilidad de obtener los valores de unde obtener los valores de un
3.1. Concepto de distribución muestral3.1. Concepto de distribución muestral Indica laIndica la probabilidadprobabilidad de obtener los valores de unde obtener los valores de un estadísticoestadístico en todas lasen todas las muestras del mismo tamañomuestras del mismo tamaño queque pueden extraerse de la población.pueden extraerse de la población.
- RelacionaRelaciona muestramuestra (estadístico)(estadístico) -- poblaciónpoblación (parámetro)(parámetro)
- VariabilidadVariabilidadVariabilidad deVariabilidad dede unde unun estadísticoun estadísticoestadístico deestadístico dede unade unauna muestrauna muestramuestra amuestra aa otraa otraotraotra..
- Cada estadísticoestadístico tiene su distribución muestral ((media, varianza, proporción, ...). di i ió )
- Hay una distribución para cada tamañotamaño (n).
- Suelen seguir un modelomodelo teórico de probabilidad (binomial, normal, ji-cuadrado, F, t, ... ).
- Se caracteriza por suSe caracteriza por su valor esperadovalor esperado (= parámetro) y(= parámetro) y pp pp (( pp ) y) y varianza ovarianza o desviación típicadesviación típica (error típico).(error típico).
EJEMPLOEJEMPLO: media aritmética: media aritmética
PoblaciónPoblación N=3 ,N=3 , elementos { 9, 10 ,11}elementos { 9, 10 ,11}
Muestreo con reposiciónMuestreo con reposición n=2n=2 nº muestrasnº muestras^ V (^) Nn N n = 3= 3^22 =9=
Media n f(x)
muestra X^1 X^2 Distribución muestralDistribución muestral 1 9 9
media 9 0
d.típica 0 0 Media^ ni f(xi) 9,0 1 0, 9,5 2 0,
E (media) = 10E (media) = 10
15
9 11 11 11,0 0,0^ ^ (media) = 0’58(media) = 0’
Parámetros^ Población Forma población
Estadístico^ Muestra (estimador (^) Nº d
p
(estimador puntual) Nº de muestras
Valor esperado
Distribución muestral - 1
Error típico Di t ib ió
Tamaño
Estimador
Distribución muestral - 2
Tamaño muestra
TEOREMA DEL LÍMITE CENTRALTEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
CasoCaso:: desconocidadesconocida
S (^) n 1 Sn
se sustituye porse sustituye por SS (^) nn--1 1 o So S (^) nn
n n 1
σ (^) x n^1 n
X- μ n > 30n > 30 N(0,1) σ
X-μ z X
aproximaciónaproximación
nn (^3030) t 1
X- μ nn (^3030) t n-1 Si la poblaciónSi la población X
t σ
t eses normalnormal
¿pero y si la población NO es¿pero y si la población NO es normalnormal ?? ¿pero¿pero, y si la población NO es normal, y si la población NO esnormal ??
EjemploEjemplo
μ 70
PoblaciónPoblación
normalnormal E(^ x) μ
σ
DistribuciónDistribución
muestralmuestral ^70
mediamedia n=25n=
σ 10
μ (^) n
σ
σ x 2
σ 68’26 %68’26 % x 22 62 64 66 68 70 72 74 76 78 X
68’2668’26 % %
E(x ) μ
62 64 66 68 70 72 74 76 78
σ - -^ μμ^ ++ σ
- 4 4 - - 3 3 - - 2 2 - - 1 1 00 11 22 33 44 zz
σ (^) x μ σ x
21
EjercicioEjercicio 11..55 (Pardo(Pardo yy SanSan Martín)Martín)
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
En la población de estudiantes de Psicología, un test de aptitud se distribuyeEn la población de estudiantes de Psicología, un test de aptitud se distribuye normalmente con media 10. Extraemos una muestra aleatoria de 10 sujetos y sunormalmente con media 10. Extraemos una muestra aleatoria de 10 sujetos y su media es 16’5 y su varianza 36. ¿Cuál es la probabilidad de extraer muestrasmedia es 16’5 y su varianza 36. ¿Cuál es la probabilidad de extraer muestras con medias superiores a 16’5?con medias superiores a 16’5?
Muestra n = 10 X = 16’
Población =10, normal t (^) n-
= 16 5 Sx^2 = 36
X
población normal - desconocida
(^00) t t^9
10 16’5 X Distribución tn 1
desconocida n 30
(^00) t P( (^) X 16’5) = P(t 9 t ) = 1- P(t 9 t )
Distribución t (^) n- muestral n 1
S n
S (^) n-1 n (^) x TABLATABLA
3' 36
16'5- 10 S
t X-^ μ x
P(t 9 3’25 ) = 0’ P( (^) X 16’5) = 1- 0’995 = 10 1
36 n (^1)
x
P( (^) X 16 5) 1 0 995 0’0050’
PROPORCIÓNPROPORCIÓN
PROPORCIÓNPROPORCIÓN
E(P)E(P) ππ
P B(n, π)
n
σ P nn 55 oo n(1-n(1- )) 55
aproximación normalaproximación normal
Z N( 0 , 1 )
(X 0'5) -
Z
n Z (P 0'5/n) -π
Z
n
n
π(1 π)
Z
25
NúmeroNúmero de éxitosde éxitos ProporciónProporción de éxitosde éxitos
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
EJERCICIOSEJERCICIOS
- Pardo y San Martín (1994): capítulo 1 Nivel 1: 2, 3, 4, 5, 12, 14, 15 Nivel 2: 6a, 9, 10, 16, 17, 18, 19 Repetidos:Repetidos: 6b 136b, 13 No: 1, 7, 8, 20
- Botella y otros (2001): capítulo 15 Nivel 1: 1 Nivel 2: 2, 3, 4, 5
