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44 Medidas de variabilidadMedidas de variabilidad
4 4. Medidas de variabilidad. Medidas de variabilidad
4.1. Introducción4.1. Introducción
4 2 Amplitud4 2 Amplitud4.2. Amplitud4.2. Amplitud
4.4. Varianza y desviación típica4.4. Varianza y desviación típica
4.4. Variabilidad relativa4.4. Variabilidad relativa
4 5 Medidas resistentes4 5 Medidas resistentes4.5. Medidas resistentes4.5. Medidas resistentes
BIBLIOGRAFÍA BÁSICABIBLIOGRAFÍA BÁSICA
- Botella y otros (2001): capítulo 5BBBotella y otros (2001): capítulo 5 t llt ll tt (2001)(2001) ítít ll 55 1
ÓÓ
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
4.1. INTRODUCCIÓN4.1. INTRODUCCIÓN
Variabilidad (o dispersión)Variabilidad (o dispersión)
- Indica el grado deIndica el grado de representatividadrepresentatividad del promediodel promedio (tendencia central)(tendencia central)
- Describe el grado en el que se parecen o diferencian lasDescribe el grado en el que se parecen o diferencian las observaciones entre sí (observaciones entre sí (semejanzasemejanza))
- Muestra la proximidad o separación entre los datos de laMuestra la proximidad o separación entre los datos de lapp pp distribución (distribución (distanciadistancia))
- Indica laIndica la homegeneidadIndica laIndica la homegeneidadhomegeneidad o heterogeneidad de la muestrahomegeneidad o heterogeneidad de la muestrao heterogeneidad de la muestrao heterogeneidad de la muestra casos (casos (diferencias individualesdiferencias individuales ÆÆ PsicologíaPsicología))
4 24 2 AMPLITUDAMPLITUD
Distancia entre dos valores (rango, recorrido,...)Distancia entre dos valores (rango, recorrido,...) (^) A RA R
4 4.2. AMPLITUD.2. AMPLITUD
Distancia entre dos valores (rango, recorrido,...)Distancia entre dos valores (rango, recorrido,...) (^) A, RA, R
** A** Amplitud TOTALAAmplitud TOTAL litlit d TOTALd TOTAL AAAATT ==== XXXX maxmax - - XXXX minmin
TiposTipos:: a) Excluyente :a) Excluyente : límites aparenteslímites aparentes -------- variables discretasvariables discretas b) Ib) Ib) Incluyente :b) Incluyente : ll tt lílílímites realeslímites reales itit ll -------- variables continuasvariables continuasi bli bl titi VentajasVentajas:: sencillez, fácil cálculo, visión intuitiva y globalsencillez, fácil cálculo, visión intuitiva y global InconvenientesInconvenientes:: inestable sensible valores extremosinestable sensible valores extremos
AA QQ QQ
InconvenientesInconvenientes:: inestable, sensible valores extremosinestable, sensible valores extremos
** Amplitud INTERCUARTILAmplitud INTERCUARTIL 50%50%^ tt^ ll
** Amplitud SEMIAmplitud SEMI--INTERCUARTILINTERCUARTIL
AA II == QQ 33 - - QQ 11
AA SISI = (= ( QQ 33 - - QQ 11 ) /2) /
50% central50% central casoscasos
p tud Sp tud S CUCU AA SISI (( QQ 33 QQ 11 ) /2) /2 RESISTENTERESISTENTERESISTENTERESISTENTE
3
edad Media Estadístico 24,21 Error típ.1,350^ SPSSSPSS^ ÆÆ^ ExplorarExplorar
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
21, 27, 23, 22,
Límite inferior Límite superior
Intervalo de confianzapara la media al 95%
Media recortada al 5% Mediana 34, 5, 19 45 26
Varianza Desv. típ. Mínimo Máximo Rango
Limites aparentesLimites aparentes 5 2,676 , 8,820 1,
Amplitud intercuartil Asimetría Curtosis
edad
2 10,0 10,5 10, 2 10 0 10 5 21 1
19 20
Válidos Frecuencia^ Porcentaje
Porcentajeválido acumuladoPorcentaje
edad 19 1 21, 22 00
Válidos Perdidos
N 25 50
Percentiles 2 10,0 10,5 21, 2 10,0 10,5 31, 4 20,0 21,1 52, 1 5,0 5,3 57, 1 5,0 5,3 63, 1 5 0 5 3 68 4
20 21 22 23 24 25
22, 26,
50 75 variables discretasvariables discretas 1 5 ,0 5,3 68, 4 20,0 21,1 89, 1 5,0 5,3 94, 1 5,0 5,3 100, 19 95,0 100, 1 5 0
25 26 31 45 Total Perdidos (^991) 5,0 SPSSSPSS ÆÆ FF ii 20 100,
Perdidos 99 Total SPSSSPSS^ ÆÆ^ FrecuenciasFrecuencias
PROPIEDADES:PROPIEDADES: 1)1) GeneralesGenerales
** VariablesVariables: aplicable a datos cuantitativos (unidad medida).: aplicable a datos cuantitativos (unidad medida). ** VentajaVentaja: intervienen todos los datos en el cálculo (suficiente).: intervienen todos los datos en el cálculo (suficiente). ** InconvenienteInconveniente: estadístico sensible (no resistente).: estadístico sensible (no resistente). No es recomendable cuando no lo sea la media aritméticaNo es recomendable cuando no lo sea la media aritméticaNo es recomendable cuando no lo sea la media aritmética.No es recomendable cuando no lo sea la media aritmética.
** SSSSxxxx^22 y Sy Sy Sy Sxxxx ≥≥≥≥ 0 0 , 0 0 ,,, nuncanunca pueden sernuncanunca pueden serpueden ser negativospueden ser negativosnegativosnegativos
** DiferenciasDiferencias entre SDiferenciasDiferencias entre Sentre Sentre S (^) xx^22 y Sy Sy Sy Sxx SSxx^22 - - puntuaciones al cuadrado (difícil interpretación)puntuaciones al cuadrado (difícil interpretación)
- propiedades matemáticas (base de otras técnicas)propiedades matemáticas (base de otras técnicas)
SSxx - - puntuaciones en las unidades de la variablepuntuaciones en las unidades de la variable (fácil interpretación)(fácil interpretación)
- uso descriptivouso descriptivouso descriptivouso descriptivo
7
PROPIEDADES:PROPIEDADES: 2) Efecto de una2) Efecto de una transformación linealtransformación lineal
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
S (^2) y = b^2 S^2 x SiSi XX (^) ii ÆÆ (^) Y = a + bXi S (^) y = |b| Sx
ii (^) i i
OrigenOrigen UnidadUnidad escalaescala medidamedida
EjemploEjemplo
Y1Y1 55 XX
Y2Y
Y3Y
Y1Y
XX
CasoCaso a = 5a = 5 Y1Y1 = 5 + X^ = 5 + X b = 1b = 1 S^2 y1^ =^12 *3'2 = 3'
a = 0a = 0 Y2 = 2 * XY2 = 2 * X b = 2b = 2 S^2 y2 = *22 3'2 = 12' 55 66 1111 1212 55 12’8012’ 3’583’
SSxx^22 3’203’ SSxx 1’791’
a= 2a= 2 Y3 = 2 + 0’5 * XY3 = 2 + 0’5 * X b= 0’5b= 0’5 S^ *0'5 3'2 0'
2 2 SSxxxxxx 1’791’79 1’791’79 3’583’58 0’890’89 y3^ = =
PROPIEDADES: 3)PROPIEDADES: 3) CuasiCuasi--varianza y cuasivarianza y cuasi--desviación típicadesviación típica
PROPIEDADES:PROPIEDADES: 3) Cuasi 3)Cuasi--varianza y cuasivarianza y cuasi--desviación típicadesviación típica
S '2x , Sx^2
~ S 'x , Sx
~
Importancia:Importancia: E. INFERENCIALE. INFERENCIAL (X X) muestramuestra^ ÆÆ^ ppoblaciónoblación
n (^2) ∑ i −^ pp
- EstimadoresEstimadores insesgadosinsesgados
- VVarianza y d. típica dependen de narianza y d. típica dependen de n
n- 1
( ) S i^1
i 2 x
∑ ~ = =
yy pp pp (muestras pequeñas menor variabilidad)(muestras pequeñas menor variabilidad) S S Por tanto, infraestiman los parámetros.Por tanto, infraestiman los parámetros. 2 x x
~ ~
S n 1
n S (^) x^2 =^2 x
~ S (^) x^2 ≥ S^2 x
~ ÆÆ n- 1
S
n S =
~ S ≥ S
~ ÆÆ
EquivalenciasEquivalencias
S n- 1
S (^) x = (^) x ÆÆ S (^) x ≥ Sx
9
SPSSSPSS ÆÆ ExplorarExplorar (^) edad Media Estadístico24,21^ Error típ.1,
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
21, 27, 23, 22,
Límite inferior Límite superior
Intervalo de confianzapara la media al 95%
Media recortada al 5% Siempre ofrece laSiempre ofrece la Mediana 34, 5, 19 45 26
Varianza Desv. típ. Mínimo Máximo Rango
pp cuasicuasi--varianza y lavarianza y la cuasicuasi--desviación típicadesviación típica 26 5 2,676 , 8,820 1,
Rango Amplitud intercuartil Asimetría Curtosis
SPSSSPSS ÆÆ FrecuenciasFrecuencias SPSSSPSS ÆÆ DescriptivosDescriptivos
5.1.5.1. DIAGRAMA DE CAJASDIAGRAMA DE CAJAS ÆÆ cuartiles y valores extremoscuartiles y valores extremos
VV tt ((↑↑ 3 A3 A dd QQ )) __**
5.1.5.1. DIAGRAMA DE CAJASDIAGRAMA DE CAJAS ÆÆ cuartilescuartiles y valores extremos y valores extremos
Valor máximoValor máximo V. atípico (V. atípico (↑↑ 1’5 A1’5 AII de Qde Q 33 ))
V. extremo (V. extremo (↑↑ 3 A3 AII de Qde Q 33 )) __**
QQ
Valor mayor no atípicoValor mayor no atípico
QQ 33
QQ 11
QQ 33
QQ 22 = M= M dd QQ 22 = M= M dd
QQ 11
Valor menor no atípicoValor menor no atípico
QQ 11
Valor mínimoValor mínimo
V. atípico (V. atípico (↓↓1’5 A1’5 AII de Qde Q 11 ))
__** V. extremo (V. extremo (↓↓^ 3 A3 AII^ de Qde Q^11 ))
Libro de textoLibro de texto SPSSSPSS 13
G áfiG áfi 11 G áfiG áfi 22
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
Q 1 = 6
Q = 8
Q 1 = 7
Q = 8
Gráfico 1Gráfico 1 Gráfico 2Gráfico 2
Q 2 = 8
Q 3 = 10
Q 2 = 8
Q 3 = 9
(^0 )
Min.Min. QQ^11 QQ^22 QQ^33 Máx.Máx. Min.Min. QQ 11 QQ 22 QQ 33 Máx.Máx.
aa bb aa bb
AAII forma: SIMETRÍA AAII
variabilidad: G 1 > G 2 14
ÍÍ ÍÍ
ASIMETRÍA POSITIVAASIMETRÍA POSITIVA
Q 1 = 4
Q 6
ASIMETRÍA NEGATIVAASIMETRÍA NEGATIVA
Q 1 = 7
Q 2 = 6 Q 10
Q 3 = 9
Q 2 = 10
Q 3 = 12
0 5 10 15
Min.Min. QQ^11 QQ^22 QQ^33 Máx.Máx. 0 5 10 15
Min.Min. QQ^11 QQ^22 QQ^33 Máx.Máx.
a < ba < b a > ba > b
15
SPSSSPSS ÆÆ ExplorarExplorar 1111
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
11 33
11
22 44
66 FORMA DE LA DISTRIBUCIÓNFORMA DE LA DISTRIBUCIÓN
ASIMETRÍAASIMETRÍA
6. FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN6. FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN
¿Cómo se distribuyen las observaciones por¿Cómo se distribuyen las observaciones por encimaencima y pory por debajodebajo de lade la tendencia centraltendencia central??
- IgualIgual ⇒⇒ DistribuciónDistribución simétricasimétrica
- DiferenteDiferente ⇒⇒ DistribuciónDistribución asimétricaasimétrica positivapositiva oo negativanegativa
CURTOSISCURTOSIS
¿Cómo se distribuyen las observaciones en el¿Cómo se distribuyen las observaciones en el centrocentro y en losy en los extremosextremos respecto a unrespecto a un modelo = la distribución normalmodelo = la distribución normal??
- IgualIgual ⇒⇒ DistribuciónDistribución mesocúrticamesocúrtica
- DiferenteDiferente ⇒⇒ DistribuciónDistribución leptocúrtica o platicúrticaleptocúrtica o platicúrtica
19
6 16 1 ASIMETRÍA (SESGO)ASIMETRÍA (SESGO)
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
6 6.1. ASIMETRÍA (SESGO).1. ASIMETRÍA (SESGO)
Una distribución esUna distribución es SIMÉTRICASIMÉTRICA cuando las observaciones secuando las observaciones se distribuyen del mismo modo a ambos lados de la tendenciadistribuyen del mismo modo a ambos lados de la tendencia central; si no es así la distribución escentral; si no es así la distribución es ASIMÉTRICAcentral; si no es así, la distribución escentral; si no es así, la distribución es ASIMÉTRICAASIMÉTRICAASIMÉTRICA..
- PositivaPositiva
- Hay más puntuaciones bajas que altas (* Hay más puntuaciones bajas que altas (casoscasos).).
- Los casos se concentran más en los valores bajos y se* Los casos se concentran más en los valores bajos y se dispersan en los altos (dispersan en los altos (variabilidadvariabilidad).).
- Hay más puntuaciones altas que bajas (* Hay más puntuaciones altas que bajas (casos)casos)
pp (( ))
Hay más puntuaciones altas que bajas (Hay más puntuaciones altas que bajas (casos)casos)..
- Los casos se concentran más en los valores altos y se* Los casos se concentran más en los valores altos y se dispersan en los bajos (dispersan en los bajos (variabilidadvariabilidad).).
SIMETRÍASIMETRÍA
Moda = 8 Mediana = 8Mediana 8 Media = 8
n (^) a n (^) b
0 5 10 15 Mo = Me = XMo = Me = X
Hay igual número deHay igual número de casoscasos por encima y por debajo de lapor encima y por debajo de la mediamedia
21
SIMETRÍASIMETRÍA
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
Moda = 8 Mediana = 8Mediana 8 Media = 8
VAR a VAR
b
0 5 10 15 Mo = Me = XMo = Me = X
Hay igualHay igual variabilidadvariabilidad entre puntuacionesentre puntuaciones por encima y por debajo de lapor encima y por debajo de la medianapp y py p jj mediana
ASIMETRÍA POSITIVAASIMETRÍA POSITIVA ASIMETRÍA NEGATIVAASIMETRÍA NEGATIVA
Moda = 4 Mediana = 6
Moda = 9 Mediana = 10
ASIMETRÍA POSITIVAASIMETRÍA POSITIVA ASIMETRÍA NEGATIVAASIMETRÍA NEGATIVA
Mediana = 6 Media = 7
Mediana = 10 Media = 12
0 5 10 15 0 5 10 15
Mo < Me < XMo < Me < X X < Me < MoX < Me < Mo 25
ASIMETRÍA POSITIVAASIMETRÍA POSITIVA ASIMETRÍA NEGATIVAASIMETRÍA NEGATIVA
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
ASIMETRÍA POSITIVAASIMETRÍA POSITIVA ASIMETRÍAASIMETRÍA NEGATIVA NEGATIVA
HayHay másmás casoscasos porpor debajodebajo de lade la mediamedia
HayHay másmás casoscasos porpor debajodebajo de lade la mediamedia encimaencima de lade la mediamedia que por encimaque por encima
encimaencima de lade la mediamedia que por debajoque por debajo
naa >>>> nbb naa <<<< nbb
0 5 10 15 0 5 10 15
Mo < Me < XMo < Me < X X < Me < MoX < Me < Mo
ASIMETRÍA POSITIVAASIMETRÍA POSITIVA ASIMETRÍA NEGATIVAASIMETRÍA NEGATIVA
ASIMETRÍA POSITIVAASIMETRÍA POSITIVA ASIMETRÍAASIMETRÍA NEGATIVA NEGATIVA
MásMás variabilidadvariabilidad porpor encimaencima de lade la medianamediana
MásMás variabilidadvariabilidad porpor encimaencima de lade la medianamediana debajodebajo de lade la medianamediana que por debajoque por debajo
debajodebajo de lade la medianamediana que por encimaque por encima
var aa <<<< var bb var aa >>>> var bb
0 5 10 15 0 5 10 15
Mo < Me < XMo < Me < X X < Me < MoX < Me < Mo 27
ESTADÍSTICOSESTADÍSTICOS
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
A. Tendencia centralA. Tendencia central
3 (X M )
S InterpretaciónInterpretación
3 (X-M )
AS
x
d
B. CB. Cuartilesuartiles (resistente)(resistente) (^) SIMÉTRICASIMÉTRICA ÆÆ AS = 0AS = 0
( Q Q ) - ( Q Q ) A. POSITIVAA. POSITIVA ÆÆ AS > 0AS > 0
AS 3 2 2 1
− − A.A. POSITIVA POSITIVA ÆÆ ASAS 00
A. NEGATIVAA. NEGATIVA ÆÆ AS < 0AS < 0
( Q Q )
Q Q Q Q
AS
3 1
3 2 2 1 2
n (^3)
∑ Xi − X
C. Momento 3º orden (sensible)C. Momento 3º orden (sensible)
3
i 1
i
3
n
X X
AS
=
x
3
S
6 26 2 Modelo de la distribución normalModelo de la distribución normal
6 6.2..2. Modelo de la distribución normalModelo de la distribución normal
Distinción entre distribución empírica y teóricaDistinción entre distribución empírica y teórica
D. TEÓRICAD. TEÓRICA
aproximaciónaproximación D. EMPÍRICAD. EMPÍRICA propiedades conocidaspropiedades conocidasi d di d d idid
datos hipotéticos dedatos hipotéticos de modelos matemáticosmodelos matemáticos
datos realesdatos reales de una muestrade una muestra
00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616 31
PROPIEDADESPROPIEDADES
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
PROPIEDADESPROPIEDADES
- SimétricaSimétricaSimétricaSimétrica
- ∞∞ MM (^) oo= XX = M= M (^) dd ++ ∞∞
X 2 S 95'44 %
X 1 S 68'26%
x
x
ÆÆ Cálculo integralCálculo integral ÆÆ TABLASTABLAS
X ± 3 Sx → 99'72 %
ÆÆ TABLASTABLAS
Familia de distribuciones normalesFamilia de distribuciones normales
== MEDIAMEDIA
≠≠ D TÍPICAD TÍPICA
igual MEDIAigual MEDIA distinta VARIABILIDADdistinta VARIABILIDAD
≠≠ D.TÍPICAD.TÍPICA
≠≠ MEDIAMEDIA
== D TÍPICAD TÍPICA
distinta MEDIAdistinta MEDIA igual VARIABILIDADigual VARIABILIDAD D.TÍPICAD.TÍPICA
distinta MEDIAdistinta MEDIA distinta VARIABILIDADdistinta VARIABILIDAD
≠≠ MEDIAMEDIA
≠≠ D.TÍPICAD.TÍPICA
33
Distribución normal estandarizadaDistribución normal estandarizada
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
XX 22
X == 5^5
XX 11
X == 10^10
SSXX == 2 2
X
SSXX == 4 4
X
S X
X X
z
66 1010 1414 3 3 5^577
N(0,1)
z = 0 SZ = 1
z
SZ 1
LeptocúrticaLeptocúrtica
MesocúrticaMesocúrtica
NORMALNORMAL
37
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
MesocúrticaMesocúrtica
NORMALNORMAL
PlaticúrticaPlaticúrtica
39
EstadísticaEstadística P.P. HontangasHontangas
