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En el siguiente trabajo de investigación se tratarán los principios del cálculo multivariable, dado que sus fundamentos son de suma importancia para el estudio y formación de cualquier ingeniero.
Tipo: Ejercicios
1 / 13
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CONCEPTOS BASICOS
DEL CALCULO
MULTIVARIABLE
Nombre:
Carrera: Ing. de Sistemas.
Materia: Matemática III.
Fecha: 1 de noviembre 2021
Introducción
El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis
real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la
geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar
problemas muy útiles para la ingeniería y la física.
En el siguiente trabajo de investigación se tratarán los principios del cálculo
multivariable, dado que sus fundamentos son de suma importancia para el estudio
y formación de cualquier ingeniero.
Por otra parte, comprenderá también este estudio la resolución de
diferentes ejercicios para ayudar a la comprensión sobre los siguientes temas:
Concepto de la longitud de una curva plana representada en su
forma ordinaria y en paramétricas, que nos sirve para calcular la
longitud de cualquier función en el plano.
Espacios vectoriales en R
2
y en R
3
, dentro de los conceptos de
vectores tridimensionales, así como sus operaciones básicas y sus
propiedades.
Además, se presentarán dos de las superficies básicas las cuales
son el plano que no existe en R
2
y la esfera.
Considerándose entonces que el estudio de dichos temas, contribuirán con
la adquisición de conocimientos necesarios en la catedra de Matemática III.
{
x=e
t
cos (t)
y=e
t
sin (t )
, 0 ≤t ≤
π
dx
dt
=e
t
cos ( t )−e
t
sin ( t)
¿ e
t
[cos
t
−sen
t
dy
dt
=e
t
sin ( t) +e
t
cos ( t )
¿ e
t
[cos ( t ) +sen ( t) ]
(
dx
dt
)
2
=e
2 t
[cos
t
−sen
t
2
¿ e
2 t
[
2
2
]
¿ e
2 t
[ 1 −cos ( 2 t)]
(
dy
dt
)
2
=e
2 t
[sin
t
+cos
t
2
¿ e
2 t
[
2
2
]
¿ e
2 t
[ 1 +cos ( 2 t )]
√
(
dx
dt
)
2
(
dy
dt
)
2
√
e
2 t
√
e
2 t
¿ e
t
√ 2
∫
0
π
2
e
t
√ 2 dt=√ 2 ∫
0
π
2
e
t
dt=√ 2 e
t
|
0
π
2
=√ 2 (e
π
2
2.- Espacio Vectorial
Para definir un espacio vectorial primero hay que definir lo que es una adición y
una multiplicación por escalar.
Definición Adición en R
3
Sean
a=¿ a
1
, a
2
, a
3
y
b=¿ b
1
, b
2
, b
3
dos elementos de R
3
, La suma a + b es la
dupla:
a+ b=¿ a
1
,a
2
, a
3
- ¿ b
1
,b
2
, b
3
¿ <a
1
+b
1
, a
2
+b
2
, a
3
3
Definición de Multiplicación por escalares.
Sea
r un número real y sea el vector
a=¿ a
1
, a
2
, a
3
, entonces el vector
r a es el
vector:
r a=r <a
1
, a
2
, a
3
¿<ra
1
,r a
2
, r a
3
Definición de espacio vectorial en R
3
: Un espacio vectorial es un conjunto V
provisto de las operaciones, una “adición” y una “multiplicación por escalares”
las cuales satisfacen las ocho propiedades del siguiente teorema.
Teorema : Si a, b y c son vectores de R
3
donde r e s son escalares, entonces
a+ b=b+c
(a+ b)+ c=a+(b+ c)
a+ 0 =a , ∀ a ∈ R
3
−a
= 0 , ∀ a ∈ R
3
( r + s ) a=r a+ s a
Definición de espacio vectorial en R
2
. Un espacio vectorial en R
2
es un conjunto
V provisto de las operaciones, una “adición” y una “multiplicación por
escalares” las cuales satisfacen las ocho propiedades vistas anteriormente solo
que esta vez a , b y c son vectores en R
2
3.- Producto Cruz de vectores.
Definición. Sean
a=¿ a
1
, a
2
, a
3
y b=¿ b
1
,b
2
, b
3
. El producto vectorial o el producto
cruz de a y b es el vector,
n=P
1
2
1
3
|
i
j
k
−α β 0
−α 0 γ
|
i ( βγ − 0 )−
j (−αγ− 0 )+
k ( 0 +αβ )
¿<βγ , αγ , αβ >¿
Luego el plano buscado es
π : βγ ( x−α )+αγ ( y − 0 ) +αβ ( z− 0 )= 0
Al desarrollar las operaciones obtenemos
βγx− βγα+αγy+αβz= 0
βγx +αγy +αβz=βγα
x
α
y
β
z
γ
4.- Distancia entre dos puntos.
Aplicando el teorema de Pitágoras dos veces se consigue la siguiente formula.
La distancia entre los puntos
1
=( x
1
, y
1
, z
1
e
2
=( x
2
, y
2
, z
2
d
1
2
√
(x
2
−x
1
2
+( y
2
− y
1
2
+(z
2
−z
1
2
Ejemplo 5. Hallar la distancia entre los puntos
P 1 =( 5 , 2 , 1 ) y P 2 =( 3 , 9 , 6 )
d ( P 1 , P 2 )= √
2
2
√
√
Esferas.
Una esfera es el conjunto de todos los puntos de R
3
que son equidistantes de un
punto fijo, El punto fijo es el centro de la esfera y la medida de la distancia
constante es el radio.
La ecuación canónica de la esfera de radio r y centro C=(h , k ,l) es.
Ecuacion canonica de la esfera: (x−h)
2
+( y −k )
2
+( z−l )
2
=r
2
Esta ecuación proviene del teorema de Pitágoras, en efecto si P=(x , y , z) es un
punto cualquiera de la esfera y C es el centro tenemos.
d ( P ,C )=r ⟺ [ d ( P , C ) ]
2
=r
2
⟺ (x−h)
2
+( y−k )
2
+( z−l)
2
=r
2
Al desarrollar cuadrados obtenemos una ecuación de segundo grado, la cual se
llama ecuación general de la esfera.
Ecuacion general de la esfera: x
2
2
+z
2
X
Y
Z
Si completamos cuadrados obtenemos de nuevo la ecuación canónica.
En resumen, tenemos el siguiente teorema
Teorema La grafica de una ecuación de segundo grado de la forma
x
2
2
2
X
Y
Z
Es una esfera, un punto o el conjunto vacío.
Ejemplo 6. Hallar la ecuación de las esferas tangentes que tienen el mismo radio
y cuyos centros son P1(4, -2, -5) e P2(-4, 0, 1).
Sol: como ya conocemos los centros de las dos esferas y sabemos que estas
tienen el mismo radio y además las esferas son tangentes entre si. Tenemos que.
r =
d(P 1 , P 2 )
√
2
2
2
√
√
√
√
Luego las esferas
e 1 :( x− 4 )
2
+( y + 2 )
2
+( z− 5 )
2
= 21 , e 2 :( x + 4 )
2
2
2
5.- Planos en el espacio.
Definición: Si
n es un vector dado, diferente del vector cero y
0
es un punto dado,
entonces el conjunto de todos los puntos para los cuales el vector
0
y
n son
ortogonales define al plano que pasa por
0
y tiene a ncomo vector normal.
Como el plano buscado
π es perpendicular al plano
α , sus vectores normales
también son perpendiculares. Esto es.
a+ 3 b−c= 0 ( 1 )
Luego como
1
( 2 , 0 , 5 ) y P
2
pertenecen al plano π, entonces el vector
1
2
es perpendicular al vector n , por lo que
1
2
n •
1
2
− 2 a+ 2 b− 6 c= 0 ( 2 )
De la ecuación (1) y (2) Obtenemos el sistema
{
a+ 3 b−c= 0 ( 1 )
− 2 a+ 2 b− 6 c= 0 ( 2 )
{
3 b−c=−a
b− 3 c=a
a=
|
−a − 1
a − 3
|
|
|
3 a+a
4 a
−a
b=
|
3 −a
1 a
|
|
|
3 a+a
4 a
−a
Luego un vector al plano
π es :n=
⟨
a ,−
a
a
⟩
, de donde obtenemos el plano
buscado
π : a ( x− 2 )−
a
y−
a
( z− 5 )= 0 (¿ a)
x− 2 −
y
z
2 x− 4 − y −z+ 5 = 0
2 x− y−z + 1 = 0
6.- Resolución de Ejercicios:
Problema 1: determinar la ecuación canónica de la esfera a partir de la ecuación
general
e : 4 x
2
2
2
− 4 x+ 8 y + 16 z= 15
Solución:
Completamos cuadrados para obtener la ecuación canónica
e : 4 x
2
2
2
− 4 x+ 8 y + 16 z= 15
x
2
2
2
−x + 2 y+ 4 z
x
2
−x +
(
)
2
(
)
2
2
(
)
2
(
)
2
2
(
)
2
(
)
2
(
x−
)
2
y + 1
2
z+ 2
2
(
x−
)
2
+( y + 1 )
2
+( z+ 2 )
2
Ecuación canónica
(
x−
)
2
y + 1
2
z+ 2
2
2
Problema 2: Dados los vectores u= 〈 2,3 ,− 1 〉 y v= 〈 1,0,2 〉 ; determinar a) el ángulo θ
entre u y v, b) la expresión
u−
v
Solución:
a)
Sabemos que:
u • v=
u
v
cos
θ
⇒ cos
θ
u • v
⇒ θ=arccos
(
u • v
)
Calculamos las longitudes de los vectores
u y v
√
2
2
2
√
√
2
2
2
√
Luego
Conclusión.
Después de investigar y comprender los conceptos básicos y
fundamentales tratados en el presente trabajo, concluimos que la enseñanza de
esta parte de la materia es de suma importancia en el estudio del cálculo
multivariable que forma parte de la formación de cualquier ingeniero, por lo tanto,
se necesita contar con un sólido entendimiento de estos temas para poder
desenvolverse correctamente y abordar temas más avanzados e interesantes de
aplicación en los diferentes campos del conocimiento y aplicación de la ingeniería.
