Funciones multivariable, Diapositivas de Cálculo diferencial y integral

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FUNCIONES

DE VARIAS

VARIABLES

Fernanda

Hernández

Contenido ■ (^) Definición de función de una variable ■ Definición de una función multivariable ■ (^) Repaso del concepto de derivada en una función de una variable ■ El concepto de la derivada en una función mutivariable y una breve discusión sobre sus interpretaciones físicas y geométricas

Función multivariable ■ (^) Podemos definir al menos dos tipos de funciones multivariable. CASO I. Una función se llama multivariable si su entrada consiste de varias variables.

■ 𝑓 Ejemplo:( 𝑥 , 𝑦 )= 𝑥^2 𝑦^3

varias variables Si 3 y , entonces: Como el resultado es un escalar, entonces el ejemplo anterior es una función escalar

Función multivariable

CASO II. También podemos llamar una función multivariable si la salida de la función consiste de varias variables. ■ (^) Ejemplo: 𝑓 ( 𝑥 )=

[

𝑥 2

• 𝑦 2 𝑦 2 𝑥 + 1

]

Varias variables en la salida El corchete [] representa un vector La función también pude representarse así: Como el resultado es un vector, la función anterior es un ejemplo de función vectorial

Cálculo multivariable ■ (^) El cálculo multivariable extiende los teoremas del cálculo en una variable (derivación e integración) al cálculo en varias variables. Derivación de una función de una variable: ■ (^) Ejemplo: Derivar la función de una variable Solución:

El concepto de derivada en una función de una variable ■ (^) La derivada representa la pendiente de una recta tangente a una curva La definición formal es: El teorema anterior es la definición formal de la derivada. Puedes obtener la derivada de cualquier función siguiendo una metodología que comúnmente se denomina “regla de los cuatro pasos para obtener la derivada” Si no lo recuerdas consulta el video en el link: https://www.youtube.com/watch?v=XpcG u2mnSVg

El concepto de la derivada en una función mutivariable ■ (^) En cálculo multivariable, no siempre visualizaremos funciones con gráficas. ■ Cuando extendemos la idea de la derivada al cálculo multivariable, algunas veces no podremos imaginar a la derivada como pendiente. ■ (^) La derivada consiste fundamentalmente en preguntarse cómo cambia el valor de salida de una función conforme mueves ligeramente su valor de entrada. Si una función tiene un valor de salida multidimensional, interpretar esto como una "pendiente" en realidad no tiene sentido. ■ Podemos visualizar una función multivariables, dependiendo de su naturaleza, a través de herramientas como:

• (^) Gráficas
• Curvas de nivel
• (^) Curvas y superficies paramétricas
• Campos vectoriales

Gráficas multidimensionales

• (^) Para dimensiones mayores es más complicado visualizar una gráfica
• (^) Sin embargo, la propósito principal de una función no es obtener su gráfica, si no describir un

Curvas de nivel (líneas de contorno) ■ (^) Cuando se requiere interpretar geométricamente una función con dos entradas (espacio bidimensional) y una salida (espacio unidimensional)

𝒚 𝒙 Para cada valor de salida, , se dibuja una curva que pase por todos los valores de entrada para los cuales Ejemplo: Gráfica de la función

Curvas de nivel de un parabolioide https://www.geogebra.org/m/jy7znQM

Problema La altura de las olas en mar abierto depende de la velocidad del viento y la duración del tiempo que el viento haya estado soplando a esa velocidad. En la siguiente tabla aparecen valores de la función en metros: a)¿Cuál es el valor de (50,20)? b) ¿Cuál es el significado de la función Describe el comportamiento de esta función c) ¿Cuál es el significado de la función Describe el comportamiento de esta función

Duración (horas) Velocidad del viento

Resumen ■ (^) Las funciones con un solo número como salida se llaman funciones escalares. ■ (^) Las funciones cuya salida es un vector se llaman funciones vectoriales. ■ (^) El cálculo multivariable consiste en calcular e interpretar los resultados de las derivadas e integrales de funciones multivariable. ■ La visualización (interpretación geométrica) de la derivadas de una función multivariable cambia respecto del caso de una función de una sola variable. ■ (^) En cambio, una función multidimensional a veces se representará por alguno de estos medios:

• Gráficas multidimensionales
• Curvas de nivel
• Funciones paramétricas
• (^) Campos vectoriales