(1) Sea el conjunto
A={(x, y)∈R2:|y| ≤ x2, x ≥0}
.
(a) Dibuje el conjunto
A
, su frontera y su interior, y discuta si
A
es un conjunto abierto, cerrado,
acotado, compacto y/o convexo, razonando las respuestas.
(b) Considere la función
f(x, y) = x+y2
. Determine si esta función alcanza un máximo en
A
. ¾Y un
mínimo? En caso armativo, determine el/los punto(s) extremos de
f
en
A
.
(2) Considere el siguiente sistema de ecuaciones
z3+ 3x−y−t2= 3
ln y+x−z2= 0
(a) Pruebe que este sistema de ecuaciones determina a
y
,
z
como funciones diferenciables de
x
y
t
en
un entorno del punto
(x, y, z, t) = (1,1,1,0)
.
(b) Sea
y(x, t)
la función cuya existencia se ha determinado en el apartado anterior. Escriba la ecuación
del plano tangente a la gráca de
y
en el punto
(x, t;y(x, t)) = (1,0; 1)
.
(3) Suponga que una empresa monopolista produce tres tipos de productos, cuyas demandas inversas vienen
dadas por
p1= 45 −4q1
p2= 29 −3q2
p3= 21 −2q3
donde
q1
,
q2
y
q3
son las cantidades demandadas y
p1
,
p2
y
p3
son los precios respectivos. La función
de costes es
C(Q) = 20 + 5Q+Q2
con
Q=q1+q2+q3
.
(a) Escriba la función de benecios netos
B(q1, q2, q3)
(es decir, ingresos menos costes) en función de las
cantidades demandadas. Determine si la la función de benecios
B(q1, q2, qe)
es cóncava o convexa.
(b) Determine los niveles de demanda
q1
,
q2
y
q3
que maximizan el benecio. Justique que las
cantidades obtenidas son un máximo global de la función
B(q1, q2, qe)
.
(4) Considere la función
f(x, y, z)=3ax2+axz +aby2+ 3az2
con
a, b ∈R
.
(a) Determine los valores de
a, b ∈R
para los que la función
f
es convexa.
(b) Determine los valores de
a, b ∈R
para los que la función
f
es cóncava.
(5) Considere el problema de optimizar la función
f(x, y) = x2−6x+y2+ 9
en el conjunto
A={(x, y)∈
R2:x2+y2≤4}
.
(a) Justique que la función
f
alcanza extremos globales en el conjunto
A
. Halle las ecuaciones de
Kuhn-Tucker que determinan los extremos de
f
en A.
(b) Determine los puntos que satisfacen las ecuaciones de Kuhn-Tucker. Determine en qué punto(s) la
función
f
alcanza el valor máximo en
A
y en cuál(es) alcanza el valor mínimo.
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