(1) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
3x+ 2y+ 2az =−13
x+ 2y+az =−5
5x+ 2ay −3z=−18
donde
a∈R
es una constante.
(a) Clasique el sistema según los valores de
a
.
(b) Resuelva el sistema anterior para los valores de
a
para los cuales el sistema es compatible indeter-
minado. ¾Cuántos parámetros son necesarios para describir la solución en cada caso?
(2) Considere una función
f:R2→R
.
(a) Escriba la denición que expresa que la función
f
es continua en un punto
p= (x0, y0)
.
(b) Considere la función
f(x, y) = (2x2y
x4+y2
si
(x, y)6= (0,0),
0
si
(x, y) = (0,0).
Determine si esta función es continua en el punto
(0,0)
.
(3) Considere la función
f(x, y) = 2xey/x ,
el punto
p= (2,0)
y el vector
v= (3,2)
.
(a) Calcule el gradiente de la función
f
en el punto
p
. Calcule el plano tangente a la gráca de
f
en
el punto
(2,0,4)
.
(b) Halle la derivada direccional de la funcion
f
en el punto
p
en la dirección del vector
v
. ¾Cuál es la
dirección de mayor crecimiento de
f
en el punto
p
? ¾Cuál es el máximo de la derivada direccional?
(4) Considere la función
f(x, y, z) = x2−y2+ 2xy −z2
2+ 6
y el conjunto
A={(x, y, z)∈R3:z= 2x+ 2y−1}
(a) Halle las ecuaciones de Lagrange que determinan los extremos de
f
en A.
(b) Determine los puntos que satisfacen las ecuaciones de Lagrange.
(5) Considere el problema de maximización siguiente
max
x,y y(x−1)
s.a.
(x−1)2+y2≤2
(a) Halle las ecuaciones de Kuhn-Tucker que determinan los extremos de
f
en A.
(b) Determine los puntos que satisfacen las ecuaciones de Kuhn-Tucker.
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