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Tema 1: C´onicas 1.1.- Par´abola 1.2.- Elipse 1.3.- Hip´erbola
DEF: Una c´onica es el lugar geom´etrico de los puntos del plano cuyas coordenadas ( x , y ) verifican una ecuaci´on de segundo grado del tipo
a 11 x^2 + a 22 y^2 + 2 a 12 xy + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a 0 = 0_._
Las par´abolas, elipses, circunferencias e hip´erbolas son casos particulares. Pero tambi´en est´an las llamadas c´onicas degeneradas:
Un par de rectas que se cortan en un punto. Ejemplo: x^2 − y^2 = 0 , esto es, x = ± y. Un par de rectas paralelas. Ejemplo: x^2 − 4 = 0 , esto es, x = ± 4_._ Un par de rectas coincidentes. Ejemplo: x^2 = 0 , esto es, x = 0 dos veces. Un ´unico punto. Ejemplo: x^2 + y^2 = 0 , esto es, ( x , y ) = (0 , 0). El vac´ıo. Ejemplo: x^2 + y^2 = 0 − 1_._
Tema 1: C´onicas 1.1.- Par´abola 1.2.- Elipse 1.3.- Hip´erbola
Aquellas ecuaciones de segundo grado
a 11 x^2 + a 22 y^2 + 2 a 12 xy + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a 0 = 0_._
sin t´ermino en xy (esto es, con a 12 = 0) corresponden a c´onicas cuyas ecuaciones pueden reducirse completando cuadrados y realizando una traslaci´on a uno de los siguientes tipos de ecuaciones:
AX^2 + BY^2 + C = 0 ,
AX^2 + BY + C = 0 ,
donde los coeficientes de los t´erminos de grado dos son no nulos. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones reducidas de la c´onica o ecuaciones de la c´onica referidas a sus ejes.
Tema 1: C´onicas 1.1.- Par´abola 1.2.- Elipse 1.3.- Hip´erbola La par´abola es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. erpendiculares tendremos que las co ordenadas del foco ser´an de uaci´on de la directriz ser´a L ≡ x = − p 2. U n punto P = (x, y) a definida si y s´olo si P, L) = x + p 2 = d (P, F ) = (x − p 2 ) 2 + y 2. ue los puntos bola est´an i´on ( F, L). X ) es eje de nterior y el del eje de ) es el origen 0 , y = 0). y 2 = 2p x
X
Y
Foco Eje de simetr´ıa F = ( p 2
x = − p 2 directriz V´ertice O P = (x, y) a par´abola tambi´en se suele llamar eje focal. La recta que pasa cular al eje de simetr´ıa se suel e llamar eje secundario de la x^2 = 2q y define una par´abola con eje de simetr´ Matem´aticas Iıa el eje OY y 4/
Tema 1: C´onicas 1.1.- Circunferencia 1.1.- Par´abola 1.2.- Elipse 1.3.- Hip´erbola P = ( x , y ) es un punto de la par´abola OX, de la variable independiente, vamos a tomar la dicular a la directriz L. Como origen del sistema de a recta que equidista del foco y de la directriz. Por a de referencia tomamos la recta que pasa po r O y tendremos que las co ordenadas del foco ser´an de rectriz ser´a L ≡ x = − p 2. U n punto P = (x, y) lo si = d (P, F ) = (x − p 2 ) 2 + y 2. y 2 = 2p x X Y Foco Eje de simetr´ıa F = (p 2 , 0) x = −p 2 directriz V´ertice O P = (x, y) bi´en se suele llamar eje focal. La recta que pasa etr´ıa se suel e llamar eje secundario de la efine una par´abola con eje de simetr´ıa el eje OY y a ado s), Y Eje^ V´ertice (α,^ β)
⇔ d ( P,^ L )^ =^ d ( P,^ F^ ) =^ p^ >^ 0;
| x + p 2
( x − p 2 )^2 + y^2 ; .. . y^2 = 2 px. Nota: Si el foco F est´a en la directriz L , la par´abola es la recta que pasa por F y es perpendicular a L. Esto se considera un caso degenerado y, de aqu´ı en adelante se supondr´a que F no est´a en L.
Tema 1: C´onicas 1.1.- Par´abola 1.2.- Elipse 1.3.- Hip´erbola Propiedad reflectora de la par´abola: La recta tangente a la par´abola en el punto P forma ´angulos iguales con: (^1) La recta que pasa por P y por el foco. (^2) La recta que pasa por P y es paralela al eje de la par´abola.
a
a
foco
P
Propiedad reflectora de la parábola
La tangente a una parábola en un punto P forma ángulos iguales co
l.- La recta que pasa por P y el foco.
2.- La recta que pasa por P y es paralela al eje de la parábola.
Tema 1: C´onicas 1.1.- Par´abola 1.2.- Elipse 1.3.- Hip´erbola
La elipse es el conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos , es constante (digamos 2 a ).
d ( P, F 1 ) + d ( P, F 2 ) = 2 a > 0
simplificando, agrupando t´erminos y despejando, (a^2 − c 2 )x^2 + a^2 y 2 = a^4 − a^2 c 2 ⇔ (a^2 − c 2 )x^2 + a^2 y 2 = a^2 (a^2 − c 2 )
denotando b^2 = a^2 − c 2 (> 0) y dividiendo ambos miembros de la igualdad por a^2 b^2 tenemos
x^2 a^2 +^
y 2 b^2 = 1,^ siendo^ b
(^2) = a (^2) − c 2.
x^2 a^2
2 b^2 = 1
X
Y
F 2 = (−c, 0) F 1 = (c,^ 0)
(a, 0) (−a, 0)
(0, b)
(0, −b)
P = (x, y)
O
a b c
Es f´acil comprobar que el eje OX (la recta que une los focos) y el eje OY (la perpendicular en el punto medio de los focos) son ejes de simetr´ıa de la elipse y su punto de corte (el origen de coordenadas) es centro de simetr´ıa. Notemos que si un punto (x, y) verifica la
a^2 = b^2 + c^2 a es la longitud del semieje mayor y b la del semieje menor.
Tema 1: C´onicas
1.1.- Circunferencia 1.1.- Par´abola 1.2.- Elipse 1.3.- Hip´erbola
Propiedad focal de la elipse: En cada punto P de la elipse, la recta tangente forma ´angulos iguales con los segmentos PF 1 y PF 2 que unen el punto con los focos.
arab´olicas de TV, los grandes reflectores de los telescopios que se usan en Astronom´ıa ornos parab´olicos,...
Propiedad focal de la elipse.
En cada punto P de la elipse, la recta tangente forma ´angulos iguales con los segme F 1 y P F 2 que unen el punto con los focos.
X
Y
F 2 F 1
θ
θ
Matem´aticas I. 10 Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica
Cuando hay un ´unico foco, F 1 = F 2 , la definici´on de elipse corresponde a la circunferencia de centro F 1 = F 2 y radio r = a > 0. En este caso, 2 c = d ( F 1 , F 2 ) = 0, b^2 = a^2 y la ecuaci´on puede escribirse como x^2 + y^2 = a^2.
Tema 1: C´onicas 1.1.- Circunferencia 1.1.- Par´abola 1.2.- Elipse 1.3.- Hip´erbola La hip´erbola es el conjunto de todos los puntos del plano cuya diferencia (en valor absoluto) de distancias a dos puntos fijos, llamados focos , es constante ( digamos 2 a ). | d ( P, F 1 ) − d ( P, F 2 )| = 2 a ecuaci´on de la hip´erbola, los puntos (±x, ±y) : (x, y), (x, −y), (−x, y), (−x, −y) tambi´en verifican dicha ecuaci´on. El eje de simetr´ıa que pasa por los focos suele denominarse eje focal. Notemos que uno de los ejes de simetr´ıa, el que hemos tomado como eje OY , no corta a la hip´erbola mientras que el otro, la recta que une los focos, corta a la hip´erbola en dos puntos (±a, 0) que se denominan v´ertices. Los valores a > 0 y b > 0 se denominan semiejes de la hip´erbola. Otro elemento caracter´ıstico de las hip´erbolas son sus as´ıntotas. Las rectas y = ± b a x que pasan por el centro de la hip´erbola x 2 a^2 − y^ 2 b^2 = 1 y tienen pendiente ± b a son sus as´ıntotas. Se dice que la hip´erbola es equil´atera si sus dos semiejes son iguales a = b, o lo que es equivalente, si sus as´ıntotas son perpendiculares entre s´ı. x^2 a^2 −^ y 2 b^2 = 1 X Y F 2 F 1 a b c As´ıntotas y = ± b a x V´ertices (±a, 0) Centro Ejes de simetr´ıa Matem´aticas I. 8 Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica c^2 = a^2 + b^2
Tema 1: C´onicas 1.1.- Par´abola 1.2.- Elipse 1.3.- Hip´erbola
Propiedad focal de la hip´erbola: En cada punto P de la hip´erbola, la recta tangente forma ´angulos iguales con los segmentos PF 1 y PF 2 que unen el punto con los focos.
dad?
ad focal de la hip´erbola.
unto P de la hip´erbola, la recta tangente forma ´angulos iguales con los
F 2 que unen el punto con los focos.
F 2 F 1
os una fuente luminosa situada en uno de los focos de u na hip´erbola,
Tema 1: C´onicas 1.1.- Par´abola 1.2.- Elipse 1.3.- Hip´erbola
La par´abola, la circunferencia, la elipse y la hip´erbola son curvas planas, llamadas secciones c´onicas , debido a que se pueden visualizar como la curva intersecci´on entre un cono circular recto y un plano. 1.1- Las c´onicas. Ecuaciones reducidas. 3
Un punto Una recta doble Dos rectas que se cortan
Elipse Circunferencia Par´abola^ Hip´erbola 1.1.2.- Definici´on m´etrica y elementos notables. Matem´aticas I 14/
