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Tema 1
Los n´umeros complejos
1.1. Conjuntos num´ericos
Recordemos en primer lugar las propiedades de los distintos conjuntos n´umericos
4 N´umeros naturales: El conjunto de los n´umeros naturales se denota por N:
N = { 0 , 1 , 2 , 3 ,... }
Este conjunto es un semigrupo conmutativo res- pecto de la suma y tambi´en respecto del produc- to. Es decir, las dos operaciones son asociativas, el 0 es el elemento neutro para la suma, el 1 es la unidad para el producto y las dos opera- ciones son conmutativas. Adem´as, se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.
4 N´umeros enteros: El conjunto de los n´umeros en- teros se denota por Z:
Z = { 0 , 1 , 2 , 3 ,... } ∪ {− 1 , − 2 , − 3 ,... }
Este conjunto tiene estructura de anillo con- mutativo para la suma y el producto. Es decir, adem´as de las propiedades de los naturales men- cionadas en el ´ıtem anterior, en Z disponemos de elemento opuesto para la suma.
4 N´umeros racionales: El conjunto de los n´umeros racionales se denota por Q:
Q = { p q ; p, q enteros primos entre s´ı, q 6 = 0}
Este conjunto tiene estructura de cuerpo. Es de- cir, adem´as de las propiedades de los enteros mencionadas en los ´ıtemes anteriores, en Q dis- ponemos de elemento inverso para el producto. Por otra parte, la relaci´on de orden usual entre los racionales hace que Q tenga estructura de cuerpo ordenado, es decir, verifica las propieda- des siguientes:
- Ley de tricotom´ıa: (es decir, el orden es to- tal) cada par de elementos a y b verifican una y solo una de las siguientes relaciones:
a = b a < b b < a
- La suma es cerrada: si a > 0 y b > 0, en- tonces a + b > 0.
- El producto es cerrado: si a > 0 y b > 0, entonces ab > 0. 4 N´umeros reales: El conjunto de los n´umeros rea- les se denota por R y es “el ´unico cuerpo ordena- do y completo que extiende a Q”, pero ser´a en el tema siguiente cuando veamos la noci´on de cuerpo completo.
La extensi´on desde N hasta Q se hace por crite- rios puramente algebraicos: hasta conseguir un cuer- po ordenado, es decir, un cuerpo con un orden total compatible con las operaciones. La extensi´on de Q a R se hace por criterios topol´ogicos y la extensi´on a los n´umeros complejos que vemos en este tema vuelva a hacerse por criterios algebraicos: buscamos un cuer- po que extienda a R y en el cual todas las ecuaciones
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2 C´alculo para la computaci´on
polin´omicas tengan soluci´on, ya que, por ejemplo, la ecuaci´on x^2 + 1 = 0 no tiene soluci´on en R.
1.2. El cuerpo de los complejos
Teorema 1.1 En el conjunto R × R definimos las siguientes operaciones:
Suma: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) Producto: (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc)
Estas operaciones dan al conjunto R × R estructura de cuerpo; denotaremos a este cuerpo por C y sus elementos se denominan n´umeros complejos.
En la demostraci´on del teorema anterior es necesa- rio construir los elementos neutro y unidad as´ı como los elementos opuesto e inverso a uno dado:
Elemento neutro: (0, 0) Elemento opuesto: −(a, b) = (−a, −b) Elemento unidad: (1, 0) Elemento inverso: si (a, b) 6 = (0, 0), entonces (a, b)−^1 =
a a^2 + b^2 ,^ −^
b a^2 + b^2
Proponemos como ejercicio la comprobaci´on de las propiedades de cuerpo para los n´umeros complejos. Por otra parte, el siguiente resultado establece que efectivamente el cuerpo que acabamos de definir ex- tiende al cuerpo de los reales.
Teorema 1. R × { 0 } es un subcuerpo de C isomorfo a R.
Con el isomorfismo establecido en este teorema, podemos identificar los n´umeros complejos de la for- ma (a, 0) con el n´umero real a, lo cual nos lleva a una notaci´on m´as simple para los n´umeros comple- jos. En primer lugar, vamos a denotar con la letra i al n´umero complejo (0, 1); entonces, si a, b ∈ R:
a + bi = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b)
Es decir, todo n´umero complejo se puede escribir de forma ´unica como a + bi.
z = x
x
i
r
θ
Figura 1.1: Representaci´on gr´afica de los n´umeros complejos
Teorema 1.3 (Teorema fundamental del Algebra)´ Toda ecuaci´on polin´omica con coeficientes en C tiene soluci´on
Por ejemplo, observamos que la ecuaci´on x^2 + 1 = 0, planteada anteriormente, s´ı es resoluble en C:
(0, 1)(0, 1) + (1, 0) = (0, 0) es decir: i^2 + 1 = 0
En la figura 1.1 aparece la representaci´on gr´afica de los n´umeros complejos como puntos del plano. De- finimos a continuaci´on varias funciones de gran im- portancia para trabajar en el cuerpo de los n´umeros complejos.
Definici´on 1. o Conjugado de un n´umero complejo:
¯· : C → C x + iy = x − iy
o Parte real de un n´umero complejo:
Re : C → R Re(x+iy) = x, Re(z) =
(z+¯z)
o Parte imaginaria de un n´umero complejo:
Im: C → R Im(x+iy) = y, Im(z) =^1 2 i (z−z¯)
o M´odulo de un n´umero complejo:
|·| : C → R+, |x+iy| =
x^2 + y^2 ; |z| =
zz¯
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- Si 0 < a < b y x < 0 , entonces loga x > logb x
Es conveniente recordar el manejo de expresiones y la resoluci´on de ecuaciones donde intervienen los operadores logaritmo. Destacamos finalmente la si- guiente igualdad que relaciona logaritmos de distin- tas bases:
logb x = loga x loga b
1.4. Exponencial compleja.
Igualdad de Euler
Nuestro objetivo ahora es extender la definici´on de la funci´on exponencial con base e a los n´umeros complejos:
Definici´on 1.8 Definimos la funci´on exponencial en el cuerpo de los n´umeros complejos como sigue:
ex+iy^ = ex(cos y + i sen y)
En particular,
eiθ^ = cos θ + i sen θ
y por lo tanto, si z es un n´umero complejo con m´odulo r y argumento θ, entonces:
z = r(cos θ + i sen θ) = reiθ
La expresi´on reiθ^ se conoce como forma exponencial del z y la igualdad eiθ^ = cos θ +i sen θ se conoce como igualdad de Euler.
Proposici´on 1.9 Para todo z, w ∈ C y todo n ∈ Z se verifica:
- ez^ ew^ = ez+w
- (ez^ )n^ = enz
Demostraci´on: Para demostrar esta proposici´on basta con probar el primer apartado, ya que el se- gundo se deduce de ´el. Consideramos z = x 1 + iy 1 ,
w = x 2 + iy 2 ,
ez^ ew^ = ex^1 ex^2 (cos y 1 + i sen y 1 )(cos y 2 + i sen y 2 ) = ex^1 +x^2 (cos y 1 cos y 2 − sen y 1 sen y 2
- i(sen y 1 cos y 2 + cos y 1 sen y 2 )) = ex^1 +x^2 (cos(y 1 + y 2 ) + i sen(y 1 + y 2 )) = ex^1 +x^2 ei(y^1 +y^2 )^ = ez+w
Como se puede observar, la demostraci´on se basa en las igualdades que conocemos para el seno y coseno de la suma de ´angulos y por esta raz´on, podemos utilizar la igualdad de la proposici´on para “recordar” f´acilmente estas igualdades.
1.4.1. Potencias de n´umeros complejos. F´ormula de Moivre
Si z = reiθ, entonces, teniendo en cuenta la igual- dad obtenida anteriormente para el producto de n´umeros complejos se verifica que:
zn^ = (reiθ)n^ = rneinθ
Por lo tanto: rn(cos θ + i sen θ)n^ = rn(cos nθ + i sen nθ). Tomando r = 1 obtenemos la igualdad:
(cos θ + i sen θ)n^ = cos nθ + i sen nθ
que se denomina F´ormula de Moivre. Esta f´ormula se puede utilizar para obtener igualdades que expre- san funciones del tipo cos nx y sen nx como polino- mios de cos x y sen x; igualmente, podemos obtener igualdades que expresen potencias de sen x y cos x co- mo suma de funciones del tipo cos nx y sen nx. Por ejemplo, para n = 2 tenemos:
cos 2θ + i sen 2θ = (cos θ + i sen θ)^2 = (cos^2 θ − sen^2 θ) + i(2 sen θ cos θ)
Y por lo tanto, deducimos las siguientes igualdades:
cos 2θ = cos^2 θ − sen^2 θ sen 2θ = 2 sen θ cos θ
1.4.2. Ra´ıces de n´umeros complejos
Teorema 1.10 Para cada n´umero complejo z exis- ten n numeros complejos distintos w 0 ,... , wn− 1 que
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verifican wnk = z. Estos n´umeros complejos son:
wk = n
r exp
i
( (^) θ n +^2 π n k
, k = 0, 1 , 2 ,... , n− 1
1.4.3. Logaritmo de n´umeros complejos
Teorema 1.11 Dado un n´umero complejo z 6 = 0, existen infinitos n´umeros complejos distintos wk, k ∈ Z, que verifican: z = ewk^. Estos n´umeros complejos tienen la siguiente forma:
wk = log r + i(θ + 2kπ), k ∈ Z
donde r = |z| y θ = Arg(z).
Demostraci´on: Si r = |z| y θ = Arg(z), entonces, para cada k ∈ Z:
z = rei(θ+2kπ)^ = exp(log r + i(θ + 2kπ)) = ewk
Definici´on 1.12 Llamamos valor principal del lo- garitmo de z = reiθ^6 = 0, θ ∈ [0, 2 π), y lo denotamos log z al n´umero:
log z = log r + iθ
Dado que el logaritmo de un n´umero complejo no es ´unico, debemos tener cuidado con las operaciones que involucren un logaritmo. Por ejemplo, la igual- dad log zn^ = n log z no es cierta en general, ya que podemos tomar distintas ramas del logaritmo en cada uno de los miembros; ni siquiera esta igualdad es co- rrecta si trabajamos solamente con el valor principal del logaritmo:
log(−1)^2 = log 1 = 0, 2 log(−1) = 2πi
Sin embargo, existe una relaci´on entre los dos miem- bros de la igualdad, la que establece el siguiente re- sultado.
Teorema 1.13 Si w es un logaritmo de z, entonces nw es un logaritmo de zn.
Volviendo al ejemplo anterior, tenemos que πi es un logaritmo de −1 y efectivamente 2πi es un loga- ritmo de 1 = (−1)^2 , aunque no es su valor principal;
sin embargo, 4πi es un logaritmo de 1 pero 2πi no es un logaritmo de −1, es decir, el rec´ıproco del teorema anterior no es cierto. El comportamiento del logaritmo del producto es similar:
Teorema 1.14 Si w 1 es un logaritmo de z 1 y w 2 es un logaritmo de z 2 , entonces w 1 + w 2 es un logaritmo de z 1 z 2.
1.5. Funciones trigonom´etricas e hiperb´oli-
cas
A partir de las expresiones para eix^ y e−ix^ obte- nemos a continuaci´on igualdades para el seno y el coseno del n´umero real x:
eix^ = cos x + i sen x
e−ix^ = cos x − i sen x
cos x = e
ix (^) + e−ix 2
sen x = e
ix (^) − e−ix 2 i
De esta forma, para definir las funciones trigo- nom´etricas que generalicen las definiciones sobre n´umeros reales podemos considerar estas expresio- nes.
Definici´on 1.15 Sobre el cuerpo C se definen las funciones sen y cos como sigue:
sen z = e
iz (^) − e−iz 2 i cos z = e
iz (^) + e−iz 2 tg z = sen^ z cos z
Igual que la f´ormula de Moivre se utiliza para de- ducir expresiones para el seno o coseno de ´angulos m´ultiples, la definici´on de las dichas funciones usan- do la exponencial compleja permite deducir expresio- nes para las potencias del seno o el coseno. Vemos a continuaci´on un ejemplo:
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- sen(z + π) = − sen z; cos(z + π) = − cos z; sen(π − z) = sen z; cos(π − z) = − cos z
- sen 2z = 2 sen z cos z
- cos 2z = cos^2 z − sen^2 z
- 2 cos^2 z = 1 + cos 2z
- 2 sen^2 z = 1 − cos 2z
- sen z cos u = 12 (sen(z + u) + sen(z − u))
- sen z sen u = 12 (− cos(z + u) + cos(z − u))
- cos z cos u = 12 (cos(z + u) + cos(z − u))
- sen z + sen u = 2 sen z^ + 2 ucos z^ − 2 u
- sen z − sen u = 2 cos z^ + 2 usen z^ − 2 u
- cos z + cos u = 2 cos z^ + 2 ucos z^ − 2 u
- cos z − cos u = −2 sen z^ + 2 usen z^ − 2 u
Introducimos ahora las funciones hiperb´olicas, que se definen igualmente a partir de la exponencial.
Definici´on 1.18 Sobre el cuerpo C se definen las funciones seno hiperb´olico y coseno hiperb´olico como sigue:
senh z = e
z (^) − e−z 2 cosh z = e
z (^) + e−z 2
Teorema 1.
- senh(x + yi) = senh x cos y + i cosh x sen y
- cosh(x + yi) = cosh x cos y + i senh x sen y
Demostraci´on:
senh(x+iy) =^1 2 (ex+iy^ − e−x−iy^ )
=^1 2 (ex(cos y + i sen y) − e−x(cos y − i sen y))
=^1 2 (ex^ − e−x) cos y + i 1 2 (ex^ + e−x) sen y = senh x cos y + i cosh x sen y
cosh(x+iy) =^12 (ex+iy^ + e−x−iy^ )
=
2 (e
x(cos y + i sen y) + e−x(cos y − i sen y))
=
2 (e
x (^) + e−x) cos y + i 1 2 (e
x (^) − e−x) sen y
= cosh x cos y + i senh x sen y
El siguiente corolario recoge algunos casos particu- lares bastante ´utiles.
Corolario 1. cosh ix = cos x, senh ix = i sen x, tgh ix = i tg x cos ix = cosh x, sen ix = i senh x, tg ix = i tgh x
Las expresiones que definen las funciones trigo- nom´etricas e hiperb´olicas y sus propiedades delatan las similitudes entre estas funciones. La interpreta- ci´on geom´etrica de las mismas (figura 1.2) aporta otras analog´ıas.
Proposici´on 1.21 Las funciones hiperb´olicas veri- fican las siguientes igualdades:
- senh(z + u) = senh z cosh u + cosh z senh u
- cosh(z + u) = cosh z cosh u + senh z senh u
- cosh^2 z − senh^2 z = 1
- senh 2z = 2 senh z cosh z
- cosh 2z = cosh^2 z + senh^2 z
- 2 cosh^2 z = 1 + cosh 2z
- 2 senh^2 z = cosh 2z − 1
- senh z cosh u = 12 (senh(z + u) + senh(z − u))
- senh z senh u = 12 (cosh(z + u) − cosh(z − u))
- cosh z cosh u = 12 (cosh(z + u) + cosh(z − u))
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1.6. Gr´aficas de funciones elementales
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
2
3
( )^1 ex^ exp(x) =^ ex
1 2 3 4
3 2
1
log x
log 1 /e x
-2 -1 1 2
1
2
3
-2 -1 1 2
-0.
1 tgh x
senh x
cosh x
1 2 ex
-4 -2 2 4
1
2
-1 (^1)
1
2
3
argtgh x
argsenh x
argcosh x
log 2x -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.
1
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.
1
2
3
2 (x) =^ x^2 (x^ + 2)
1 (x) =^ x(x^ −^ 1)(x^ + 2)
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10 C´alculo para la computaci´on
Mostramos finalmente las gr´aficas de algunas funciones potenciales y racionales
0.5 1 1.5 2
1
2
3
4
√x = x 1 / 2
√ (^3) x (^7) = x 7 / 3
√ (^3) x (^7) = x 7 / 3
x
√ 2
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.
-1.
-0.
1
2
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.
-1.
-0.
1
2
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.
-1.
-0.
1
2
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.
-1.
-0.
1
2
1 (x) =^ 4(2x−1)(^1 +1) 2 (x) =^7 x
2 4( −1)( +1)
3 (x) =^7 x
3 4( −1)( +1) 4 (x) =^
7 x^4 4( −1)( +1)
2 x 2 x^2 x
2 x 2 x 2 x 2 x
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Relaci´on 1
- Simplifica las siguientes operaciones: 1 i , i−^17 , (1 − 2 i)^3 , (5 + 3i)(2 − i) − (3 + i), 5 −^8 i 3 − 4 i
- Encuentra todas las soluciones de las siguientes ecuaciones: 2 z 1 + i − 2 z i
2 + i zz¯ + 3(z − ¯z) = 13 + 12i
- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
4 z + 3w = 23 z + iw = 6 + 8i
- Expresa en forma polar los siguientes n´umeros 1 , − 1 , i, −i, 1 − i, (2 − i)(2 + i)
- Dibuja en el plano complejo los siguientes lugares geom´etricos:
Re(z) = 5 |z − 1 | = 3 Arg(z − 2) = π/ 4
- Dibuja en el plano complejo el siguiente lugar geom´etrico: | z z^ −+ 1^1 | = 3.
- Dados z 1 = eiπ/^4 y z 2 = e−iπ/^3 , calcula el argumento de z 1 z^22 y de z 13 /z 2 y calcula la parte real y la parte imaginaria de z 12 + iz 2
- Utiliza la f´ormula de Moivre para probar: cos 8θ = 128 cos^8 θ − 256 cos^6 θ + 160 cos^4 θ − 32 cos^2 θ + 1
- Encuentra las tres ra´ıces c´ubicas de (8 + 8i)
- Encuentra todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:
z^2 + 2z + 2 = 0 z^3 + 8 = 0 z^4 + z^2 + 1 = 0 Factoriza en R y en C los polinomios que aparecen en las ecuaciones.
- Prueba que: log(− 12 − i (^12)
- = −i 23 π
- Expresa en forma bin´omica los siguientes n´umeros: sen( 56 π + i), cosh( π 4 i).
- Calcula z = x + iy en los siguientes casos: cos z = 34 i, senh z = − 2
- Deduce las siguientes igualdades haciendo uso de la definici´on de las funciones hiperb´olicas y trigonom´etricas cosh^2 z − senh^2 z = 1, 2 cos^2 z = 1 + cos 2z
- Para las funciones hip´erbolicas definidas en R demuestra que: d dx senh x = cosh x d dx cosh x = senh x d dx tgh x = 1 − tgh^2 x
- Expresa sen^4 θ y cos^6 θ en t´erminos de senos y cosenos de m´ultiplos de θ.
Relaci´on 1 11
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i) senh z senh u = 12 (cosh(z + u) − cosh(z − u)) j ) cosh z cosh u = 12 (cosh(z + u) + cosh(z − u))
- Deduce las siguientes igualdades haciendo uso de la definici´on de las funciones trigonom´etricas en el cuerpo de los n´umeros complejos.
a) sen z cos u + cos z sen u = sen(z + u) b) cos z cos u − sen z sen u = cos(z + u) c) cos^2 z + sen^2 z = 1 d) 2 sen z cos z = sen 2z e) cos^2 z − sen^2 z = cos 2z f ) 2 cos^2 z = 1 + cos 2z g) 2 sen^2 z = 1 − cos 2z h) sen z cos u = 12 (sen(z + u) + sen(z − u)) i) sen z sen u = 12 (− cos(z + u) + cos(z − u)) j ) cos z cos u = 12 (cos(z + u) + cos(z − u))
- Obten la expresi´on bin´omica de tg(x + iy) y de tgh(x + iy) a partir de las del seno y el coseno.
- Deduce la siguiente expresi´on: tg(z + u) = tg^ z^ + tg^ u 1 − tg z tg u
- ¨ El objetivo de este ejercicio es calcular el coseno de los ´angulos π/ 5 y 2 π/ 5. a) Sea z = cos θ + i sen θ una ra´ız quinta de −1. Probar que, si z 6 = −1, entonces z^4 − z^3 + z^2 − z + 1 = 0 y deducir que 4 cos^2 θ − 2 cos θ − 1 = 0. Concluir que cos π/ 5 = 14 (
b) Sea z = cos θ+i sen θ una ra´ız quinta de la unidad. Probar que, si z 6 = 1, entonces z^4 +z^3 +z^2 +z+1 = 0 y deducir que 4 cos^2 θ + 2 cos θ − 1 = 0. Concluir que cos 2 π/ 5 = 14 (
- ¨ Sea ω 6 = 1 una ra´ız c´ubica de la unidad. Demostrar que, entonces ω^2 + ω + 1 = 0 y:
(x + y + z)(x + ωy + ω^2 z)(x + ωz + ω^2 y) = x^3 + y^3 + z^3 − 3 xyz
Deducir que las soluciones de x^3 + (− 3 yz)x + (y^3 + z^3 ) = 0 como ecuaci´on en x son: x 1 = −(y + z), x 2 = −(ω^2 y + ωz), x 3 = −(ωy + ω^2 z). Resolver la ecuaci´on: x^3 + 6x − 7 = 0
Tema 1: ejercicios propuestos 13
