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CONSULTA 2
a. Definiciones de los diferentes tipos de matrices,
Una matriz es un objeto matemático. Informalmente, podemos decir que una matriz es
como una tabla de números. Tiene filas y columnas y la posición de cada número es
relevante.
La dimensión de una matriz es
nxm , siendo
n el número de filas y
m el de columnas.
Ejemplo:
La matriz
A
tiene 3 columnas y 3 filas, así que su dimensión es 3x3.
- La fila 1 de la matriz es 1, 3, 5.
- La columna 3 de la matriz es 5, 8, 13.
Nos referimos a la posición de un número de la matriz A como ( i , j ), donde i es el
número de la fila a la que pertenece y
j el de la columna.
Por ejemplo:
de la matriz
A
es 5.
- El número de las posiciones
y
es 3.
La diagonal de una matriz son los elementos de la posición ( i ,i ).
Por ejemplo, los elementos de la diagonal de A son 1, 4, 13
Si el número de filas coincide con el de columnas, se dice que la matriz
es cuadrada (como la matriz A ). En caso contrario, se dice que es rectangular.
Para hablar de una matriz de forma genérica, suele utilizarse
a
i , j
ó
a
ij
para denotar al
elemento de la posición
( i , j ) de una matriz. Por ejemplo:
Con esta notación, solemos referirnos a una matriz
A
como
Finalmente, diremos que los elementos de una matriz pueden ser números reales,
complejos u otros elementos matemáticos, elementos de un cuerpo K en general.
b. Suma de matrices
Para poder sumar (o restar) dos matrices A y B , éstas deben tener la misma dimensión
puesto que la suma (o resta) se calcula sumando (o restando) los elementos de la misma
posición.
Es decir, si las matrices son
La suma A + B es
La resta
A − B
es
Obviamente, la matriz resultante tiene la misma dimensión que las matrices
A y B .
Propiedades de la suma de matrices:
Conmutativa:
Asociativa:
El producto por un escalar es distributivo respecto de la suma (y resta) de
matrices:
c. Multiplicación de matrices,
El producto de matrices es un poco más complejo.
Sean las matrices A =( a ij
) de dimensión mxn y B =( b
ij
) de dimensión nxp (el número
de columnas de A y el de filas de B debe coincidir).
Entonces, se define el producto matricial A ∙ B (o, simplemente, AB ) como la matriz de
dimensión mxp cuyo elemento en la posición ( i , j ) es
Es decir,
d. Matriz Inversa; y,
Las matrices son una herramienta valiosa en todas las ramas de las matemáticas, pero,
sobre todo, lo son cuando son matrices invertibles (es decir, con inversa). Existen
muchos y diversos métodos para la obtención de la matriz inversa, cada uno de ellos con
sus ventajas y desventajas.
Entre los métodos más básicos, destacan el de Gauss y el que vamos a explicar en esta
página (inversa mediante adjunción). En el primero se realizan operaciones elementales
fila y en el segundo se calculan determinantes.
Recordad:
Sólo tienen inversa algunas matrices cuadradas.
Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0.
Si una matriz tiene inversa, se dice que es invertible o regular. En caso contrario,
se dice que es irregular o singular.
La inversa de A se denota por A
− 1
y cumple
Inversa mediante adjunción
Sea
A
una matriz cuadrada y regular de dimensión
n , entonces la matriz inversa de
A
A
− 1
, viene dada por
donde
| A |es el determinante de A
A dj ( A ) es la matriz adjunta o de adjuntos de la matriz A
el exponente T significa trasposición (matriz traspuesta)
Nota: alguna gente llama adjunta a la traspuesta de la matriz adjunta que definimos a
continuación.
Matriz adjunta:
Sea
A
una matriz de dimensión
mxn , denotamos al elemento de la fila
i y columna
j
de A por
a
i , j
Con esta notación, si la matriz A es de dimensión 2x2, tiene la forma
Y, si es de dimensión 3x3,
La matriz adjunta de A , Adj ( A )), tiene la misma dimensión que A y si denotamos
por
adj
i , j
al elemento de la fila
i y columna
j de Adj ( A )), entonces
donde
A
i , j
es la matriz que se obtiene al eliminar la fila i y columna j de A.
Ejemplo del cálculo de la matriz adjunta y matriz inversa:
El determinante de la matriz A es
c. Un ejemplo utilizando el método de la matriz ampliada para resolver un sistema
de ecuaciones lineales.
Ejemplo
que tiene como matriz ampliada
su forma normal de Hermite, que calculamos antes, se puede ver como el producto
matricial
