Matrices Álgebra de Matrices Tipos de matrices
Matrices
Profesores del curso:
Richard Acuña 1
Clifford Torres 1
Jhony Valverde 1
Ángel Ramírez 1
1Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, Perú
30/03/2020
Periodo 2020-1 Profesores del curso
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Álgebra de Matrices: Definiciones y Operaciones, Diapositivas de Álgebra Lineal
Documento sobre las matrices, su definición, tipos, operaciones y propiedades en el contexto del Álgebra de Matrices. Contiene ejemplos y ejercicios.
Tipo: Diapositivas
2021/2022
1 / 37
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Matrices
Profesores del curso:
Richard Acuña
1
Clifford Torres
1
Jhony Valverde
1
Ángel Ramírez
1
1 Universidad Nacional de Ingeniería, Lima, Perú
Tabla de contenidos
(^1) Matrices
Operaciones con matrices
2 Álgebra de Matrices
(^3) Tipos de matrices
Notación:
- A las matrices se les designa mediante letras mayúsculas. Así
se dirá, sea A una matriz.
Ejemplo:
A =
24 0 π
- Los elementos de la matriz A son denotados por a ij , donde: a es
el elemento matricial, i indica la fila y j indica la columna.
Así:
A =
a 11 a 12 · · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 n
a m 1 a m 2 · · · amn
m×n
ó A = [aij ]m×n = Am×n , m, n ∈ N
Definición 2
El orden de una matriz esta dado por la expresión m × n, se lee "m
por n ", donde m es el número de filas y n es el número de columnas
de la matriz.
Observación:
El conjunto ordenado {a i 1 , a i 2 , · · · , a in } es la i-ésima fila con
1 ≤ i ≤ m, y el conjunto ordenado {a 1 j , a 2 j , · · · , a mj } es la j-ésima
columna con 1 ≤ j ≤ n, de la matriz A = [a ij
]
m×n
ai 1 ai 2 · · · ain
m×n
· · · a 1 j · · ·
· · · a 2 j · · ·
· · · a mj
m×n
Operaciones con matrices
Considere las matrices A = [ aij ] m × n , B = [ bij ] m × n y k ∈ K = R, C.
Definición 4 (Suma de matrices)
Es la matriz C = [c ij
]
m×n donde c ij = a ij
- b ij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Notación: A + B = [aij + bij ]m×n = C = [cij ]m×n
Definición 5 (Multiplicación de una matriz A por un escalar k)
Es la matriz kA = [ka ij
]
m×n , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Observación:
Sea B una matriz de orden m × n, entonces −B = (− 1 )B, es decir:
Si B = [bij ]m×n, entonces − B = [−bij ]m×n
Operaciones con matrices
Definición 6 (Resta de matrices)
Es la matriz A − B definida por:
A − B = A + (−B) = [a ij − b ij
]
m×n
Operaciones con matrices
Ejemplo: Determine AB si:
A =
[
]
y B =
[
]
Resolución:
Tenemos AB = C = [cij ] 2 × 3 , donde:
c 11 = ( 1 )( 3 ) + ( 2 )(− 1 ) = 1, c 12 = ( 1 )( 2 ) + ( 2 )( 3 ) = 8,
c 13 = ( 1 )( 0 ) + ( 2 )( 1 ) = 3, c 21 = (− 3 )( 3 ) + ( 6 )(− 1 ) = −15,
c 22 = (− 3 )( 2 ) + ( 6 )( 3 ) = 12, c 23 = (− 3 )( 0 ) + ( 6 )( 1 ) = 6
entonces
C = AB =
[
]
Operaciones con matrices
Ejercicio: Sean las matrices A = [i − 2 j] m×n y B = [j] n×p
Hallar la matriz AB.
Resolución:
Del dato a ij = i − 2 j , b ij = j y sea AB = C = [c ij
]
m×p , entonces
c ij
n ∑
k= 1
a ik b kj
n ∑
k= 1
(i − 2 k)(j) = j
n ∑
k= 1
i −
n ∑
k= 1
2 k
= j(in − n(n + 1 ))
finalmente AB = [j(in − n(n + 1 ))]m×p.
Definición 8
Matriz nula, es la matriz donde todos sus elementos son ceros. Se
denota por O.
Propiedad 1
Sean A, B y C matrices, k 1 , k 2 escalares. Siempre que haya
consistencia en sus órdenes, entonces:
1. A + B = B + A
2. A + O = O + A
3. A + (−A) = O
4. A(BC) = (AB)C
- AO = O y OA = O
6. A(B ± C) = AB ± AC
- k(A ± B) = kA ± kB
- (k 1 + k 2 )A = k 1 A + k 2 A
Demostración:
- Sean A m×n y B m×n , entonces
A + B = [a ij
- b ij ]m×n = [b ij
- a ij ]m×n = B + A.
Observación:
- Si AB = AC y A 6 = O, entonces no siempre se cumple B = C.
Ejemplo:
Sean las matrices A =
[
]
, B =
[
]
y C =
[
]
donde tenemos AB =
[
]
= AC, pero B 6 = C.
- Si AB = O, entonces no siempre se cumple A = O ó B = O.
Ejemplo:
Sean las matrices A =
[
]
y B =
[
]
, donde tenemos
AB = O, pero A 6 = O y B 6 = O.
Definición 9 (Matriz transpuesta)
Una matriz A
t es la matriz transpuesta de una matriz A de orden
m × n, si las filas de A
t son las columnas de A y las columnas de A
t
son las filas de A, invirtiendo el orden.
Notación: A
t = [a
t ij
]
n×m , donde
A = [aij ]m×n ⇐⇒ A
t = [aji ]n×m
Ejemplo:
A =
[
]
, entonces A
t
Demostración:
- Sea A = [a ij ]m×n entonces A
t = [a
t
ij
]n×m = [a ji ]n×m.
Así
(A
t )
t = [a
t ji ]m×n = [a ij ]m×n = A.
- Sean A = [a ij
]
m×n y B = [b jk
]
n×p , entonces AB = C = [c ik
]
m×p de
esto (AB)
t = C
t = [c
t
ik
]
p×m , así
c
t
ik
= c ki
n ∑
j= 1
a kj b ji
también de A
t = [a
t
ij
]
n×m y B
t = [b
t
jk
]
p×n , tendremos
B
t A
t = D = [d ik
]
p×m
así
dik =
n ∑
j= 1
b
t
ij a
t
jk
n ∑
j= 1
bji akj =
n ∑
j= 1
akj bji ( 2 )
de ( 1 ) y ( 2 ) tendremos:c
t
ik
= d ik entonces por igualdad de matrices
(AB)
t = B
t A
t .