¡Descarga Continuidad de funciones y más Monografías, Ensayos en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
CONTINUIDAD
El concepto intuitivo de continuidad en una función puede asociarse
a que dicha función no tenga interrupciones.
La continuidad de una función se analiza:
− En un número 𝑥 = 𝑎
− En un intervalo
Definición Continuidad en un número
Una función 𝑓 es continua en un número 𝑎 si 𝐥𝐢𝐦
𝒙→ 𝒂
Para que lo anterior se cumpla requiere de tres condiciones
𝒙→ 𝒂
existe, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 { 𝐥𝐢𝐦
𝒙→ 𝒂
𝒙→ 𝒂
−
𝒙→ 𝒂
f es continua en todos los
puntos de su dominio
Si no cumple una de las condiciones se dice que
La discontinuidad puede ser
Removible
Esencial
Discontinuidad removible Discontinuidad removible
Discontinuidad por Salto
Discontinuidad Infinita
Continuidad lateral
Definición:
Una función f es continua por la derecha en un número a si
𝒙→ 𝒂
Una función f es continua por la izquierda en un número a si
𝒙→ 𝒂
−
Ejemplos
1. Si la función f está definida como
1 si 𝑥 < − 1
2
si − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1
4 − 𝑥 si 𝑥 > 1
a. Analice si la función es continua en x = − 1.
b. Analice si la función es continua en x = 1.
c. Dibuje la representación gráfica de la función para confirmar sus resultados
analíticos.
Solución
Condiciones de continuidad en un número
𝒙→ 𝒂
𝒇(𝒙) existe, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 { 𝐥𝐢𝐦
𝒙→ 𝒂
𝒙→ 𝒂
−
𝒙→ 𝒂
a. La continuidad en 𝑥 = - 1 se analiza de la misma forma que en el inciso anterior
i. 𝑓(- 1 ) = (- 1 )
2
= 1 , si está definida.
ii. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ − 1
𝑥→ − 1
−
𝑥→ − 1
−
𝑥→ − 1
𝑥→ − 1
2
2
Como 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ − 1
−
𝑥→ − 1
𝑓(𝑥) , se concluye que el límite existe y es igual a 1
iii. f(− 1 ) = lim
x→ − 1
f(x) = 1
∴ 𝒇 es continua en 𝐱 = − 𝟏.
b. La continuidad en 𝑥 = 1 se analiza de la misma forma que en el inciso
anterior
i. 𝑓( 1 ) = ( 1 )
2
= 1 , si está definida.
ii. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 1
𝑥→ 1
−
𝑥→ 1
−
2
2
𝑥→ 1
𝑥→ 1
Como 𝑙𝑖𝑚
𝑥→ 1
−
𝑥→ 1
𝑓(𝑥), se concluye que el límite no existe.
∴ 𝒇 la función no es continua en 𝒙 = 𝟏. (discontinuidad por salto)
c. gráfica de f
2. Dada la función 𝑓(𝑥) =
𝑥
3
− 8
2 −𝑥
a. Analice la continuidad de la función en 𝑥 = 2.
b. Si la función es discontinua indique el tipo de discontinuidad, si es necesario
redefina la función.
Solución
i. 𝑓( 2 ) no está definida
Como 𝒇(𝟐) no está definida, se tiene que la función es discontinua en 2.
Para indicar tipo de discontinuidad, analicemos el límite
ii. lim
x → 2
x
3
− 8
2 −x
= lim
x → 2
(x− 2 )(x
2
+2x+ 4 )
2 −x
= lim
x → 2
− (x− 2 )(x
2
(x− 2 )
= lim
x → 2
2
Como el límite existe, se tiene que la función es discontinua removible en 2.
La función será continua si se satisface la tercera condición
iii. 𝑙𝑖𝑚
𝑥 → 2
Como 𝑓( 2 ) no está definida per el límite si existe, será suficiente con definir
𝑓( 2 ) con el mismo valor que el límite, por lo tanto, la función será continua si
se redefine como
3
si 𝑥 ≠ 2
− 12 si 𝑥 = 2
