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Este documento aborda el concepto de continuidad de funciones, incluyendo la definición formal de continuidad en un punto, los tipos de discontinuidad (removible, de salto e infinita), y teoremas sobre funciones continuas. Se presentan varios ejemplos que ilustran la aplicación de estos conceptos. Además, se incluyen ejercicios adicionales para que el estudiante pueda practicar la identificación de puntos de discontinuidad y la clasificación de los mismos. El documento proporciona una sólida base teórica y práctica sobre la continuidad de funciones, lo cual es fundamental en el estudio del cálculo diferencial e integral.
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
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LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE: Al finalizar la sesión, el estudiante determina si
una función es continua en un punto dado.
Continuidad
▪ Definición 1
▪ Ejemplo
▪ Observación 1
Tipos de discontinuidad
▪ Ejemplos
▪ Definición 2
▪ Ejemplo
Teoremas sobre funciones continuidad
▪ Teorema 1
▪ Teorema 2
Ejercicios adicionales
Los fenómenos físicos suelen ser continuos. Por ejemplo, el desplazamiento o la
velocidad de un vehículo varían continuamente con el tiempo, al igual que la estatura de
una persona. Pero hay discontinuidades en situaciones como por ejemplo en corrientes
eléctricas (la función Heaviside).
En Matemáticas y Ciencias utilizamos la palabra continuo para describir un proceso
gradual, sin interrupción o cambio abrupto. Es esta noción, con respecto a funciones, la
que ahora queremos precisar.
Una función f es continua en un número a si
f ( ) x f ( ) a x a
→
lim
Nótese que, la Definición 1 tácitamente requiere tres cosas; f es continua en (^) a sí:
i. f ( ) a está definida (es decir, a está en el dominio de f )
ii. existe f ( ) x x → a
(^) lim , es decir f ( ) x f ( ) x x → a −^ x → a +
lim = lim
iii. f ( ) x f ( ) a x a
→
lim
La definición de continuidad menciona que f es continua en (^) a si f ( ) x se acerca a
f ( ) a cuando (^) x se acerca a (^) a. Entonces, una función continua f tiene la propiedad
de que un pequeño cambio de x produce sólo un pequeño cambio en f ( ) x. Por tanto,
no hay vacío en la curva.
( )
f a
→ a
a
x acerca a
cuando se
f x a
seacerca
1. Si una función es discontinua en (^) a , pero el límite de f ( ) x cuando (^) x se acerca a a
existe, se dirá que f presenta una discontinuidad de tipo removible o evitable.
existe f ( ) x x 1
lim →
pero existe f ( ) x x 1
lim →
pero
f ( ) 1 no está definido lim ( ) ( ) 1 1
f x f x
→
2. Si una función es discontinua en a , pero existen f ( ) x x → a −
lim y f ( ) x x → a +
lim sin embargo
son distintos, se dirá que (^) f presenta una discontinuidad de tipo salto.
Límites laterales distintos
lim ( ) 2 1
→−
f x x
y lim ( ) 1 1
→+
f x x
3. Si una función es discontinua en (^) a , pero si uno o ambos límites laterales tienden a
→−
f x x a
→+
f x x a
lim , se dirá que f presenta una
discontinuidad de tipo infinito.
x^ lim → 1 − f^ x
→
f x x 1
lim
discontinua y clasifíquelo (justifique su respuesta).
De acuerdo a la gráfica, se observa que f presenta
2 2
→−−^ →+
f x f x x x
, pero son distintos.
1
→
f x x
→
f x x 2
lim.
f
Hasta el momento hemos estudiado continuidad en un punto. Ahora, vamos a analizar
la continuidad en un intervalo. La continuidad en un intervalo va significar continuidad
en cada punto dentro del intervalo.
Una función f es continua por la derecha en a si f ( ) x f ( ) a x a
→+
lim y continua por la
izquierda en b si f ( ) x f ( ) b x b
→−
lim
Decimos que f es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto de
ese intervalo. Es continua en el intervalo cerrado a ; b si es continua en a ; b ,
continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.
continua.
Mediante la Definición 2, la función f es continua en los siguientes intervalos
− ;− 2 , − 2 ; − 1 , − 1 ; 2 y 2 ;+
f
Si las funciones f y g son continuas en a y c una constante, entonces las funciones
siguientes también son continuas en (^) a :
i. f + g ii. f − g iii. cf
iv. fg g
f v. si g 0
Los siguientes tipos de funciones son continuas en todo número de sus dominios.
Polinomiales Funciones racionales
Funciones raíz Funciones trigonométricas
Funciones exponenciales Funciones logarítmicas
1.
a. f es discontinua en − 1.
f es continua por la derecha en − 1 porque lim ( ) ( 1 ) 1
→ −+
f x f x
b. (^) f es discontinua en 4.
f^ es continua por la izquierda en^4 porque lim ( ) ( ) 4 4
f x f x
→
2.
✓ h es discontinua en −^2 de tipo removible (o evitable), porque existe
lim ( ) 3 2
→ −
f x x
; pero lim ( ) ( ) 3 2
f x f x
→ −
✓ h es discontinua en 0 de tipo salto, porque existe los límites laterales
lim ( ) 1 0
→
f x x
ylim ( ) 1 0
→
f x x
; pero son distintos.
✓ h es discontinua en 3 de tipo infinito, porque + ( ) = →
f x x 3
lim
3.
a. 2
a = y 2
b = −
b. 3
a = − y 6
b = −
Stewart, James (2018). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas.
México, D.F.: Cengage Learning. Capítulo 2, sección 2. 5 , páginas 114 – 121.
