¡Descarga Criterios matemáticas y más Exámenes selectividad en PDF de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica solo en Docsity!
Contestau de manera clara i raonada una de les dues opcions proposades. Es disposa de 90 minuts.
Cada q¨uesti´o es puntua sobre 10 punts. La qualificaci´o final s’obt´e de dividir el total entre 4. Es valoraran la correcci´o i la claredat en el llenguatge (matematic i no matematic) emprat per l’alumne. Es valoraran negativament els errors de c`alcul.
Podeu utilitzar calculadora de qualsevol tipus, cient´ıfica, grafica o programable, pero no s’autoritzar`a l’´us de les que portin informaci´o emmagatzemada o puguin transmetre-la.
OPCI ´O A
- Un comerciant ven tres tipus de rellotges, A, B i C. Els rellotges de tipus A els ven a 300 e; els de tipus B, a 600 e, i els de tipus C, a 200 e. En un mes determinat va vendre 200 rellotges en total. Si la quantitat dels que va vendre aquest mes de tipus B va ser igual als que va vendre de tipus A i tipus C conjuntament, calculau quants rellotges va vendre de cada tipus si la recaptaci´o d’aquest mes va ser de 89.000e. (10 punts)
Soluci´o. Siguin:
x = nombre de rellotges de tipus A, y = nombre de rellotges de tipus B, z = nombre de rellotges de tipus C.
L’enunciat del problema es correspon amb el sistema d’equacions seg¨uent:
x + y + z = 200, 300 x + 600y + 200z = 89000, y = x + z.
2 x + 2z = 200, 900 x + 800z = 89000.
2 x + 2z = 200, 9 x + 8z = 890.
D’on: x = 90, y = 100 i z = 10. S’han venut, per tant: 90 rellotges de tipus A, 100 rellotges de tipus B i 10 rellotges de tipus C.
- Una empresa de compra/venda d’autom
obils ha comprovat que els ´ultims 10 anys els seus beneficis/perdues s’ajusten a la funci´o
F (t) = t^3 − 18 t^2 + 81t − 3 , 0 ≤ t ≤ 10
en milers d’euros. Es demana:
a) En quins anys es produeixen els valors maxims i m´ınims d’aquesta funci´o? (5 punts) b) Determinau els per´ıodes de creixement i decreixement. (3 punts) c) Quins s´on els seus beneficis maxims? Quin resultat va obtenir l’empresa l’´ultim any de l’estudi? (2 punts)
Soluci´o. a) El m`axim i m´ınim absolut de la funci´o F (t) es troben en els extrems relatius o en els extrems de l’interval [0, 10].
F ′(t) = 3t^2 − 36 t + 81, F ′(t) = 0 ⇒ t = 3, t = 9.
Tenim que,
F ′′(t) = 6t − 36 ⇒ F ′′(3) = − 18 < 0 ⇒ m`axim relatiu, ⇒ F ′′(9) = 18 > 0 ⇒ m´ınim relatiu.
F (0) = − 3 , F (10) = 7, F (3) = 105, F (9) = − 3. El valor m`axim s’aconsegueix als tres anys de comen¸car l’estudi. El valor m´ınim de l’estudi es d´ona a l’inici de l’estudi (t = 0) i al cap de 9 anys. b) De l’apartat anterior ja coneixem els possibles intervals de creixement i decreixement: (0, 3), (3, 9) i (9, 10). Per tant, com que
F ′(1) = 48 > 0 , F ′(4) = − 15 < 0 , F ′(9.5) = 9. 75 > 0.
Fem la taula seg¨uent per estudiar el creixement i el decreixement:
x 0 3 9 10 F ′(t) + − + F (t) ↗ ↘ ↗
Per tant, la funci´o sera creixent als intervals (0, 3) i (9, 10), i decreixent a l’interval (3, 9). c) Els beneficis maxims s´on de 105.000 e, ja que
F (3) = 105 ⇒ 105. 000 e
Com que F (10) = 7, els beneficis l’´ultim any de l’estudi s´on de 7.000 e.
- Siguin A i B dos successos tals que p(A ∪ B) = 0.9, p(Ac) = 0.4, on Ac^ denota el succ´es complementari del succ´es A, i P (A ∩ B) = 0.2. Calculau les probabilitats seg¨uents: p(B) (3 punts), p(A/B) (2 punts), p(A ∩ Bc) (3 punts) i p(Ac^ ∪ Bc) (2 punts).
Soluci´o.
p(B):
0 .9 = p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 1 − p(Ac) + p(B) − p(A ∩ B) = 1 − 0 .4 + p(B) − 0 .2 = 0.4 + p(B) ⇒ p(B) = 0. 5.
a) p(A/B): p(A/B) =
p(A ∩ B) p(B)
OPCI ´O B
- Es considera el seg¨uent sistema d’equacions dependent del par`ametre real k:
2 x − y + z = 0, x − ky − z = 0, 2 x + y − z = 1.
Es demana:
a) Determinau els valors de k per als quals el sistema ´es compatible determinat. ( punts) b) Resoleu el sistema quan k = 2. (4 punts)
Soluci´o. a) La matriu del sistema ´es:
A =
1 −k − 1 2 1 − 1
(^) , det(A) = 4k + 4.
El sistema ser`a compatible determinat sempre que 4 k + 4 6 = 0, ´es a dir, k 6 = − 1. b) Hem de resoldre el sistema:
2 x − y + z = 0, x − 2 y − z = 0, 2 x + y − z = 1.
⇒ x =
, y =
, z = −
- Calculau l’`area de la figura plana limitada per la recta y = 2x i la corba y = x^2 − 3 ( punts). Dibuixau el recinte limitat per ambdues corbes (4 punts).
Soluci´o. Calculem els punts de tall entre ambdues corbes:
x^2 − 3 = 2x ⇒ x^2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ x = 3, x = − 1.
Aleshores, l’area demanada sera:
A =
− 1
(2x − (x^2 − 3))dx =
− 1
(2x − x^2 + 3)dx = 2
x^2 2
x^3 3
x=
x=− 1
u^2.
A la figura es pot veure la regi´o associada al problema.
- Considerau la funci´o
f (x) =
ex−^1 , si − 1 ≤ x < 1 (x + a)^2 , si x ≥ 1.
Es demana:
a) Per a quins valors de a la funci´o ´es cont´ınua a x = 1? (6 punts) b) Per al valor de a que fa cont´ınua la funci´o f en tot el seu domini, calculau les derivades de f en els punts x = 0 i x = 3. Com ´es el creixement i decreixement de la funci´o en aquests punts? (4 punts)
Soluci´o. a) La funci´o f (x) ser`a cont´ınua a x = 1 sempre que:
lim x→ 1 −^
f (x) = lim x→ 1 +^
f (x) = f (1).
Per tant: lim x→ 1 −^
f (x) = limx→ 1 ex−^1 = e^0 = 1, lim x→ 1 +^
f (x) = limx→ 1 (x + a)^2 = (1 + a)^2. ⇒^ (1 +^ a)
D’on a^2 + 2a + 1 = 1, i per tant, a = 0 o a = − 2. b)
x = 0 ∈ [− 1 , 1) ⇒ f ′(x) = ex−^1 , f ′(0) = e−^1 > 0. x = 3 ∈ [1, +∞) ⇒ f ′(x) = 2(x + a), Si a = 0, f ′(3) = 2(3 + 0) = 6 > 0. Si a = − 2 , f ′(3) = 2(3 − 2) = 2 > 0.
- 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.
- 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.
- 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.
- 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.
- 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.
- 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.
- 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.
- 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.
- 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.
- 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.
- 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.
- 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.
- 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.
- 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.
- 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.
- 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.
- 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.
- 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.
- 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.
- 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.
- 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.
- 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.
- 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.
- 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.
- 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.
- 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.
- 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.
- 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.
- 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.
- 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.
- 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.
- 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.
- 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.
- 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.
- 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.
- 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.
- 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.
- 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.
- 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.
- 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.
- 4.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.
- 4.1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.
