Cuadernillo Estadistica 2, Apuntes de Estadística Empresarial

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ESCUELA UNIVERSITARIA DE ESTUDIOS

EMPRESARIALES

ESTADÍSTICA EMPRESARIAL II

PROBLEMAS

CURSO 2008-

1. Sea ξ una variable aleatoria con función de densidad:

−

resto

Ke x f(x)

x

Se pide: a) El valor de K para que f ( ) x sea función de densidad. b) La función de distribución. c) Esperanza y varianza. d) El valor c tal que: P (^ ξ > c )= 0 9.

2. Sea ξ una variable aleatoria con función de densidad:

−

resto

e x f(x)

x

Si η = 3 ξ + 4 , se pide E [ η ]

3. Para contratar a sus mecanógrafas, una empresa realiza entre las aspirantes un examen consistente en escribir a máquina por espacio de una hora. El sueldo que asigna a las elegidas está en función del número de folios que han completado en dicho tiempo. Según este criterio se establece la siguiente clasificación: - Las secretarias de clase A, con más de ocho folios por hora, recibirán un sueldo de 7 € por hora. - Las secretarias de clase B, entre seis y ocho folios por hora, recibirán un sueldo de 5 € por hora. - Las secretarias de clase C, de cuatro a seis folios por hora, percibirán un sueldo de 4,5 € por hora.

Si admitimos que el número de folios que escribe una secretaria es una variable aleatoria^ ξ^ , con función de densidad:

resto

x f(x)

Se pide el salario medio por hora de una secretaria.

4. Sea ξ una v.a. que representa el beneficio de las empresas de un determinado

sector. El valor esperado de los beneficios es de 1.000 millones de unidades monetarias. Si la probabilidad de que el beneficio se encuentre entre 700 y 1. millones es de al menos 0.89, obtener: a) La desviación típica de la v.a. b) Si pudiéramos suponer para la variable beneficio una distribución de probabilidad dada por f(x), la probabilidad de que el beneficio estuviera entre 700 y 1.300 millones sería mayor, menor o igual que 0.89.

5. En una fábrica de cierta localidad se produce una media de 150 pares de zapatos al día con una desviación típica de 10 pares: - Obtenga el porcentaje mínimo de días en los que la producción supera los 135 pares de zapatos, pero es inferior a 165.

11. Sea ( ξ η, )variable aleatoria bidimensional tal que:

x y

x y

y

f x y

resto

⎪ <^ <^ <^ <

4y 3 0 1 5 ( ) 0

y f y resto

⎪ <^ <

Se pide: a) P ( 0. 2 < ξ< 0. 8 ; 0 < η< 0. 5 ) b) Medias marginales. c) Estudiar la independencia entre las variables. d)E ( ξ +η )

12. La variable aleatoria ( ξ η, )se distribuye según la ley de probabilidad definida por:

K(x 2 2y) 0 0. 5 / η< 0. 7 ) d) Regresión ξ sobre η.

13. La cantidad de un cierto producto, en miles de unidades, que una empresa vende al

mes, ξ , y su precio η , en miles de unidades monetarias por unidad, tienen la

siguiente función de densidad conjunta:

⎪ <^ <

0

a) Binomial B (1, p )

b) Poisson P ( λ)

16. Acerca de la cantidad aleatoria demandada durante un cierto periodo de tiempo, por una empresa textil, sólo se sabe que no supera la tonelada. Determinar para dicho periodo de tiempo: a) La probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 900 Kilos. b) La probabilidad de que la cantidad demandada este comprendida entre 800 y 900 kilos. c) La demanda media. 17. Dada la variable aleatoria ξ ∼ N ( μ σ, ) determinar, a partir de la función

característica, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria

ξ μ η σ

−

18. Sea ξ una variable aleatoria con distribución Uniforme en el intervalo (0,4). Se pide:

a) El valor de “a” tal que P (^^ ξ^ >^ a )=^ 0 01' b) Si se toman 20 números al azar de dicho intervalo. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de ellos sean mayores que “a”?.

19. Un profesor realiza un test de 100 items en un curso con 200 alumnos. Suponiendo que las puntuaciones, ξ , obtenidas por los alumnos siguen una distribución normal de media 60 puntos y desviación típica 10 puntos, se pide:

( ) ( )

) numero de alumnos que obtuvieron 7

a P b P c P

d P e P f P

g P h P i P

j

ξ ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ ξ

0 puntos o mas

ξ ≤

20. Sea ξ una variable aleatoria que sigue una ley N (^ μ σ, ). Determinar el valor de K

de manera que se verifique que P ( μ − k σ ≤ ξ≤ μ+ kσ)es igual a 0.90; 0.95; 0.99.

21. Una empresa sabe que el comportamiento en probabilidad de la demanda aleatoria de un artículo que produce viene explicada por una ley N(10.000,100). Si la empresa decide seguir produciendo el artículo en el futuro en el caso de que la demanda esté comprendida entre 9.930 y 10.170 unidades, determinar la probabilidad de que no siga produciendo tal artículo. 22. Sabiendo que la demanda aleatoria de gasolina, durante un cierto período de tiempo, se comporta con arreglo a la ley normal de media 150.000 litros, y desviación típica igual a 10.000 litros, determinar la cantidad que hay que tener dispuesta a la venta en dicho período, para poder satisfacer la demanda con una probabilidad de 0’95.

23. Dadas las variables aleatorias ξ^1 y ξ^2 independientes, con distribución de

probabilidad (^1 1 )^ (^2 )

N μ ,σ N μ ,σ 2

respectivamente, hallar la distribución de probabilidad de las siguientes variables aleatorias:

• P ( χ 150 2 ≤ 128 ) y el valor de a tal que: P ( χ 150 2 ≤ a )=0.

• El valor de a tal que: P t ( 20 ≥ a )=0.

• El valor de a tal que: P t ( 7 ≤ a )=0.

31. Una variable aleatoria sigue una distribución^ χ^

2 de Pearson. Calcular:

a) Los puntos críticos:

b) Las probabilidades: 2 2 2 2

P ( χ 8 ≥ 3.49), P ( χ 8 ≤ 15.507), P ( χ 10 ≥4), P ( χ 20 29)

32. Una variable aleatoria sigue la distribución t de Student. Se pide calcular:

a) Los puntos críticos: 0 '20,20;^ 0 '99,10;^ 0 '25,10;

t t t

b) Las probabilidades:

c)

P(t 10 ≥ 1. 372 );P(t 8 ≤ 1. 2 );P(− 0. 5 ≤t 6 ≤ 0. 6 );P( t 24 > 2 )

33. Una fábrica utiliza dos métodos para la producción de bombillas: el 70% de ellas las fabrica por el método A y el resto por el método B. La duración de las bombillas, según utilice el método A o el B, viene dada respectivamente, por las siguientes funciones de densidad: 1

x

e x

f x

resto

y

1

1 100 y 0

x

e

f y

resto

. Se toman 10 bombillas

al azar ¿cuál es la probabilidad de que 6 de ellas duren al menos 90 horas?

34. El tiempo en horas empleado diariamente en el transporte por los trabajadores de una gran ciudad es una variable aleatoria con función de densidad:

−

resto

e x x

f x

x

2

a) Calcular la probabilidad de que un trabajador emplee mas de media hora en el transporte. b) Los trabajadores de un barrio periférico emplean al menos una hora. ¿Cuál es la probabilidad de que no superen la hora y media? c) Determinar el tiempo mínimo que emplea el 50% de los trabajadores que más tiempo pierden en el transporte.

35. La proporción de alumnos de una facultad que aprueban la asignatura de estadística es una variable aleatoria con función de densidad:

resto

x x x

f x

2

Calcular :

a) Probabilidad de que en un año cualquiera suspendan menos del 20%. b) Probabilidad de que la proporción de estudiantes que aprueban en un año sea menor que la proporción media de aprobados.

36. Un jugador de dados supone que la probabilidad de que salga número par es p=0’5. Antes de apostar una fuerte suma, desea realizar una serie de pruebas, de tal forma que la probabilidad de que la frecuencia relativa de salir número par difiera, en valor absoluto, de la probabilidad supuesta en al menos 0’01, sea inferior o igual a 0’1. Determinar cuántas pruebas debe realizar. 37. En el ejercicio anterior resultó que para que se verifique que

( 01 ) ≤ 01 ' , se han de realizar 25.000 pruebas. El elevado número

de pruebas hace que el experimento sea inviable. Por ello el jugador decide efectuar sólo 1.000 pruebas, manteniendo la probabilidad del 10% como máxima admisible. En estas condiciones, calcular el error máximo que puede cometer.

P f − 05 ' ≥ 0 '

38. La probabilidad de accidente de automóvil por la existencia de defectos en el volante es desconocida. En vísperas de vacaciones se desea investigar cierto número de vehículos defectuosos, de tal forma que la probabilidad de que la frecuencia relativa observada, difiera en valor absoluto de la probabilidad de existencia de defectos, desconocida, en una cantidad de al menos 0’01 no sea mayor que 0’05. Calcular el número de coches necesario para cumplir los requisitos. 39. Una empresa dedicada a la venta de un determinado tipo de artículo, ofrece a sus clientes habituales dos formas de pago: “pago al contado” o “pago a plazos”. Sabe que el 20% de las unidades adquiridas de dicho artículo son bajo la forma “pago al contado”. Si en un período de tiempo determinado se han adquirido mil unidades, determinar la probabilidad de que 250 o menos lo hayan sido bajo la forma “pago al contado”. 40. Entre cien empresas cuyas reacciones se suponen independientes entre sí, se analiza la modificación en su actividad derivada de la adopción de un conjunto de medidas económicas. Cada una de estas empresas entiende que dicho conjunto de medidas incidirá sobre su actividad con una probabilidad, común para todas ellas, de 0’4. Determinar la probabilidad de que al menos 20 de estas empresas modifiquen realmente su actividad como consecuencia de las referidas medidas. 41. A unas elecciones se presentan 3 partidos políticos A, B y C. Se sabe que el 50% de los votantes se inclinará por el partido A, el 10% se abstendrá y el resto se repartirá por igual entre los partidos B y C. Inmediatamente después de las elecciones se realiza una encuesta a 2000 personas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 1.100 de los 2.000 encuestados hayan votado al partido A? b) Si un 20% o más de abstención es considerado por todos los partidos como un mal resultado ¿qué probabilidad hay de que se dé tal resultado entre los encuestados? c) ¿Qué probabilidad hay de que de las 2.000 personas encuestadas, hayan votado al partido C entre 300 y 500? 42. En un proceso de fabricación se sabe que el número aleatorio de unidades defectuosas, r, producidas diariamente viene dado por la ley de probabilidad:

r

P r e r

r

Determinar la probabilidad de que en 100 días el número total de artículos defectuosos esté comprendido entre 400 y 480

50. De una población N (^) ( 5,σ (^) ) se extraen muestras aleatorias simples de tamaño n.

¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral tome valores entre 5,8 y 6,1 si:

• n = 21
• n = 250

supuesto que en ambos casos ( ) 2 1

n i x i

x a

=

∑ −^ =

51. La producción diaria de un determinado artículo oscila entre 6.000 y 10. unidades. Si se han realizado observaciones durante 320 días y supuesto que el número de unidades producidas en un día es independiente de los restantes, determinar la probabilidad de que la producción media supere las 8.100 unidades. 52. Consideremos una población normal representada por una variable aleatoria ξ , con

E [ ξ] = 106 , V [ ξ]= 240 , y otra población representada por la variable aleatoria

η , con [ ] [ η ]= 350. Se extraen de las dos poblaciones muestras

aleatorias simples de tamaños n n

E η = 95 , V

1 =^40 ,^2 =^35 respectivamente.

Considerando independientes las dos poblaciones, calcular:

a) P(a (^) x −a y > 18 )

b) P( 8 Determinar. a) Si son o no estimadores insesgados. b) La varianza de dichos estimadores. c) Si son o no eficientes.

57. Se considera una población representada por la variable aleatoria ξ de forma que

E( ξ )= μ y V( ξ )= σ 2. Mediante muestreo aleatorio simple de tamaño n, se estima la media μ de la población a través de la media muestral a (^) x. Probar que dicho estimador es insesgado y consistente.

58. De una población representada por una variable aleatoria ξ , cuya distribución de

probabilidad es normal con varianza 4, se ha extraído una muestra aleatoria simple de tamaño 4, con los siguientes resultados:

x (^) 1 = 6 64' ; x (^) 2 = 3 ; x (^) 3 = 9 16' ; x 4 = 5

a) Proponer un estimador insesgado y otro estimador sesgado para la media poblacional μ , en muestreo aleatorio simple de tamaño 4. b) Si se considera como estimador del parámetro media poblacional ( μ) la media

muestral ( ax ). Determinar:

b.1- Una estimación para μ. b.2- La probabilidad de que la media muestral se aleje del verdadero valor de la media poblacional en más de 0.2, para muestras aleatorias simples de tamaño 4.

59. Para estimar el parámetro poblacional μ de una población N( μ, σ ),supuesto

extraídas muestras en muestreo aleatorio simple de tamaño n, se proponen dos estimadores: a) la primera componente muestral x (^1) b) la media muestral Estudiar si dichos estimadores son consistentes y eficientes.

60. Se considera una población representada por una variable aleatoria ξ cuya

distribución de probabilidad es Poisson de parámetro λ. Supuesto extraídas muestras en muestreo aleatorio simple de tamaño n:

a) Determinar el estimador máximo verosímil de la media de dicha población. b) Estudiar las propiedades del estimador obtenido.

61. Estimar los parámetros poblacionales por el método de los momentos en una

población representada por una variable aleatoria ξ cuya ley de probabilidad está definida por la función de cuantía siguiente:

( )

( )

( )

2

1 2

1 2

1

θ ξ

θ θ

θ θ ξ

θ ξ

P

P

P

supuesto extraídas muestras en muestreo aleatorio simple de tamaño n.

b) Comparar ambos intervalos desdeel punto de vista de la información que generan. edia l se encuentre a una distancia de 1.2 de la misma, ¿Cuántas

68. Una a s de imar el número medio de Km. diarios que realiza su flota de automóviles. A tal fin, para varios días de la semana

b) Un intervalo de confianza del 90% para la varianza poblacional.

69. Para estima

c) Si se quiere tener una confianza del 95% de que la estimación de la m poblaciona observaciones han de tomarse?.

gencia de alquiler de automóvile sea est

toma los recorridos de 10 vehículos de su flota y obtiene una media muestral de 165 Km/día y una desviación típica muestral de 6 Km./día. Bajo la hipótesis de normalidad de la variable aleatoria nº de kilómetros recorridos por día, construir:

a) Un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.

r la media^ μ^ de una población normal con varianza igual a 9, se construyen dos intervalos de confianza A y B. La información disponible es la siguiente: P ( μ ∈A) = 0. 8 y P ( μ∈B) = 0. 9 Si el intervalo A se ha construido con tamaño 16 y el intervalo B con una M.A.S. de tamaño n, determinar el valor que tomará n si el intervalo B

70. En u

una M.A.S. de

tiene una amplitud que es un 10% inferior a la correspondiente al intervalo A.

na población N ( μ ,2)se estima μ a través de una muestra aleatoria simple a

uesto que se eligiera como estimación puntual de la media poblacional, la media

iéndose la cota de

71. El número de s en la empresa A durante 5 días, elegidos por muestreo aleatorio simple ha sido: 20, 20, 30, 30, 25; mientras que para la empresa

rencia de medias poblacionales de ambas empresas. el iendo la misma el mismo nivel de

72. E s familias de una determinada Comunidad Autónoma puede considerarse una variable aleatoria normal. Se selecciona una M.A.S. de 18 familias

a) Construir un intervalo de confianza al 99% para el ahorro medio anual de familias.

73. a 200, en tanto que otra empresa B se dedica a la obtención de otro artículo cuya demanda posee una desviación típica igual a 100. Observados simultáneamente

de tamaño 100 cuy media resultó ser de 17.5. Establecer:

1. El nivel de significación preciso para que sup

muestral, el error de la estimación sea como máximo de 0.392.

1. ¿Cómo se podría aumentar la precisión de la estimación del apartado anterior si se mantiene la confianza?.
2. ¿Cómo se podría aumentar la confianza de la estimación producida en el apartado a hasta el 99% manten error establecida?.

trabajadores absentista

B fueron 20, 25, 40, 30, 30. Bajo la hipótesis de normalidad para el número de absentistas de cada empresa con desviación típica 10, se pide:

a) Construir el intervalo de confianza del 95% para la dife

b) Cuál debería haber sido el tamaño muestral elegido para que el radio d intervalo hubiese sido 10 manten confianza.

l ahorro anual de la

que arroja un ahorro medio de 5000€ con una desviación típica de 1100€.

Se pide:

las b) Construir un intervalo de confianza al 96% para la varianza poblacional.

Una empresa A produce un artículo cuya demanda posee desviación típica igual

125 puntos de oferta de ambos artículos, ha resultado ser la demanda media para el artículo de la empresa A de 300 y para la empresa B de 250. Elaborar el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de demandas medias, suponiendo que la

demanda de ambos artículos pueden ser consideradas variables aleatorias normales e independientes.

De una población con

se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño n n

obteniéndose i^ =^1 terminar un intervalo para la media de la población con al menos un 90% de confianza si:

c. n= 36

. De

∑x^ i =

b. n= 16

75. En la ciudad .S. a 500 personas sobre su intención de votar a un p B se consulta mediante M.A.S. a 1000 personas sobre su intención de votar al mismo partido X, obteniéndose en A un

A se consulta mediante M.A artido X y en una ciudad

porcentaje del 55% y en B del 52%. Determinar el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones al nivel de significación del 4%.

76. De una poblaciónN ( μ ,σ )se extrae una M.A.S. de tamaño 10, obteniendo:

∑ =^ ∑^ (^ − ) =

2 x (^) i 50 xi ax 90 = =

10

1

10

i 1 i

a) Determinar el intervalo de confianza para μ al nivel de significación del 10%. b) Si se toma como desviación típica de la población σ =3, calcular el número

rvalo obtenido tenga la misma amplitud que el intervalo del apartado

ondieron que eran los informativos de la televisión. Partiendo de esta información:

lación que consideran a la televisión como su principal fuente de información de noticias.

sistema de almacenaje diferente en cada una de ellas. Para comprobar si el sistema de almacenaje influye en la conservación de los

dos fábricas. b) ¿Puede concluir que los dos sistemas de almacenaje tienen efectos

de observaciones necesarias para que con un grado de confianza del 95% el inte anterior.

Se pidió a una muestra de 200 personas que identificara su principal fuente de noticias y 110 resp

a) Construir un intervalo de confianza al 95% para la proporción de personas en la pob

b) ¿Qué tamaño debe tener una muestra que proporcione una estimación de la proporción de la población, con un margen de error igual a 0.05 al nivel de confianza del 95%?.

Una empresa dedicada a la fabricación de un determinado tipo de componente, tiene dos fábricas A y B con un

componentes toma una muestra de tamaño 150 en cada fábrica obteniendo en A 4 componentes defectuosos y en B 9 defectuosos. Se pide:

a) Obtener un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de proporciones de componentes defectuosos en las

diferentes?.

86. Se consideran válvulas eléctricas del mismo tipo procedentes de dos fábricas distintas. La duración de la vida de las válvulas es una variable aleatoria normal de parámetros μ y σ. Para la primera fábrica dicha distribución esN ( μ 1 , 24 h )y para la segundaN (μ 2 ,28h ). Se extraen de las dos fábricas muestras aleatorias simples de tamaños 100 y 200 respectivamente. La duración media de la vida de las válvulas de la primera muestra es de 1425 horas y la de la segunda de 1447 horas. ¿Puede admitirse, con nivel de significación del 4% que las dos fábricas producen válvulas idénticas en términos medios?. 87. El consumo de calefacción durante los meses de invierno puede ser representado por una variable aleatoria normal. Se extrae una muestra aleatoria de familias en dos regiones A y B con los siguientes resultados:

Región A Región B Tamaño de la muestra 200 100 Valor medio del consumo 600 500

∑ (^ − ) i

x (^) i ax

¿Se puede decir que la diferencia entre los consumos medios comprobados es significativa con un nivel de significación del 5%?. (Suponer desviaciones típicas iguales en las dos poblaciones).

88. Una empresa consultó en el pasado a 3000 personas acerca de si demandaban o no un artículo que ofrece a la venta. Las respuestas afirmativas que obtuvo suponían el 7.7% de los consultados. En la actualidad y con objeto de determinar si existe un cambio de intenciones de los consumidores ha consultado a 3120 personas obteniendo que sólo el 5.9% estaba dispuesto a demandar el artículo. A la vista de la información, ¿puede admitirse que ha existido un cambio en las intenciones de los consumidores?. Nivel de significación 3%. 89. Una empresa dedicada a la venta de automóviles desea determinar si la edad de sus potenciales clientes puede indicar o no la preferencia por tres modelos que va a lanzar al mercado. Consultados 200 clientes habituales la información obtenida es la siguiente:

TIPO DE MODELO EDAD (años) I II III 20-30 10 40 10 30-40 30 30 20 40-50 10 30 20

¿Aceptaría la empresa a la vista de esta información que la edad explica la preferencia por el tipo de modelo?. Nivel de significación 5%.

90. En un mercado existen 4 marcas de dentrífico. Una empresa está proyectando introducirse en el mercado y a tal fin ha encargado a una consultora que estudie la hipótesis inicial de que las cuotas de mercado son de la siguiente forma:

Marca 1 2 3 4 Cuota mercado 30% 60% 8% 2%

Los resultados para los 600 consultados por M.A.S. han sido los siguientes: marca 1 (192), marca 2 (342), marca 3 (44), marca 4 (22). Con un nivel de significación del 5%, ¿deberá la empresa aceptar su hipótesis inicial?.

91. En la siguiente tabla aparecen los resultados obtenidos en la selectividad y en primer curso de carrera de un grupo de alumnos:

PRIMER CURSO SELECTIVIDAD Éxito Fracaso Aprobado en junio 2000 1000 Aprobado en septiembre 1000 2000

¿El éxito en la carrera es un suceso independiente del hecho de aprobar la selectividad en junio?. Nivel de significación 5%.