















Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: algebra, Profesor: Francisco Miguel García Olmedo, Carrera: Ingeniería Informática, Universidad: UGR
Tipo: Apuntes
1 / 23
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
















��� A �� �������� �� ������ ������� ��� A ����� ���������� �� ������ ����������� �� �� A ������� �������� ��� ������������
A × A −→+ A A × A −→· A (a, b) �→ a + b (a, b) �→ a · b
����������� ��������������� ���� � ��������� � ��� ���������� ��� ���������� ������������
�� ���� ������������ a, b, c ∈ A �� ����� ��� (a + b) + c = a + (b + c)� ��� ���� ������������ a, b ∈ A �� ����� ��� a + b = b + a� ���� ������ �� �������� 0 ∈ A ��� ��� a + 0 = a ���� ��������� a ∈ A� ��� ���� ��������� a ∈ A ������ �� �������� b ∈ A ��� ��� a + b = 0� �� ���� ������������ a, b, c ∈ A �� ����� ��� (a · b) · c = a · (b · c)� ��� ���� ������������ a, b ∈ A �� ����� ��� a · b = b · a� ���� ������ �� �������� 1 ∈ A ��� ��� a · 1 = a ���� ��������� a ∈ A� ����� ���� ������������ a, b, c ∈ A �� ����� ��� a · (b + c) = a · b + a · c�
�� ������� �� ������ �� ��������� ����������
��� ���� ��������� a ∈ A� a �= 0 ������ �� �������� b ��� ��� a · b = 1
�� ���� ��� A ����� ���������� �� ������� ��� �������� �� ������� ������������ Z� Q� R� C � Z (^) n � ��� n ≥ 2 � �� ����� ������ ��� ������� Q� R� C � Z (^) p � ��� p �� ������ ������ ������ �� N ������� ������� �������� ��� ���� � �� ��������� N �� �� �� ������ ������������ ���� ����� �� ��������� ���� �� ��������� ��� ��� ����� �� �� ���������� �� �� �������� b ∈ A ���� ��������� a ∈ A ��� ��� a + b = 0� ��� �� ����� �������� ��� ������ ��� ���������� � � ��� �������� �� �� �������� ������� �� a� � �� �� ����� ������� ���� −a� �� �� ����� ������ �� �������� ��� ��� ����� �� ��������� ��� �� �� ����� ������� �� a� � �� �� ������ ���� a −^1 � �� �� ������ ����������� A� � ��� ��������� ��� ������ ������� ��� ������ ��������� a ∈ A ���� ��� ��� ������ �� �������� b ∈ A ��� ��� a · b = 1� �� ��� ����� ��������� ����� a, b ∈ A� ������������ a − b �� ����� �� a + (−b)� � ������ �� �� ��������� �� ������� �� ������ ������� ������� ������������ �� ����� ����������
�� a · 0 = 0 ��� ����� ��� a ∈ A�
�� ������ �� ��� ������� a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) � (−a) · (−b) = a · b� �� −(a − b) = b − a�
�������������� ��������� ��������� ����� ��� �� ������ �� �� �������� �� �� ��� ������� ������ ������ � ������������ ��� ��� ����������� ������� �������� � ���� ������������ �� ������ �� �������� �� ������������ �������� �� �� ������ ������������ �� ������ �� �� �������� �� �� ��� ������� ������ ������� ����������� � ������� ������ ��� ������
���� ������������� ����� ����������
��������� ��� ��� A �� ������ ������������ � x �� �������� ��� �� ��������� � A� �� ��������� ��� ����������� �� A �� ��� ��������� �� �� �����
a (^) n x n^ + a (^) n− 1 x n−^1 + · · · + a 1 x + a (^0)
����� n ∈ N � a (^) k ∈ A�
������� ������ ��� ���������� ��� ����������� �� Z
2 x 2 + 3x + (−1); 2 x 5 + 2x 4 + 2x 3 + 2x 2 + 2x + 2
�� �� ������ ���� n = 2� a 2 = 2� a 1 = 3 � a 0 = − 1 � �������� ��� �� �� ������� n = 5 � a 5 = a 4 = a 3 = a 2 = a 1 = a 0 = 2� �� ��� ���������� ��� ����������� �� Z
3 x 2 − x + 2 + x −^1 ; sen(x) − 3
����� �� ��������� ��� �� �� ���� �� �� ��� ��������� �� ������ ��� ��� ���������� �� ��������� x 2 + 1 �� �� �� ���������� ���� �� �� ������ � �� ����������� �� ����� ���������� �� ��� �� ���� ����� ����� �� a 1 �� a 2 � �� �� �� ���������� �� ������� ��� �� ��������� ���� 1 x 2 + 0x + 1� ����������� �� ���������� �� ��������� 1 x 2 + 0x + 1 �� ������� ���� x 2 + 1� �� �� ����� ������ �� ������ ��������� ��� ������� �� �� ������� �������� �� ������������ 2 x 2 + 3x − 1 � �� �������� �� a (^) k x k^ + · · · + a 1 x + a 0 �� �� ��������� � a (^) i = 0� �������� �� ��������� ���� ������� ��� �� ����� � a (^) k x k^ + · · · + a (^) i+1 x i+1^ + ai− 1 x i−^1 + · · · + a 0 ������ ��� �� ��������� �� ������� ��� 0 �� ������� �� ������ � �� ��������� ��� ����� ���� �� ���������� ��� �������� �� ��������� 5+2x+3x 2 � ���������� �������� 3 x 2 + 2x + 5� �� �� ��� ����� �� ��������� �� ������ ����� ����������� �� �� ��������� �����
�� ���� p(x) = a (^) m x m^ + · · · + a 1 x + a 0 � q(x) = b (^) n x n^ + · · · + b 1 x + b 0 ��� ��������� �� A[x]� � ���������� ��� m ≤ n� �� ����� �� ���� �� ��� ���������� p(x) � q(x) ���� �� ���������
p(x) + q(x) = bn x n^ + · · · + bm+1 x (^) m+1 + (a (^) m + b (^) m )x m^ + · · · + (a 1 + b 1 )x + (a 0 + b 0 )
�� ��� k ∈ N� p(x) = a (^) m x m^ + · · · + a 1 x + a 0 , q(x) = b (^) k x k^ ∈ A[x] ��� k = 0 �������� q(x) = b 0 �� �� ����� �� �������� �� p(x) � q(x) ���� �� ����������
p(x) · q(x) = a (^) n b (^) k x k+n^ + · · · + a 1 b (^) k x k+1^ + a 0 b (^) k x k
���� ����� p(x) = a (^) m x m^ + · · · + a 1 x + a 0 � q(x) = bn x n^ + · · · + b 1 x + b 0 � �� ����� �� �������� �� p(x) � q(x) ����
p(x) · q(x) = p(x) · qn (x) + · · · + p(x) · q 1 (x) + p(x) · q 0 (x)
����� q (^) k (x) = bk x k^ �
������� ������ ���� p(x) = 3x 3 +5x+2 � q(x) = x 4 +2x 3 +3x 2 +5x+8 ��� ���������� ��� ����������� �� Z 11 � ��������� � gr(p(x)) = 3 � gr(q(x)) = 4� � �� ���������� �� ����� 2 �� p(x) �� 0 � �������� ��� �� ���������� �� ����� 2 �� q(x) �� 3 � �� ���������� �� ����� 5 �� q(x) �� ����� � �� ���������� ����� �� p(x) �� 3 � �������� ��� �� ���������� ����� �� q(x) �� 1 � ��� ������ q(x) �� ������� �������� ��� p(x) �� �� ��� � ��� �������� �������������� �� p(x) � q(x) ��� 2 � 8 ���������������� � ������� �� ��� ��� ���������� ��� �����������
����������� ������ ���� p(x), q(x) ∈ A[x]� ���������
gr(p(x) + q(x)) ≤ m´ax{gr(p(x), q(x)}
gr(p(x) · q(x)) ≤ gr(p(x)) + gr(q(x))
��������� ��� ��� A �� ������� p(x) = a (^) n x n^ + · · · + a 1 x + a 0 ∈ A[x] � a ∈ A� �� ����� �� ���������� �� p(x) �� �� ����� a� Eva (p(x)) ���� �� �������� �� A�
Ev (^) a (p(x)) = a (^) n a n^ + · · · + a 1 a + a (^0)
����������� ������ ���� A �� ������ � p 1 (x), p 2 (x) ∈ A[x]
�� �� q(x) = p 1 (x) + p 2 (x) �������� q(a) = p 1 (a) + p 2 (a) ��� ������ Eva (p 1 (x) + p 2 (x)) = Ev (^) a (p 1 (x)) + Ev (^) a (p 2 (x))�
�� �� q(x) = p 1 (x) · p 2 (x) �������� q(a) = p 1 (a) · p 2 (a) ��� ������ Eva (p 1 (x) · p 2 (x)) = Eva (p 1 (x)) · Ev (^) a (p 2 (x))�
������� ������
�� �� ��������� x 3 + 3x 2 + 2x + 2 ∈ Z 5 [x] ��������� �� ���������� Z 5 → Z 5 ����������
0 �→ 2 1 �→ 3 2 �→ 1 3 �→ 2 4 �→ 2
�� �� ��������� x 2 + x + 1 ∈ Z 2 [x] ��������� �� ����������
0 �→ 1 1 �→ 1
�� ������ �� ���������� ��������� 1 �
���� ������ ����� ������� � ������ ����� ��������
��������� ��� ���� p(x), q(x) ∈ A[x]� �� ���� ��� p(x) ������ � q(x)� � ��� q(x) �� �������� �� p(x)� � ������������ p(x)|q(x)� �� ������ c(x) ∈ A[x] ���������� ��� q(x) = p(x) · c(x)�
������� ������
�� �� Z 2 [x] �� ������� ��� (x + 1)|(x 2 + 1)� �� ��� x 2 + 1 = (x + 1)(x + 1)�
�� �� Z 3 [x] �� ������� ��� (x + 1) �|(x^2 + 1)� ���� �� x 2 + 1 = (x + 1) · c(x)� �������� gr(c(x)) = 1� ����� c(x) = c 1 x + c 0 � �������� ������� ��� c 0 = 1� c 0 + c 1 = 0 � c 1 = 1� �� ���� �� ����������
�� �� Z 4 [x] �� ������� ��� (x+2)|(2x^2 +x+2)� ���� 2 x 2 +x+2 = (x+2)(2x+1) � (2x^2 +x+2)|(x+2) ���� x + 2 = (2x 2 + x + 2)(2x + 1)�
�� ���� ��������� p(x) ∈ A[x] �� ������� ��� 1 |p(x) � p(x)| 0 �
����������� ������ ��� K �� ������ � p(x), q(x), r(x) ∈ K[x]� ���������
�� p(x)|p(x)�
�� �� p(x)|q(x) � q(x)|p(x)� �������� ������ a ∈ K ∗^ ��� ��� q(x) = a · p(x)�
�� �� p(x)|q(x) � q(x)|r(x)� �������� p(x)|r(x)�
�� �� p(x)|q(x) � p(x)|r(x)� �������� p(x)|(q(x) + r(x))�
�� �� p(x)|q(x)� �������� p(x)|q(x) · r(x) ���� ��������� r(x) ∈ K[x]�
q(x) �= 0� �������� ������� ������ ���������� c(x), r(x) ∈ K[x] ����� ����
p(x) = q(x) · c(x) + r(x)
r(x) = 0 � gr(r(x)) < gr(q(x))�
����� �� ������ A� �� ���� ��� �� �� ������� �������� �� �� �� ������� ������� ��� ���������� ������ g : A ∗^ → N ������������� ��� ������������
g(ab) ≥ g(a) ���� b �= 0 ���� ���� a, b ∈ A� b �= 0� ������� q, r ∈ A ����� ��� a = bq + r � g(r) < g(a) � r = 0.
�� ������ �� ������� �������� ����� � ��� �� ������ �� �� ��� ������� ������� ��� ��������� ��� ������ ������� �������� ��� Z � K[x] ��� �������� ��������� ���� ��������� ����� ���� �� �� ���� �� Z �� ����� ��������� � �� �� ���� �� K[x] �� ������� �� �� ������� �������� �� ������� �� ������� �� ������� �� ������� ����� ��� ������ �� ������� �� ������������� ������ ����
��������� ��� ���� p(x), q(x) ∈ K[x]� ��� q(x) �= 0� �� ������ ��� ���������� p(x) ��� q(x) � p(x) ��� q(x) ���� �� ����� � �� �������� �� ������� p(x) ����� q(x)�
������ p(x) ��� q(x) = 0� ����������� ��� p q((xx)) �� ��������� p(x) ��� q(x)�
������� ������
�� �� Z 3 [x]� �� ������� ����
x 5 + x 4 + 2x 3 + x 2 + x + 1 ��� x 2 + 2x + 1 = 2 x 5 + x 4 + 2x 3 + x 2 + x + 1 ��� x 2 + 2x + 1 = x 3 + 2x 2 + 2�
�� �� Z 5 [x]�
x 5 + x 4 + 2x 3 + x 2 + x + 1 ��� x 2 + 2x + 1 = 6x x 5 + x 4 + 2x 3 + x 2 + x + 1 ��� x 2 + 2x + 1 = x 3 + 4x 2 + 3x + 1�
��������� ��� ��� p(x) ∈ K[x] � a ∈ K� �� ���� ��� a �� ��� ���� �� p(x) �� p(a) = 0�
������� ������ �� ��������� p(x) = x 5 + x 4 + x 3 + 2x 2 + 1 ∈ Z 3 [x] ����� � x = 1 ��� ����� ���� p(1) = 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 0� ��� �������� 0 �� �� ���� ���� p(0) = 1 � 2 ������� �� ���� ���� p(2) = 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 · 2 2 + 1 = 2 + 1 + 2 + 2 + 1 = 2�
x − a �� �� ��������� �� ������� p(x) �� �� ����� a� ����� �� ���� �����
p(x) ��� x − a = p(a)
��� (x − a)|p(x)�
����� �� ���������� ��� ���������� ��� ����������� �� �� ������ ����������� ���������� ���� �������� Z� � Z (^) n ��� n �� ������ ����������� ��� ���������� ���������� ��� ���������� ��������
����������� ������ ��� p(x) ∈ K[x]� a ∈ K� ���������� ��� p(x) = an x n^ + · · · + a 1 x + a 0 � ��� p(x) = (b (^) n− 1 x n−^1 + · · · + b 1 x + b 0 )(x − a) + r� ���������
b (^) n− 1 = a (^) n
b (^) i− 1 = a (^) i + b (^) i a ���� i = 0, 1 , · · · , n − 1
r = a 0 + b 0 a
a (^) n a (^) n− 1 · · · a (^) i+1 a (^) i · · · a 1 a (^0) a b (^) n− 1 b (^) n− 2 · · · b (^) i b (^) i− 1 · · · b 0 r
a (^) n a (^) n− 1 · · · a (^) i+1 a (^) i · · · a 1 a (^0) a b (^) i a b (^) n− 1 = a (^) n b (^) n− 2 · · · b (^) i b (^) i− 1 = a (^) i + b (^) i a · · · b 0 r
������� ������ ����� � ������ �� �������� � �� ����� �� �� �������� �� x 5 + x 4 + x 3 + 2x 2 + 1 ����� x + 9 = x − 2 �� Z 11 [x]� ���� ���� ���������� � ��������� �� �����
1 1 1 2 0 1 2
������������
p(x) d(x) ,^
q(x) d(x)
���� ������ ���� p(x), q(x) ∈ K[x]� ��������� ���� ��������� c(x) ∈ K[x] �� ����� ��� mcd(p(x), q(x)) = mcd(q(x), p(x) − c(x)q(x))�
��������� ������ ���� p(x), q(x) ∈ K[x]� ��� q(x) �= 0� �������� mcd(p(x), q(x)) = mcd(q(x), p(x) ��� q(x))�
p(x) = q(x) · c 1 (x) + r 1 (x) q(x) = r 1 (x) · c 2 (x) + r 2 (x) r 1 (x) = r 2 (x) · c 3 (x) + r 3 (x)
.............................. r (^) i− 2 (x) = r (^) i− 1 (x) · c (^) i (x) + r (^) i (x) ................................. r (^) k− 2 (x) = r (^) k− 1 (x) · c (^) k (x) + r (^) k (x) r (^) k− 1 (x) = r (^) k (x) · c (^) k+1 (x) + 0
������� ������ ����� � �������� �� Z 5 [x] �� ������ ����� ������� �� x 3 + 4x + 3 � x 3 + x 2 + 1�
x 3 + 4x + 3 = (x 3 + x 2 + 1) 1 + (4x^2 + 4x + 2) x 3 + x 2 + 1 = (4x 2 + 4x + 2) (4x) + 2 x + 1 4 x 2 + 4x + 2 = (2x + 1) (2x + 1) + 1
����� �� ������ ����� ������� �� x 3 − x + 3 � x 3 + x 2 + 1 �� 1 �
p(x) q(x) a x 3 + 4x + 3 x 3 + x 2 + 1 x 3 + x 2 + 1 4 x 2 + 4x + 2 4 x 2 + 4x + 2 2 x + 1 2 x + 1 1
������� ������ ���� p(x), q(x) ∈ K[x]� � ��� d(x) = mcd(p(x), q(x))� �������� ������� u(x), v(x) ∈ K[x] ����� ��� d(x) = p(x) · u(x) + q(x) · v(x)
a := c.l.(p(x)) −^1
���� ������������� �� ���������� �� Z (^) p [x]
��������� ��� ��� p(x) ∈ K[x] �� ���������� �� ���� ��� p(x) �� ����������� �� ��� ������ ��������� ��� ��� ���������� ���������� ��� ������ � ��� ���������� �� �� ����� a · p(x) : a ∈ K ∗^ � �� p(x) �� �� ������������ �� ���� ��� �� ����������
������� ������
�� ��������� ��������� �� ����� 1 �� K[x] �� ������������
�� �� ��������� x 3 + x + 1 ∈ Z 2 [x] �� ������������ �� ����� ���������� ��� �� ����������� �������� ������� ����� �� ������� �� ����� ����� � ����� ��� 32 � ��� ������ ���������� �� ���� ����������� ��� x � x + 1� � ������� �� ����� ������ � x 3 + x + 1�
�� ���� p(x) = ax 2 + bx + c ∈ R[x] �������� p(x) �� ����������� ��� � ���� ��� b^2 − 4 ac < 0 �
����������� ������ ��� p(x) ∈ K[x] �� ���������� ���������
p(x) �� ����������� ⇐⇒
p(x)|q 1 (x) · q 2 (x) =⇒ p(x)|q 1 (x) � p(x)|q 2 (x)
������� ������ ��� K �� ������� � p(x) ∈ K[x] �� ���������� �������� p(x) �� ������� �� ����� ����� ���� p(x) = ap 1 (x)p 2 (x) · · · p (^) k (x)
����� a ∈ K � pi (x) �� �� ��������� ������ � ������������
������� ������ �� ��� p(x) = x 3 + x + 1 ∈ Z 2 [x]� �������� p(0) = 1 � p(1) = 1� ���� Z 2 = { 0 , 1 }� �� ��������� p(x) �� ����� ������� ��� ����� ������� ��� �� ��������� �� ����� ��������� �� ����� �� ���� ��� p(x) ����� ����� � ���� �� ��������� ���� ����������� ��� �� ��������� �� ������������
�� ��� ����� p(x) = x^4 + x 2 + 1 ∈ Z 2 [x]� �� ����� ��� ������ ������� ��������� ��� ���� ��������� �� ����� ������ ����� p(0) = p(1) = 1�� ��� �������� ���� �� �� ��������� ���� �������� ��� �� ��������� ��� ����������� ��� ������ ���� ��������� �� ���������� ���� x 4 + x 2 + 1 = (x 2 + x + 1) 2 ��
�� ��� ����� p(x) = x 3 + x + 1 ∈ Z 3 [x]� ����� �� ����� ��� p(1) = 0� ����� x = 1 �� ��� ����� �������� � ������� ��� x − 1 � 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 2 0
����� p(x) = (x + 2) · (x 2 + x + 2)� ����� ����������� ���������� ��� x 2 + x + 2 �� ����� ������� � ��� ��� �� ����� � ���������� ��� �� ������������
�� ��� p(x) = x 4 + 3x 3 + 2x 2 + 6x + 5 ∈ Z 7 [x]� ����� � ��������� ��� ������� ���� ���� ����� � �� �������� ��� ��� ��������� ��������� �� Z 7 � ����������� p(0) = 5 �= 0�
����� x = 3 �� ��� ����� � p(x) = (x − 3) · (x 3 + 6x 2 + 6x + 3)� ����� �������� �������� ������� ���� �� ������� ��� �� ��������� x 3 + 6x 2 + 6x + 3� ��� x = 0� x = 1 � x = 2 �� �� ������� ��� ������� ���� �� ����� ����� ������
1 6 6 3 3 3 6 1 1 2 5 4
� ����� ��� x = 5 �� ���� ����� ������� �������� ��� p(x) = (x − 3) · (x − 5) · (x^2 + 4x + 5)� ����������� ����� ��� x 2 + 4x + 5� 1 4 5 5 5 3 1 2 1
� ��� ������ p(x) �� ����� ��� ������� ���������� �������� �� ��������� ������������� ��� ��������� p(x)�
p(x) = (x + 4) · (x + 2) · (x 2 + 4x + 5).
x 2 + 2 x 2 + 3 x 2 + x + 1 x 2 + x + 2 x 2 + 2x + 3
x 2 + 2x + 4 x 2 + 3x + 3 x 2 + 3x + 4 x 2 + 4x + 1 x 2 + 4x + 2.
x x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6.
x 2 + 1 x 2 + 2 x 2 + 4 x 2 + x + 3 x 2 + x + 4 x 2 + x + 6 x 2 + 2x + 2
x 2 + 2x + 3 x 2 + 2x + 5 x 2 + 3x + 1 x 2 + 3x + 5 x 2 + 3x + 6 x 2 + 4x + 1 x 2 + 4x + 5 x 2 + 4x + 6 x 2 + 5x + 2 x 2 + 5x + 3 x 2 + 5x + 5 x 2 + 6x + 3 x 2 + 6x + 4 x 2 + 6x + 6.
������� ������
�� ��� q(x) = x 5 + x 4 + 1 ∈ Z 2 [x]� �� ������ ������ �������� ��������� �� ����� �� ����� �� ����������� � ������ ������� �� ���� ����� ������ ��� q(0) = q(1) = 1� �� ��������� �� ����� ������ ������� �� ����� 1 � ����������� �������� ��������� �� ����� �� �� ����� ����������� �� ����� � �� x 2 + x + 1� �������� � ������� �������� q(x) ��� x 2 + x + 1� � ��� ����� ��� x^5 + x 4 + 1 = (x 2 + x + 1)(x 3 + x + 1)� ��� ��� ���������� ��� �������� ��� ������������ ����� �� ������ ��������
�� ��� q(x) = x 7 + x 4 + x 3 + x + 1 ∈ Z 2 [x]� ���������
��������� �� x = 0 � x = 1� �� ����� ����� ��� ���� 1 � ����� q(x) �� ����� ��������� �� ����� 1 � ��������� ��� x 2 + x + 1� � ��� ����� q(x) = (x 2 + x + 1)(x 5 + x 4 + x + 1) + x� ��� ����� �� ����� ��������� �� ����� 2 � ��������� ��� x 3 + x + 1 � x 3 + x 2 + 1� �� �� ������ ���� ��� ����� q(x) = (x 3 + x + 1)(x^4 + x 2 ) + (x 2 + x + 1) � �� �� ������� q(x) = (x 3 + x 2 + 1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1)� ������ ��� x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 �� ����� ��������� �� ����� 1 � ����� 2 ��� ��� �� �������� ������ ������� ��������� �� q(x) ��������� ��� x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 �� ������������
�� ������������� �� q(x) ���� �������� �� ������������ ��
x 7 + x 4 + x 3 + x + 1 = (x 3 + x 2 + 1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1).
�� ��� p(x) = x 7 + 2x^3 + x 2 + 2 ∈ Z 3 [x]� ����� � ���������� ���� ��������� ���� �������� �� ������� �������
�������� ��� ��������� �� ����� �� ���� ����� ���������� ��� ���������� ����� �� ��������� �� �������
1 0 0 0 2 1 0 2 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 2 0 1 1 2 0 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1
������������ �� �������
����� ��� ��� �� ������ ��� ����� �� ������ (x − 1) = (x + 2)� ��� �� ��� ������� ��� q(x) = (x + 2) 2 (x 5 + 2x 4 + x 2 + x + 2)� ����������� �� �� ������ ��������� ����� � x = 2 ���� �����
1 2 0 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 0 2 2 0 1 0 1 0 2 0 2
�� ������ �� ��������� x 5 + 2x 4 + x 2 + x + 2 ����� � x = 2 ���� ��� ���� ������� ������� ����� �� �������������
q(x) = (x + 2) 2 (x + 1)(x 4 + x 3 + 2x 2 + 2x + 2)
� �� ����� ��������� ��� ��� ��������� �� ����� ���� �������� ����� ��� ��������� ������������ �� ����� �� ���� �� �� ������� ��� �� ��������� x 4 + x 3 + 2x 2 + 2x + 2� ���� ��� ������ ������������ �� ����� � �� Z 3 [x] ��� x 2 + 1� x^2 + x + 2 � x 2 + 2x + 2� ���������� ��� ���������������� �����������
x 4 + x 3 + 2x 2 + 2x + 2 = (x 2 + 1) · (x 2 + x + 1) + x + 1 x 4 + x 3 + 2x 2 + 2x + 2 = (x 2 + x + 2) · (x 2 ) + 2 x + 2 x 4 + x 3 + 2x 2 + 2x + 2 = (x 2 + 2x + 2) · (x 2 + 2x + 2) + 1
� ����� ���� ��� ������ ���� ���������������� x + 1� 2 x + 2 � 1 � ��� ������ �� ��������� x 4 + x 3 + 2x 2 + 2x + 2 �� ����� ��������� �� ����� �� ���� �� ��������� ����� ����� ������� � �� ����� ��������� �� ����� � �� �� ����� � �� ������� ������
�� ������������� �� p(x) ���� �������� �� ������������ ���
x 7 + 2x 3 + x 2 + 2 = (x + 1) · (x + 2) 2 · x 4 + x 3 + 2x 2 + 2x + 2
���� ������� ��������� �� ����������� ������� ������
��������� ��� ��� p �� ������ ����� � a(x), b(x), m(x) ∈ Z (^) p [x]� �� ���� ��� a(x) �� ���������� ��� b(x) ������ m(x)� � �� ������� a(x) ≡ b(x)(��� m(x)) �� m(x)|(b(x) − a(x))� �� ������
a(x) ≡ b(x)(��� m(x)) �� ������ c(x) ∈ Zp [x] ��� ��� b(x) − a(x) = c(x)m(x).
[1] = { 1 , x 2 + x, x 3 + x 2 + x + 1, x 3 , x 4 + x 3 + x 2 + 1, x 4 + x 3 + x, x 4 + x + 1, x 4 + x 2 , · · · }� [x] = { 0 , x 2 + 1, x 3 + x 2 , x 3 + x + 1, x 4 + x 3 + x 2 + x, x 4 + x 3 + 1, x 4 , x 4 + x 2 + x + 1, · · · }� [x + 1] = { 0 , x 2 , x 3 + x 2 + 1, x 3 + x, x 4 + x 3 + x 2 + x + 1, x 4 + x 3 , x 4 + 1, x 4 + x 2 + x, · · · }�
� ����� ����� ��� �������� �� �� ������ ����� �� ������ Z 2 [x] (^) x 2 +1 �� ����� ��� x 3 ∈ [x] �� [x 3 ] = [x]�� �������� ��� �� �� ������� ����� �� ������ Z 2 [x] (^) x 2 +x+1 �� ����� ��� x 3 ∈ [1]�
�� �� �������� Z 2 [x] (^) x 3 +x 2 +x+1 ����� ���� ���������� �������� ��� Z 3 [x] (^) x 2 +1 ����� ������ ������������ �� ����� ������
���� ������ ���� a(x), b(x), c(x), d(x), m(x) ∈ Zp [x]� ���������
a(x) ≡ c(x)(��� m(x)) b(x) ≡ d(x)(��� m(x))
=⇒ a(x) + b(x) ≡ c(x) + d(x)(��� m(x)).
a(x) ≡ c(x)(��� m(x)) b(x) ≡ d(x)(��� m(x))
=⇒ a(x)b(x) ≡ c(x)d(x)(��� m(x)).
��������� ��� ���� a(x), b(x) ∈ Z (^) p [x] � m(x) ∈ Z (^) p [x] ������ � �� ���������� �� ������ �� Z (^) p [x] (^) m(x) ��� ������������
[a(x)] + [b(x)] = [a(x) + b(x)], [a(x)][b(x)] = [a(x)b(x)].
������� ������
�� ���������� ��� ������� ���������� �� Z 3 [x] (^) x 2 +1 � [x + 2] + [x + 1] = [2x]. [x + 2][x + 1] = [x 2 + 2] = [1]. ������ ��� [x+2] = [x 2 +x] � [x+1] = [2x^2 +x] �������� ����� ��������� ��� ����������� ���������� [x 2 + x] + [2x 2 + x] = [3x^2 + 2x] = [2x]. [x 2 + x][2x 2 + x] = [2x 4 + x 2 ] = [1]� �� ��� 2 x 4 + x 2 = (x 2 + 1)(2x 2 + 2) + 1� � ��� ���������� ���������� ���� �� ����� ��� �� ���� ������
�� ����� � ������� ����� �� ��� ������ �� ������������ ��� ����� �������� �� �� ������� ������ �� ��� �������� ���������� ��� ������ �� ������������ ��� ������������� �� �������� Z 2 [x] (^) x 2 +1 � ��� ��� ������������ �� �������� Z 2 [x] (^) x 2 +x+1 � ����� � ����� �� �������� ���������� �� [1] ��� �� �������� ���������� �� [x]� �� ��������� �� � ��� �� �������� �� [x + 1]� �� ����� � ����� ������ ������
������� �� ����� � ����� ��� ������ �� Z 2 [x] (^) x 2 +1 � 1 + x = x + 1 ∈ [x + 1] (x 3 + x 2 + x) + (x 2 + x + 1) = x 3 + 1 ∈ [x + 1] x 2 + (x 4 + x 3 + x 2 ) = x 4 + x 3 ∈ [x + 1] (x 4 + x 3 + x) + (x 4 + x 3 + x 2 ) = x 2 + x ∈ [x + 1]
� [x]� ����� �� ������� �� Z 2 [x] (^) x 2 +x+1 � (x 2 + x) + (x 2 + 1) = x + 1 ∈ [x + 1] x^3 + (x 4 + x 3 + 1) = x 4 + 1 ∈ [x + 1] (x 4 + x 3 + x) + (x 3 + x + 1) = x 4 + 1 ∈ [x + 1] (x 4 + x 2 ) + x 4 = x 2 ∈ [x + 1]
Z (^) p [x] (^) m(x) = {p(α) : p(x) ∈ Z (^) p [x]; m(α) = 0}.
������� ������
�� �� �� �������� Z 2 [x] (^) x 3 +x+1 ����� � ����������� [x 2 + x + 1] � [x 2 + 1]� ������� �������� �� ��� �������
[x 2 + x + 1][x 2 + 1] = [x 4 + x 3 + x + 1]� ��������� x 4 + x 3 + x + 1 ����� x 3 + x + 1� x 4 + x 3 + x + 1 = (x 3 + x + 1)(x + 1) + x^2 + x� ��� ����� [x 2 + x + 1][x 2 + 1] = [x 2 + x]�
������ ��� α 3 + α + 1 = 0 ��������� ��� α 3 = α + 1� ����� α 4 = α 2 + α� ��� ����� (α 2 + α + 1)(α 2 + 1) = α 4 + α 3 + α + 1 = (α 2 + α) + (α + 1) + α + 1 = α 2 + α�
�� ��� ��� ����� �� ������� �� ����� ����������
�� Z 2 [x] (^) x 2 +1 = { 0 , 1 , α, α + 1 : α 2 + 1 = 0}� � �� �����������
Z 2 [x] (^) x 2 +1 = { 0 , 1 , α, α + 1 : α 2 = 1}.
����������� ������ ��� m(x) ∈ Z (^) p [x] ������ � �� ���������� ��� ����������� ���� � �������� �� Z (^) p [x] (^) m(x) �������� ��� ���������� ����������� ����� ����� � ������� � [x] ��� x��
�� p(x) + (q(x) + r(x)) = (p(x) + q(x)) + r(x)
��� p(x) + q(x) = q(x) + p(x)
���� p(x) + 0 = p(x)
��� ���� ���� p(x) ∈ Z (^) p [x] (^) m(x) ������ q(x) ∈ Z (^) p [x] (^) m(x) ��� ��� p(x) + q(x) = 0�
�� p(x)(q(x)r(x)) = (p(x)q(x))r(x)
��� p(x)q(x) = q(x)p(x)
���� p(x) · 1 = p(x)
����� p(x)(q(x) + r(x)) = p(x)q(x) + p(x)r(x)
������� ������
�� ������������ �� ������ Z 2 [x] (^) x 3 +1 � ����� � �������� ��� ������ �� ����� � ����������� �� ����� ������� ����� �� ����� ���������� ��� ���������
Z 2 [x] (^) x 3 +1 = { 0 , 1 , α, α + 1, α 2 , α 2 + 1, α 2 + α, α 2 + α + 1}