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Algebra Lineal y Estructuras Matem´´ aticas

J. C. Rosales y P. A. Garc´ıa S´anchez

Departamento de Algebra, Universidad de Granada´

• Cap´ıtulo 1. Conjuntos, relaciones y aplicaciones
  • 1. Conjuntos
  • 2. Operaciones con conjuntos
  • 3. Relaciones de equivalencia
  • 4. Relaciones de orden
  • 5. Aplicaciones entre conjuntos
  • 6. Ejercicios
• Cap´ıtulo 2. Aritm´etica entera y modular
  • 1. Los n´umeros enteros
  • 2. Ecuaciones diof´anticas lineales
  • 3. Ecuaciones en congruencias de grado uno
  • 4. El anillo de los enteros m´odulo un entero positivo
  • 5. Sistemas de numeraci´on
  • 6. Ejercicios
• Cap´ıtulo 3. El anillo de los polinomios sobre un cuerpo
  • 1. Divisibilidad
  • 2. Cuerpos finitos
  • 3. Ejercicios
• Cap´ıtulo 4. Matrices con coeficientes en un cuerpo
  • 1. Matrices
  • 2. Determinantes
  • 3. Ejercicios
• Cap´ıtulo 5. Espacios vectoriales y aplicaciones lineales
  • 1. Espacios y subespacios
  • 2. Bases
  • 3. Ecuaciones del cambio de base
  • 4. Ecuaciones param´etricas de un subespacio vectorial
  • 5. Aplicaciones lineales
  • 6. Ecuaciones de una aplicaci´on lineal
  • 7. Espacio vectorial cociente
• Cap´ıtulo 6. Sistemas de ecuaciones lineales
  • 1. Rango de una matriz
  • 2. Resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales
  • 3. Ecuaciones cartesianas o impl´ıcitas de un subespacio vectorial
  • 4. Ejercicios
• Cap´ıtulo 7. Diagonalizaci´on de matrices
  • 1. Matrices diagonalizables
       • ´Indice general
    • 2. M´etodo para diagonalizar una matriz
    • 3. Ejercicios
  • Cap´ıtulo 8. Combinatoria
    • 1. Principio de inclusi´on-exclusi´on para dos conjuntos
    • 2. Principio de inclusi´on-exclusi´on general
    • 3. Principio del complementario
    • 4. Principio del producto
    • 5. Principio de las cajas (o de Dirichlet)
    • 6. Variaciones simples
    • 7. Variaciones con repetici´on
    • 8. Permutaciones simples
    • 9. Permutaciones con repetici´on
    • 10. Combinaciones simples
    • 11. Combinaciones con repetici´on
    • 12. Ejercicios
• ´Indice alfab´etico

Cap´ıtulo 1

Conjuntos, relaciones y aplicaciones

1. Conjuntos La idea de conjunto es una de las m´as significativas en Matem´aticas. La mayor parte de los conceptos matem´aticos est´an construidos a partir de conjuntos. (Existe una aproximaci´on funcional basada en el λ-c´alculo y la L´ogica Combinatoria, que hoy en d´ıa han tenido una papel fundamental en la programaci´on funcional.) Podr´ıamos decir que un conjunto es simplemente una colecci´on de objetos a los que llamaremos elementos del conjunto. Esta definici´on nos bastar´a para los contenidos de este curso, pero desde el punto de vista matem´atico es imprecisa y da lugar r´apidamente a paradojas. Desde comienzos del siglo XX esta definici´on dej´o de utilizarse por los problemas que acarrea. Por desgracia, dar una definici´on precisa est´a bastante lejos de los objetivos de este gui´on.

Cuando x sea un elemento de un conjunto A, escribiremos x ∈ A, que se lee “x pertenece a A”. Diremos que un conjunto A es subconjunto del conjunto B, y lo denotaremos por A ⊆ B, si todo elemento de A pertenece a B. Un conjunto A es igual que otro conjunto B si tienen los mismos elementos, a saber, si A ⊆ B y B ⊆ A. Cuando esto ocurre, escribiremos A = B. Admitiremos la existencia de un conjunto sin elementos, al que denotemos por ∅ y llama- remos conjunto vac´ıo. El conjunto vac´ıo es subconjunto de cualquier conjunto.

2. Operaciones con conjuntos Sean A y B conjuntos.

1. La intersecci´on de A y B es el conjunto formado por los elementos comunes de A y de B, y lo denotamos as´ı A ∩ B = {x tales que x ∈ A y x ∈ B}.

2. La uni´on de A y B es el conjunto formado al tomar todos los elementos de A y los de B.

A ∪ B = {x tales que x ∈ A o x ∈ B}.

3. La diferencia de A y B es el conjunto que tiene por elementos los elementos de A que no est´an en B. A \ B = {x ∈ A tales que x 6 ∈ B} (siempre que tachemos un s´ımbolo, estamos indicando que no se cumple la condici´on sin tachar; as´ı x 6 ∈ B significa que x no pertenece a B, A 6 = B significa que A es distinto de B, etc´etera).
4. P(A) = {X tales que X ⊆ A} es el conjunto de partes de A o conjunto potencia de A.
5. El producto cartesiano de A y B es el conjunto de parejas cuya primera componente est´a en A y la segunda en B. Esto se escribe de la siguiente forma. A × B = {(a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B}. Si en vez de dos conjuntos tenemos A 1 ,... , An, A 1 × · · · × An = {(a 1 ,... , an) tales que a 1 ∈ A 1 ,... , an ∈ An}, 5

2. OPERACIONES CON CONJUNTOS 7

( %o14) {{}, { 3 }, {3, 4}, {3, 4, 5}, {3, 5}, { 4 }, {4, 5}, { 5 }}

N´otese que el conjunto vac´ıo se denota por {}.

(%i15) is(cardinality(powerset(A))=2^(cardinality(A)));

( %o15) true

(%i16) cartesian_product(A,B);

( %o16) {[1, 3], [1, 4], [1, 5], [2, 3], [2, 4], [2, 5], [3, 3], [3, 4], [3, 5], [4, 3], [4, 4], [4, 5]}

Podemos adem´as elegir los elementos de A que son impares.

(%i17) subset(A,oddp);

( %o17) {1, 3}

O bien las sumas de los pares del producto cartesiano con A y B.

(%i18) makeset(a+b, [a,b], cartesian_product(A,B));

( %o18) {4, 5, 6, 7, 8, 9}

Maxima 2: Pongamos un ejemplo de una funci´on cuyos argumentos sean conjuntos. Podemos definir la diferencia sim´etrica de dos conjuntos A y B como (A \ B) ∪ (B \ A).

(%i1) A:{1,2,3,4};

( %o1) {1, 2, 3, 4}

(%i2) B:set(3,4,5);

( %o2) {3, 4, 5}

(%i3) dif_sim(X,Y):=union(setdifference(X,Y),setdifference(Y,X))$

Para definir funciones usamos := en vez de :. El “$” al final de una l´ınea inhibe la salida.

(%i4) dif_sim(A,B);

( %o4) {1, 2, 5}

Maxima 3: Podemos definir conjuntos utilizando listas y viceversa, lo cual hace que podamos usar las funciones espec´ıficas para listas en conjuntos. Adem´as se pueden definir subconjuntos utilizando funciones booleanas, tal y como vemos a continuaci´on.

(%i1) l:makelist(i,i,1,100)$ A:setify(l)$

Crea un conjunto con los los enteros del uno al cien.

(%i3) B:subset(A,primep);

( %o3) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}

Escojo aquellos que son primos.

(%i4) C:subset(B,lambda([x],is(x>80)));

( %o4) {83, 89, 97}

De entre ellos me quedo con los mayores de 80, que equivale a hacer lo siguiente (ahorr´andome la definici´on de f, usando para ello lambda, que define de forma an´onima una funci´on).

(%i5) f(x):=is(x>80)$

(%i6) D:subset(B,f);

3. RELACIONES DE EQUIVALENCIA 8

( %o6) {83, 89, 97}

3. Relaciones de equivalencia Sea A un conjunto. Una relaci´on binaria en A es un subconjunto R de A×A. Cuando (x, y) ∈ R escribimos x R y y decimos que x est´a relacionado (mediante R) con y. Una relaci´on binaria R sobre un conjunto A es una relaci´on de equivalencia si verifica las siguientes propiedades.

1. Para todo a ∈ A, a R a (R es reflexiva).
2. Dados a, b ∈ A, si a R b, entonces b R a (R es sim´etrica).
3. Para cualesquiera a, b, c ∈ A, si a R b y b R c, entonces a R c (R es transitiva). Si R es una relaci´on de equivalencia sobre un conjunto A, y a es un elemento de A, entonces la clase de a es el conjunto de todos los elementos de A que est´an relacionados con a, [a] = {x ∈ A tales que x R a}. Se define el conjunto cociente de A por R como el conjunto de todas las clases de equivalencia de elementos de A, y se denota por A/R. As´ı A R

= {[a] tales que a ∈ A}.

Para una relaci´on de equivalencia R en un conjunto A se tiene que

1. a R b si y s´olo si [a] = [b],
2. a 6 R b si y s´olo si [a] ∩ [b] = ∅.

Ejercicio 1: En el conjunto Z = {0, 1, −1, 2, −2,.. .} de los n´umeros enteros, definimos la siguiente relaci´on de equivalencia. x R y si x − y es m´ultiplo de 5. a) Demuestra que R es una relaci´on de equivalencia. b) Calcula [ 2 ]. c) Describe el conjunto cociente Z R. d) ¿Qu´e cardinal tiene Z R?

Ejercicio 2: En el conjunto P({1, 2, 3}), definimos la siguiente relaci´on binaria. A ∼ B si #A = #B. a) Demuestra que ∼ es una relaci´on de equivalencia. b) Calcula [{1, 2}].

c) Describe el conjunto cociente P({1,2,3 ∼ }). d) ¿Cu´antos elementos tiene dicho conjunto cociente?

Dado un conjunto X, una partici´on de X es una familia de subconjuntos de X, {Ai}i∈I (= {Ai tales que i ∈ I}), de forma que

1. Ai 6 = ∅ para todo i ∈ I,
2. Ai ∩ Aj = ∅ para cualesquiera i, j ∈ I con i 6 = j,
3. X =

i∈I Ai^ (la uni´on de todos los elementos de la familia^ {Ai}i∈I). Se puede comprobar f´acilmente que el hecho de ser R una relaci´on de equivalencia sobre A hace que A/R sea una partici´on de A.

4. RELACIONES DE ORDEN 10

Demuestra que ≤p es una relaci´on de orden (orden producto cartesiano), pero no es un orden total para n ≥ 2.

Ejercicio 6: En Nn^ definimos la siguiente relaci´on binaria (a 1 ,... , an) lex (b 1 ,... , bn) si la primera coordenada no nula de (a 1 − b 1 ,... , an − bn) ∈ Zn^ es positiva (caso de que exista, es decir, puede ser que todas sean nulas). Demuestra que lex es un orden total.

4.1. Elementos notables de un conjunto ordenado. Sea (A, ≤) un conjunto ordenado y sea B un subconjunto de A.

1. Decimos que m es un elemento maximal de B si m ∈ B y para cualquier b ∈ B tal que m ≤ b se tiene que m = b.
2. Decimos que m es un elemento minimal de B si m ∈ B y para cualquier b ∈ B tal que b ≤ m se tiene que m = b.
3. Un elemento m ∈ B es el m´aximo de B si b ≤ m para todo b ∈ B.
4. Un elemento m ∈ B es el m´ınimo de B si m ≤ b para todo b ∈ B.
5. Decimos que c ∈ A es una cota inferior de B si c ≤ b para todo b ∈ B.
6. Decimos que c ∈ A es una cota superior de B si b ≤ c para todo b ∈ B.
7. Un elemento s ∈ A es el supremo de B si es el m´ınimo de todas las cotas superiores de B.
8. Un elemento i ∈ A es el ´ınfimo de B si es el m´aximo de todas las cotas inferiores de B.

Ejercicio 7: En (N, |), calcula los elementos notables de {1, 2, 3, 4, 5}.

Maxima 5:

(%i1) menores(x,rel,conj):=subset(conj,lambda([y],rel(y,x) ))$ (%i2) mayores(x,rel,conj):=subset(conj,lambda([y],rel(x,y) ))$ (%i3) D:setdifference(divisors(30),{1,2,30}); ( %o3) {3, 5, 6, 10, 15}

(%i4) menores(15,lambda([x,y],is(mod(y,x)=0)), {1,2,3,4,5,6,7}); ( %o4) {1, 3, 5}

(%i5) minimal(x,rel,con):=is(menores(x,rel,con)={x}) and elementp(x,con)$ (%i6) maximal(x,rel,con):=is(mayores(x,rel,con)={x}) and elementp(x,con)$ (%i7) minimal(3,lambda([x,y],is(mod(y,x)=0)), D); ( %o7) true

(%i8) minimales(rel,con):=subset(con,lambda([x],minimal(x,rel,con)))$ (%i9) maximales(rel,con):=subset(con,lambda([x],maximal(x,rel,con)))$ (%i10) div(x,y):=is(mod(y,x)=0)$ (%i11) minimales(div,D); ( %o11) {3, 5}

(%i12) maximales(div,D); ( %o12) {6, 10, 15}

(%i13) minimo(rel,con):=block(local(m), m:listify(minimales(rel,con)), if (is(length(m)=1)) then m[1] else error ("Error no hay minimo"))$

5. APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS 11

(%i14) maximo(rel,con):=block(local(m), m:listify(maximales(rel,con)), if (is(length(m)=1)) then m[1] else error("Error no hay maximo"))$ (%i15) maximo(div,D); Error no hay maximo #0: maximo(rel=div,con=3,5,6,10,15) – an error. To debug this try: debugmode(true);

(%i16) minimo(div,D); Error no hay minimo #0: minimo(rel=div,con=3,5,6,10,15) – an error. To debug this try: debugmode(true);

(%i17) cotasuperior(x,rel,con):=is(con=menores(x,rel,con))$ (%i18) cotainferior(x,rel,con):=is(con=mayores(x,rel,con))$ (%i19) cotainferior(1,div,D); ( %o19) true

(%i20) cotassuperiores(rel,con,amb):=subset(amb,lambda([x],cotasuperior(x,rel,con)))$ (%i21) cotasinferiores(rel,con,amb):=subset(amb,lambda([x],cotainferior(x,rel,con)))$ (%i22) cotasinferiores(div,D,divisors(30)); ( %o22) { 1 }

(%i23) cotasinferiores(div,D,D); ( %o23) {}

(%i24) supremo(rel,con,amb):=minimo(rel,cotassuperiores(rel,con,amb))$ (%i25) infimo(rel,con,amb):=maximo(rel,cotasinferiores(rel,con,amb))$ (%i26) supremo(div,D,D); Error no hay minimo #0: maximo(rel=div,con=) #1: supremo(rel=div,con=3,5,6,10,15,amb=3,5,6,10,15) – an error. To debug this try: debugmo- de(true);

(%i27) infimo(div,D,divisors(30)); ( %o27) 1

(%i28) supremo(div,D,divisors(30)); ( %o28) 30

5. Aplicaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos. Una aplicaci´on f de A en B, que denotaremos como f : A → B, es una correspondencia que a cada elemento de A le asocia un ´unico elemento de B (de nuevo esta definici´on es algo imprecisa, pero suficiente para nuestro curso). Si a ∈ A, al elemento que le asocia f en B lo denotamos por f(a), y se llama la imagen de a por f. Los conjuntos A y B son el dominio y codominio de f, respectivamente. Llamaremos conjunto imagen de f a

Im(f) = {f(a) tales que a ∈ A}.

Ejercicio 8: Sea Q el conjunto de los n´umeros racionales y R el de los reales. ¿Tiene sentido decir que f : Q → R, x 7 → xx+−^11 es una aplicaci´on?

5. APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS 13

( %o3) x

( %o4) x

Maxima 8: Consideremos ahora la aplicaci´on f : {0, 1,... , 7} → {0, 1,... , 7}, que dado un elemento x de {0, 1,... , 7}, devuelve el resto de dividir por 8 la cantidad x^2 + 1.

(%i1) s:setify(makelist(i,i,0,7)); ( %o1) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

(%i2) f(x):=remainder(x^2+1,8)$ Calculemos el conjunto imagen de f.

(%i3) makelist(f(x),x,0,7); ( %o3) [1, 2, 5, 2, 1, 2, 5, 2]

(%i4) setify(%); ( %o4) {1, 2, 5} Por lo que esta aplicaci´on no es sobreyectiva (por ejemplo, el 0 no est´a en la imagen). Veamos ahora qui´en es la preimagen del 1. Para ello calculamos todos los elementos que se aplican en ´el por f.

(%i5) subset(s,lambda([x],is(f(x)=1))); ( %o5) {0, 4} Esto nos dice que f( 0 ) = f( 4 ) = 1 , por lo que f tampoco es inyectiva. Por ´ultimo, para cualquier aplicaci´on f : X → Y podemos definir Rf, que es una relaci´on de equivalencia en X, de la siguiente forma

x Rf y si f(x) = f(y). Veamos el conjunto de clases de equivalencia en nuestro ejemplo bajo esta relaci´on.

(%i6) equiv_classes(s,lambda([x,y],is(f(x)=f(y)))); ( %o6) {{0, 4}, {1, 3, 5, 7}, {2, 6}}

6. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 14
7. Ejercicios complementarios 1.- Dados los conjuntos: A = {a, b, c, d, e, f, g} B = {e, f, g, h, i, j} C = {a, e, i, o, u} Determinar los siguientes conjuntos: A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ C, A\B, A(B ∪ C), (A ∩ B) ∪ C, C ∩ (A\B) 2.- Dado el conjunto X = {a, b, c, d}, determinar el conjunto P(X). 3.- Dar un ejemplo de conjuntos X 1 , X 2 , Y 1 , Y 2 verificando (X 1 × Y 1 ) ∪ (X 2 × Y 2 ) 6 = (X 1 ∪ X 2 ) × (Y 1 ∪ Y 2 ). 4.- Determinar cu´ales de las siguientes aplicaciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. a) f : N → N, f(n) = n^2. b) f : Q → R, f(x) = 2x. c) f : Z → Z, f(n) = n + 1. d ) f : Q → Q, f(x) = 3x 4 + 2. e) f : R+^ → R, f(x) = +

x. 5.- Dadas dos aplicaciones ϕ : X → Y y ψ : Y → Z. Demostrar a) Si ϕ y ψ son inyectivas entonces ψ · ϕ es inyectiva. b) Si ψ · ϕ es inyectiva, entonces ϕ es inyectiva. c) Si ψ · ϕ es inyectiva y ϕ sobre, entonces ψ es inyectiva. d ) Si ϕ y ψ son sobreyectivas, entonces ψ · ϕ es sobreyectiva. e) Si ψ · ϕ es sobreyectiva entonces ψ es sobreyectiva. f ) Si ψ · ϕ es sobreyectiva y ψ es inyectiva entonces ϕ es sobreyectiva. 6.- Sea R el conjunto de los n´umeros reales. Definimos sobre R la siguiente relaci´on:

xRy si x − y ∈ Z. a) Probar que R es una relaci´on de equivalencia. b) Describir el conjunto cociente R/R. 7.- En el conjunto Q de los n´umeros racionales se define la siguiente relaci´on

xRy si existe h ∈ Z tal que x =

3y + h 3

a) Probar que R es una relaci´on de equivalencia. b) ¿ Est´an 23 y 45 en la misma clase? c) Describir el conjunto cociente Q/R. 8.- Sea el conjunto X = {1, 2, 3}. En el conjunto P(X) definimos la siguiente relaci´on: ARB sii la suma de los elementos de A es igual a la suma de los elementos de B. a) Probar que R es una relaci´on de equivalencia. b) Describir el conjunto cociente P(X)/R. 9.- Dado el conjunto ordenado (N^2 , ≤p), calcula los elementos notables de {(1, 0), (0, 1), (2, 1), (3, 1)}.

10.- Ordena de menor a mayor con el orden lexicogr´afico los elementos del siguiente conjunto

{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 2), (2, 3, 1), (1, 0, 4)}.

1. LOS N UMEROS ENTEROS´ 16

1.1. Consequencia. Si n = pα 1 1 · · · pα r r es la descomposici´on en primos del entero positivo n, entonces el n´umero de divisores positivos de n es (α 1 + 1 ) · · · (αr + 1 ).

Ejercicio 16: Calcula el n´umero de divisores enteros positivos de 120.

Sean a, b ∈ Z, con a 6 = 0 o b 6 = 0. Un entero d es un m´aximo com´un divisor de a y b si

1. d | a y d | b,
2. si c | a y c | b, con c un entero, entonces c | d.

An´alogamente, un entero m es un m´ınimo com´un m´ultiplo de a y b si

1. a | m y b | m,
2. si a | c y b | c, con c un entero, entonces m | c.

De forma similar se puede definir el m´aximo com´un divisor y el m´ınimo com´un m´ultiplo de un conjunto de enteros {a 1 ,... , an} con n un entero positivo.

Si d es un m´aximo com´un divisor de a y b, tambi´en lo es −d, y ´estos son los ´unicos m´aximos divisores comunes de a y b. Lo mismo ocurre con el m´ınimo com´un m´ultiplo. Esto se debe a que si a | b, entonces −a | b. Cuando escribamos gcd{a, b} nos referiremos al m´aximo com´un divisor positivo de a y b. Para el m´ınimo com´un m´ultiplo utilizaremos lcm(a, b). Sean a = upα 1 1 · · · pα r r y b = vpβ 1 1 · · · pβ r r, con u, v ∈ {1, − 1 }, p 1 ,... , pr primos distintos y α 1 ,... , αr, β 1 ,... , βr enteros no negativos (algunos pueden ser cero, pues los primos que aparecen en a no tienen por qu´e aparecer en b). Entonces gcd{a, b} = pm´ 1 ın{α^1 ,β^1 }· · · pm´ r ın{αr,βr},

lcm{a, b} = pm´ 1 ax{α^1 ,β^1 }· · · pm´ r ax{αr,βr}. gcd{a, b}lcm{a, b} = |ab|.

Algoritmo de Euclides. Entrada: a, b enteros positivos. Salida: gcd{a, b}. (a 0 , a 1 ) := (a, b). Mientras a 1 6 = 0 (a 0 , a 1 ) := (a 1 , a 0 m´od a 1 ). Devuelve a 0.

Ejercicio 17: Calcula el m´aximo com´un divisor de 237 y 99.

Maxima 9: Veamos algunos ejemplos de c´alculo con maxima.

(%i1) primep(38129);

( %o1) false

(%i2) next_prime(38129);

( %o2) 38149

(%i3) prev_prime(38129);

( %o3) 38119

(%i4) factor(38129);

( %o4) 7 13 419

1. LOS N UMEROS ENTEROS´ 17

(%i5) 713419;

( %o5) 38129

(%i6) gcd(15,18);

( %o6) 3

(%i7) quotient(101,34);

( %o7) 2

(%i8) remainder(101,34);

( %o8) 33

(%i9) 2*34+33;

( %o9) 101

Hay que tener cuidado con estas funciones, pues el resto no se define como nosotros lo hemos hecho.

(%i10) quotient(-150,17);remainder(-150,17);

( %o10) − 8

( %o11) − 14

Si queremos un resto y cociente acordes a nuestra definici´on de divisi´on podemos hacer lo siguiente.

(%i12) cociente(a,b):=(a-mod(a,b))/b;

( %o12) cociente (a, b) :=

a − mod (a, b) b (%i13) cociente(-150,17);mod(-150,17);

( %o13) − 9

( %o14) 3

(%i15) is(-817+-14=-917+3);

( %o15) true

Maxima 10: Una alternativa a factor es el comando ifactor, que devuelve una lista con pares de la forma (primo,exponente) para cada uno de los primos que aparecen en la factorizaci´on de un entero.

(%i1) ifactors(12); ( %o1) [[2, 2], [3, 1]] Un entero es libre de cuadrados si no es divisible por un cuadrado (distinto de 1), o lo que es lo mismo, en su factorizaci´on los exponentes de todos los primos que aparecen son uno.

(%i2) libre_cuadradosp(x):=every(lambda([x],is(x[2]=1)),ifactors(x))$ (%i3) libre_cuadradosp(12); ( %o3) false

3. ECUACIONES EN CONGRUENCIAS DE GRADO UNO 19

Maxima 12: Resolvamos la ecuaci´on 40x + 15y = 30. Usando gcdex obtenemos lo siguiente.

(%i1) gcdex(40,15);

( %o1) [−1, 3, 5]

Lo que significa que 40 × (− 1 ) + 15 × 3 = 5. Como 5 divide a 30 , la ecuaci´on tiene soluci´on. Multiplicamos por 6 ( 6 × 5 = 30 ) y obtenemos lo siguiente.

(%i2) %*6;

( %o2) [−6, 18, 30]

Que equivale a multiplicar la igualdad 40 × (− 1 ) + 15 × 3 = 5 por 6. Por tanto, una soluci´on de nuestra ecuaci´on 30 × (− 6 ) + 15 × 18 = 30. N´otese que la ecuaci´on 40x + 15y = 30 es equivalente a 8x + 3y = 6 (hemos dividido por el m´aximo com´un divisor de 40 y 15 ). Si x 0 , y 0 es una soluci´on de dicha ecuaci´on, x = x 0 + 3k e y = y 0 − 8k es una soluci´on de 8x + 3y = 6 para todo k ∈ Z.

(%i3) gcdex(8,3);

( %o3) [−1, 3, 1]

(%i4) %*6;

( %o4) [−6, 18, 6]

As´ı todas las soluciones de 40x + 15y = 30 son { x = − 6 + 3k, y = 18 − 8k.

Maxima 13: Resolvamos ahora la ecuaci´on 121x − 77y = 88.

(%i1) gcd(121,-77); ( %o1) 11 Al dividir por 11, la ecuaci´on queda reducida a 11x − 7y = 8.

(%i2) l:gcdex(11,-7); ( %o2) [2, 3, 1]

(%i3) 8*l; ( %o3) [16, 24, 8] Por lo que tenemos que una soluci´on particular es x 0 = 16 e y 0 = 24. Siendo adem´as todas las soluciones de la forma x = x 0 − 7k, y = y 0 − 11k con k un entero cualquiera.

3. Ecuaciones en congruencias de grado uno Sean a, b, m ∈ Z. Escribimos a ≡ b (m´od m), que se lee “a es congruente con b m´odulo m”, para indicar que m | a − b. Una ecuaci´on en congruencias de grado uno (o lineal) es una expresi´on de la forma ax ≡ b (m´od m). Una soluci´on para dicha ecuaci´on es un entero c de forma que ac ≡ b (m´od m). N´otese que las soluciones de ax ≡ b (m´od m) son las posibles x de la ecuaci´on diof´antica ax + my = b.

La ecuaci´on ax ≡ b (m´od m) tiene soluci´on si y s´olo si gcd{a, m} | b. Si d = gcd{a, m} y d | b, entonces las ecuaciones ax ≡ b (m´od m) y ad x ≡ bd (m´od md ) tienen las mismas soluciones.

3. ECUACIONES EN CONGRUENCIAS DE GRADO UNO 20

Si gcd{a, m} = 1 , y x 0 es una soluci´on de ax ≡ b (m´od m), entonces el conjunto de todas las soluciones de la ecuaci´on es {x 0 + km tales que k ∈ Z}. La ecuaci´on ax + c ≡ b (m´od m) tiene las mismas soluciones que la ecuaci´on ax ≡ b − c (m´od m). La ecuaci´on ax ≡ b (m´od m) tiene las mismas soluciones que la ecuaci´on (a m´od m)x ≡ (b m´od m) (m´od m). Si au + mv = 1 , con u, v ∈ Z, entonces bu es una soluci´on de ax ≡ b (m´od m).

Maxima 14: Veamos si tiene soluci´on la ecuaci´on 54x ≡ 6 (m´od 34 ), y en caso de tener, vamos a describir su conjunto de soluciones.

(%i1) remainder(54,34);

( %o1) 20

Al ser 54 m´od 34 igual a 20 , la ecuaci´on anterior es equivalente a 20x ≡ 6 (m´od 34 ).

(%i2) gcd(20,34);

( %o2) 2

Como 2 | 6 , la ecuaci´on tiene soluci´on, y es equivalente a 10x ≡ 3 (m´od 17 ). Usando gcdex obtenemos los coeficientes de B´ezout para 10 y 17.

(%i2) gcdex(10,17);

( %o2) [−5, 3, 1]

Lo que viene a decir que (− 5 ) × 10 + 3 × 17 = 1. As´ı una soluci´on de 10x ≡ 3 (m´od 17 ) es (− 5 ) 3 , que vale − 15. As´ı todas las soluciones de nuestra ecuaci´on son de la forma − 15 + 17k con k ∈ Z.

Ejercicio 18: Encuentra todas las soluciones enteras de

121x ≡ 2 (m´od 196 ).

Maxima 15: Vamos a resolver el sistema { x ≡ 5495 (m´od 7643 ) x ≡ 7569 (m´od 8765 ) Por la primera ecuaci´on, sabemos que x es de la forma x = 5495 + 7643k con k un entero cualquiera. Substituimos en la segunda y k se convierte en la nueva inc´ognita: 5495 +7643k ≡ 7569 (m´od 8765 ). Como

(%i1) 7569-5495; ( %o1) 2074 tenemos que resolver 7643k ≡ 2074 (m´od 8765 ). El inverso de 7643 m´odulo 8765 lo calculamos (de existir) con el algoritmo extendido de Euclides.

(%i2) gcdex(7643,8765); ( %o2) [2617, −2282, 1] Despejamos

(%i3) mod(2617*2074,8765); ( %o3) 2123