Teoria de conjuntos, Apuntes de Álgebra

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Teor´ıa de conjuntos

1. Teor´ıa de conjuntos: definiciones b´asicas

Un conjunto es una colecci´on de objetos bien definidos y diferenciables entre s´ı que se llaman elementos. Al conjunto que no tiene elementos se le denomina conjunto vac´ıo φ. Si un conjunto A es finito (tiene un n´umero finito de elementos), entonces a ese n´umero de elementos se les denomina cardinal de A, |A|. Sea un conjunto formado por cuatro elementos, es decir, |A| = 4. Por ejemplo A = {a, b, c, d} de forma que a ∈ A y z /∈ A.

En la mayor´ıa de las ocaciones, se consideran conjuntos que pertenecen o son subconjuntos de otro denominado conjunto universal, U y se suelen representar en diagramas de Venn. Se dice que A es un subconjunto de B, A ⊆ B, si todos los elementos de A tambi´en pertenecen a B, es decir, ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B.

Figure 1: Inclusi´on: A ∈ B

Figure 2: Complementaci´on: A

2.2. Uni´on

Sean A y B dos conjuntos. El conjunto uni´on, A ∪ B es el conjunto formado por los elementos de A o de B, es decir, A ∪ B = {x/x ∈ A ´o x ∈ B}. Las propiedades m´as importantes de la uni´on de conjuntos son:   

Idempotente, A ∪ A = A Commutativa, A ∪ B = B ∪ A Asociativa, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

2.3. Intersecci´on

La intersecci´on de dos conjuntos A y B, A ∩ B es otro conjunto formado por los elementos que est´an en A y en B simult´aneamente, es decir, A ∩ B = {x/x ∈ A y

Figure 3: Uni´on: A ∪ B

x ∈ B}. Si A ∩ B = φ, se dice que los conjuntos son disjuntos. Las propiedades m´as importantes de la intersecci´on de conjuntos son:  



Idempotente, A ∩ A = A Commutativa, A ∩ B = B ∩ A Asociativa, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

2.4. Diferencia

La diferencia de dos conjuntos A y B, A − B es el conjunto formado por todos los elementos de A que no est´an en B, es decir, A − B = {x/x ∈ A y x /∈ B}. En este caso, puede comprobarse gr´aficamente que A − B = A ∩ B.

2.5. Diferencia sim´etrica

La diferencia sim´etrica de A y B, A 4 B es el conjunto formado por la uni´on de los elementos de A que no est´an en B y los elementos de B que no est´an en A, es decir, A 4 B = (A − B) ∪ (B − A).

Figure 6: Diferencia sim´etrica: A 4 B

Ejercicio propuesto: Dado el conjunto universal formado por todos los n´umeros naturales menores o iguales a 10 y dados los conjuntos A=”n´umeros naturales pares menores o iguales a 10” y B=”n´umeros naturales menores o iguales a 5”:

1. Dibuje los conjuntos anteriores en un diagrama de Venn.
2. Obtenga el complementario de A.
3. Obtenga el conjunto intersecci´on y uni´on de A y B.

4. Obtenga el conjunto diferencia y diferencia sim´etrica de A y B.

2.6. Producto cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, A × B es el conjunto formado por pares de elementos ordenados, de forma que el primer elemento del par pertenece a A y el segundo elemento del par pertenece a B, es decir, A × B = {(a, b)/a ∈ A y b ∈ B}. En muchas ocasiones se suele representar el producto cartesiano en un diagrama de coordenadas cartesianas.

Por ejemplo, si tenemos A = { 1 , 2 , 3)} y B = {a, b)}, entonces su producto cartesiano es A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.

Figure 7: Diagrama de coordenadas cartesianas: A × B

Las propiedades m´as importantes del producto cartesiano son:

podr´ıa definirse como:

R =

(x, y) ∈ R × R/ 2 x^2 + 10y^2 = 25

cuyos elementos ser´an los puntos del sistema de coordenadas que se encuentran en la elipse.

Figure 8: La relaci´on R define una elipse

3.1. Relaci´on de orden

Se denomina relaci´on de orden, , en un conjunto A a una relaci´on binaria en A cuyos elementos verifican las propiedades: 



Reflexiva, a  a Antisim´etrica, Si a 1  a 2 y a 2  a 1 ⇒ a 1 = a 2 Transitiva, Si a 1  a 2 y a 2  a 3 ⇒ a 1  a 3

En particular, la relaci´on ”≤” dentro de los conjuntos de n´umeros naturales N, enteros Z, racionales Q o reales R es una relaci´on de orden. En la figura podemos ver c´omo por ejemplo a  b, b  d, a  d, etc.

Figure 9: Relaci´on de orden

3.2. Relaci´on de equivalencia

Se denomina relaci´on de equivalencia R en un conjunto A, a una relaci´on binaria en A cuyos elementos verifican las siguientes propiedades:

clase de equivalencia del n´umero 4 es C(4) = { 2 , 4 , 6 , 8 } y por tanto, vemos como los elementos que est´an relacionados entre s´ı, generan la misma clase de equivalencia. Adem´as, esta clase de equivalencia no puede tener elementos comunes a la clase C(7) pues son distintas.