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Definiciones básicas de la cinemática
Imaginemos un objeto ubicado en la posición A que, en un determinado
instante de tiempo, pasa a encontrarse en la posición B, tal como se ilustra
en la figura. Es evidente que el objeto experimentó un movimiento a lo largo
del eje x, es decir, tuvo un desplazamiento hacia la derecha respecto a su
posición inicial.
Con base en esto, procedemos a definir el desplazamiento como el cambio
en la posición inicial con respecto a la posición final del objeto. Esta
definición se expresa matemáticamente como:
𝑓
𝑖
En otras palabras, el desplazamiento (𝑟) representa la diferencia entre la
posición final (𝑥
𝑓
) y la posición inicial (𝑥
𝑖
) del objeto en cuestión. Esta
formulación nos brinda una manera precisa de cuantificar la distancia entre
dos puntos a lo largo del eje x, lo que resulta esencial para caracterizar el
movimiento del cuerpo en cuestión.
Sin embargo, no nos limitamos a medir simplemente el movimiento de un
cuerpo, requerimos de una comprensión más profunda del movimiento, no
solo cómo se mueve, sino también hacia donde se mueve. Para abordar esta
necesidad, figamos nuestra atención en los vectores, herramientas
matemáticas que, en su definición más básica, se encargan de describir
cuerpos considerando tanto su magnitud como la dirección que siguen. En
este contexto, avanzamos más allá de las nociones básicas de posición (x) y
desplazamiento (r), y pasamos a hablar de los vectores posición (𝑥
) y
desplazamiento (𝑟Ԧ), tal como se ilustra en la imagen
A
p
B
p
Ahora, armados con esta herramienta, podemos proceder a expresar el
desplazamiento de la siguiente manera:
𝑓
𝑖
No obstante, esta formulación sigue siendo insuficiente. No nos limitamos
únicamente a saber cuánto y adonde se dirige un cuerpo, sino que también
demandamos comprender con qué rapidez lo hace, por lo que es necesario
introducir el concepto de velocidad.
Cuando nos embarcamos en la tarea de caracterizar la velocidad de un
cuerpo, recurrimos al tiempo. Por ejemplo, ese auto recorre cinco metros en
cada segundo, o la manzana cae medio metro en un par de segundos. Esta
idea cotidiana puede ser ampliada y resultar bastante provechosa a la hora de
describir el movimiento de un cuerpo.
Por consiguiente, definimos la velocidad como la medida de la distancia que
un cuerpo recorre en un intervalo de tiempo determinado. Es decir:
Sin embargo, al momento de emplear dicha definición no topamos con que
resulta terriblemente imprecisa, la definición anterior resulta idónea para
objetos con velocidad constante, donde la velocidad permanece invariable
p
𝑓
p
𝑖
p
p
Sin embargo, para obtener esta velocidad, nos enfrentamos a un nuevo reto,
al hacer que el intervalo de tiempo sea cero, la ecuación queda en lo que en
matemáticas se conoce como indeterminación.
Esto nos conduce a un aparente callejón sin salida, por suerte nuevamente
podemos recurrir a las matemáticas quienes nos brindan una solución.
Podemos abordar este problema al emplear un concepto conocido como
límite.
Imaginemos un objeto que, en un tiempo 𝑡
𝑖
se encuentra en la posición 𝑥
𝑖
y,
en un tiempo 𝑡
𝑓
se encuentra en la posición 𝑥
𝑓
, como se muestra en la figura.
Dado que la posición cambia en función del tiempo, a partir de este punto
describiremos la posición como una función del tiempo, denotado por decir
𝑥Ԧ(𝑡). Esto significa que es un tiempo 𝑡
𝑖
el objeto está en la posición 𝑥
𝑖
𝑖
) y
en un tiempo 𝑡
𝑓
está en la posición 𝑥
𝑓
𝑓
) o 𝑥
𝑓
𝑖
la ecuación para lo que ahora denominamos velocidad promedio es la
siguiente:
𝑝𝑟𝑜𝑚
𝑓
𝑖
𝑖
𝑖
Al llevar esta expresión al límite a medida que ∆𝑡 se aproxima a cero,
obtenemos lo que ahora definimos como velocidad instantánea
𝑖
𝑖
p
𝑓
𝑖
+ ∆𝑡)para el
texto
𝑖
𝑓
𝑓
𝑖
𝑣Ԧ ≡ lim
∆𝑡→ 0
= lim
∆𝑡→ 0
𝑓
𝑖
𝑖
𝑖
Por definición, esta expresión es una derivada, lo que nos lleva a definir
ahora a la velocidad, como la derivada de la posición respecto al tiempo.
Con las definiciones de posición y velocidad en nuestro arsenal, nuestra
descripción del movimiento da un salto cualitativo. Sin embargo, para
completar esta descripción de manera integral. Requerimos una última pieza
del rompecabezas. Como bien sabemos, al igual que la posición puede variar
con el tiempo, la velocidad también experimenta variaciones. Por
consiguiente, necesitamos definir este cambio, que se conoce como
aceleración.
Podemos seguir un razonamiento similar al empleado para deducir la
definición de velocidad, en nuestra búsqueda de definir la aceleración. Esta
definición se estable de la siguiente manera:
𝑎Ԧ ≡ lim
∆𝑡→ 0
= lim
∆𝑡→ 0
𝑓
𝑖
𝑖
𝑖
Es evidente que esta expresión es, de hecho, la definición de una derivada.
Por lo tanto, podemos definir la aceleración como la derivada de la velocidad
respecto al tiempo
Con estos tres conceptos fundamentales, estaremos plenamente equipados
para describir el movimiento de un cuerpo mediante ecuaciones sencillas y
poderosas.
