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Tema 3
Derivabilidad de funciones de una
variable
El objetivo del presente tema es la derivaci´on de funciones reales de variable real, as´ı como sus diversas aplicaciones entre las que destacamos la representaci´on gr´afica de funciones y la optimizaci´on.
1.1 Definici´on e interpretaci´on de la derivada
Definici´on 1.1.1 Sea f : (a, b) ⊂ R → R, x 0 ∈ (a, b). Se dice que f es derivable en x 0 si existe el siguiente l´ımite
x^ lim→x 0 f^ (x x)^ −−^ fx^0 (x^0 )^ = lim h→ 0 f^ (x^0 +^ h h)^ −^ f^ (x^0 ) y pertenece a R. En este caso, al l´ımite anterior se le llama derivada de f en x 0. Se suele notar de alguna de las siguientes formas
f ′(x 0 ) = (^) dxdf(x 0 ).
Si existe la derivada de f en todos los puntos de (a, b), entonces se dice que f es derivable en (a, b). En este caso se puede definir una funci´on f ′^ : (a, b) → R que le asocia a cada punto x de (a, b), la derivada f ′(x) de f en x 0 y que se llama funci´on derivada de f.
Para ver si una funci´on es derivable en un punto, es a veces interesante calcular las derivadas laterales, las cuales se definen por
Definici´on 1.1.2 Sea f : (a, b) ⊂ R → R, x 0 ∈ (a, b), f se dice derivable a la derecha en x 0 si existe (y es finito) el siguiente l´ımite
h^ lim→ 0 +^ f^ (x^0 +^ h h)^ −^ f^ (x^0 ).
En este caso, al l´ımite anterior se le llama derivada por la derecha de f en x 0 y se denota por f ′(x 0 )+. An´alogamente, se dice que f es derivable a la izquierda en x 0 si existe (y es finito) el l´ımite
h^ lim→ 0 −^ f^ (x^0 +^ h h)^ −^ f^ (x^0 ). en este caso, al l´ımite anterior se le llama derivada por la izquierda de f en x 0 y se denota por f ′(x 0 )−.
Claramente se tiene
Teorema 1.1.3 Sea f : (a, b) ⊂ R → R, x 0 ∈ (a, b). La funci´on f es derivable en x 0 si y s´olo si existen las derivadas laterales y coinciden.
A partir de la definici´on de derivada de f en x 0 , est´a claro que tomando
g(x) = f^ (x x)^ −−^ fx^ ( 0 x^0 ) − f ′(x 0 ), (1.1)
entonces se tiene
xlim→x 0 g(x) = 0. Por otra parte, despejando el valor de f (x) de la f´ormula (1.1), se obtiene
f (x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) + g(x)(x − x 0 ). (1.2)
Teniendo en cuenta que g(x) tiende a cero cuando x tiende a cero, est´a claro que para valores de x cercanos a x 0 el valor absoluto del t´ermino g(x)(x − x 0 ) que aparece en la f´ormula anterior es muy peque˜no, de hecho mucho m´as peque˜no que la distancia |x − x 0 | de x a x 0. Ello significa que si definimos la recta r(x) por
r(x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) (1.3)
que no es otra que la recta r definida por (1.3). Por tanto la f´ormula (1.4), establece simplemente el hecho de que para x cercano a x 0 la recta tangente a f en (x 0 , f (x 0 )) est´a muy pr´oxima a la gr´afica de f.
Ejemplo 1.1.5 Sabiendo que la derivada de la funci´on sen x es cos x, calcular la recta tangente a la funci´on seno en el punto (π 4 , √ 2 2 ): Soluci´on. Por la f´ormula anterior, la recta pedida vendr´a dada por
y =
2 + cos^
π 4 (x^ −^
π 4 ) =
2 x^ +
√2(4 − π)
El concepto de derivada tambi´en es de gran importancia en las distintas ramas de la ciencia y la tecnolog´ıa, gracias a su interpretaci´on f´ısica. Consideremos el siguiente ejemplo: Supongamos un m´ovil que se mueve por una recta. Este movimiento se puede representar matem´aticamente a partir de una funci´on x la cual asocia a cada instante t la posici´on x(t) del m´ovil en el instante t. Si consideramos entonces dos instantes t 0 , t 0 + h, la velocidad media (con signo) recorrida por el m´ovil entre esos dos instantes vendr´a dada por (recordar que velocidad=espacio/ tiempo)
vm = x(t^0 +^ h h)^ −^ x(t^0 ).
La velocidad del m´ovil en el instante t 0 se define como el l´ımite cuando h tiende a cero de la velocidad media anterior y vendr´a por tanto dada por x′(t 0 ). Es decir la derivada nos sirve para calcular la velocidad del m´ovil en cada instante a partir de la que nos da su posici´on. De la misma forma, la derivada se puede usar por ejemplo para medir la velocidad de una reacci´on qu´ımica, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo, la velocidad de crecimiento de una poblaci´on, etc.
Una aplicaci´on importante de la f´ormula (1.2), es el siguiente teorema
Teorema 1.1.6 Sea f : (a, b) ⊂ R → R, x 0 ∈ (a, b). Si f es derivable en x 0 , entonces f es continua en x 0.
Demostraci´on. Gracias a la f´ormula (1.2), se tiene
f (x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) + g(x)(x − x 0 )
donde
xlim→x 0 g(x) = 0.
Tomando entonces l´ımite se tiene
xlim→x 0 f^ (x) = lim x→x 0 (f^ (x^0 ) +^ f^ ′(x^0 )(x^ −^ x^0 ) +^ g(x)(x^ −^ x^0 )) =^ f^ (x^0 ),
con lo que f es continua en x 0. 2
Observaci´on 1.1.7 Existen funciones que son continuas en un punto y sin embargo no son derivables en ´el. Consideremos por ejemplo la funci´on valor absoluto definida por
f (x) = |x| =
x si x ≥ 0 −x si x ≤ 0.
Esta funci´on es continua en todo R, pero sin embargo no es derivable en cero ya que
f ′(0)+^ = lim h→ 0 +^ |0 +^ h h| − | 0 |= lim h→ 0 +^ hh = 1 f ′(0)−^ = lim h→ 0 −^ |0 +^ h h| − | 0 |= lim h→ 0 −^ −hh = − 1.
1.2 C´alculo de derivadas
La definici´on de derivada se ha dado a trav´es de un determinado l´ımite. Sin embargo, resulta dif´ıcil calcular dicho l´ımite cada vez que queramos saber cual es la derivada de una funci´on en un punto, en la pr´actica lo que se hace es usar ciertas reglas que nos ayudan a calcular las derivadas y que pasamos a exponer en los siguientes resultados Es lo que se conoce como Algebra de derivadas.´
Teorema 1.2.1 Sean, f, g : (a, b) ⊂ R → R y supongamos que son derivables en un punto x 0 ∈ (a, b). Entonces las funciones f + g, f − g, f g son derivables en x 0 y se tiene
(f + g)′(x 0 ) = f ′(x 0 ) + g′(x 0 ) (f − g)′(x 0 ) = f ′(x 0 ) − g′(x 0 ) (f g)′(x 0 ) = f ′(x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g′(x 0 ).
Si g(x 0 ) 6 = 0 entonces f /g tambi´en es derivable en x 0 y se tiene (f g
(x 0 ) = f^
′(x 0 )g(x 0 ) − f (x 0 )g′(x 0 ) g(x 0 )^2.
Ejemplo 1.2.7 Sabiendo que la derivada de la funci´on f (x) = ex^ es f ′(x) = f (x) = ex, vamos a calcular la derivada de la funci´on f −^1 (x) = log x.
Usando la regla anterior se tiene
(f −^1 )′(x) = (^) elog x^1 =^1 x.
Adem´as de las reglas anteriores, a fin de calcular la derivada de una funci´on es tambi´en importante conocer las derivadas de las funciones elementales las cuales vienen dadas por la siguiente tabla
f (x) f ′(x) f (x) f ′(x) xα, α 6 = 0 αxα−^1 ax, a > 0 axlog a loga x (^) xlog a^1 sen x cos x cos x −sen x tg x sec^2 x arcsen x √ 1 1 − x 2 arccos x − √ 1 1 − x 2 arctg x (^) 1 +^1 x 2
Una de las principales utilidades de la derivada es su aplicaci´on al estudio de problemas de m´ınimos y m´aximos. Se recuerda
Definici´on 1.2.8 Sea f : S ⊂ R → R, x 0 ∈ S, se dice que f alcanza un m´ınimo local en x 0 si existe δ > 0 tal que
f (x) ≤ f (x 0 ), ∀ x ∈ S ∩ (x 0 − δ, x 0 + δ).
An´alogamente se dice que f alcanza un m´aximo local en x 0 si existe δ > 0 tal que
f (x) ≥ f (x 0 ), ∀ x ∈ S ∩ (x 0 − δ, x 0 + δ).
El siguiente teorema da una condici´on necesaria para que una funci´on derivable alcance un m´ınimo o un m´aximo local en un punto.
Teorema 1.2.9 Sea f : (a, b) ⊂ R → R, x 0 ∈ (a, b) tal que f es derivable en x 0. Si f alcanza un m´aximo o un m´ınimo local en x 0 , entonces f ′(x 0 ) = 0.
Demostraci´on. Vamos a suponer que f alcanza un m´ınimo en x 0 , la demostraci´on para el caso de un m´aximo es an´aloga. Por definici´on, se tiene
f ′(x 0 )+^ = lim h→ 0 +^ f^ (x^0 +^ h h)^ −^ f^ (x^0 ),
pero como f alcanza un m´ınimo local en x 0 , sabemos que f (x 0 + h) − f (x 0 ) es no negativo para h suficientemente peque˜no, por tanto se deduce
f ′(x 0 )+^ = lim h→ 0 +^ f^ (x^0 +^ h h)^ −^ f^ (x^0 )≥ 0.
An´alogamente, se prueba
f ′(x 0 )−^ = lim h→ 0 +^ f^ (x^0 +^ h h)^ −^ f^ (x^0 )≤ 0.
Usando entonces f ′(x 0 ) = f ′(x 0 )+^ = f ′(x 0 )−, se concluye que f ′(x 0 ) s´olo puede ser cero. 2
Observaci´on 1.2.10 N´otese que en la demostraci´on anterior se ha usado el hecho de f es derivable tanto a la derecha como a la izquierda de x 0 , el resultado es falso si f s´olo est´a definida a un lado de x 0. Como ejemplo consideremos la funci´on f : [0, 1] → R definida por f (x) = x. Est´a claro que f alcanza el m´ınimo en cero y el m´aximo en 1, sin embargo f ′(0) = f ′(1) = 1 (donde estas derivadas ser´ıan en realidad derivadas laterales ya que la funci´on s´olo la suponemos definida en [0, 1]).
El resultado anterior se puede usar por ejemplo para calcular los m´aximos y los m´ınimos de una funci´on continua definida en un intervalo cerrado. Se tiene
Proposici´on 1.2.11 Sea f : [a, b] ⊂ R → R, continua. Entonces los puntos en los que f alcanza m´aximo o m´ınimo absoluto (los cuales existen por el teorema de Weierstrass) se encuentran entre alguno de los siguientes puntos
- Los extremos del intervalo.
- Los puntos de (a, b), en los cuales f no es derivable.
- Los puntos de (a, b) en los cuales f es derivable y la derivada se anula.
- Puntos de (− 2 , π) donde f no es (o no sabemos si es) derivable: 0
- Puntos de (− 2 , π) donde sabemos que f es derivable y su derivada es nula: −1.
Usando ahora
f (−2) = − 2 e−^2 ∼ − 0. 27067 , f (−1) = −e−^1 ∼ − 0. 36788 , f (0) = 0, f (π) = 1−cos π = 2.
Se deduce que f alcanza el m´ınimo absoluto en −1 y el m´aximo absoluto en 1.
1.3 Teoremas de Rolle y del valor medio y regla de
l’Hˆopital
Hasta ahora hemos estado mencionando resultados relacionados con la derivada de una funci´on en un punto. Pidiendo que la funci´on sea derivable en todo un intervalo, se obtienen varios resultados importantes. El primero que vamos a ver sirve para probar la existencia de ceros de la derivada de una funci´on.
Teorema 1.3.1 (Teorema de Rolle) Sea f : [a, b] → R, continua en [a, b], derivable en (a, b) y tal que f (a) = f (b), entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
Una consecuencia importante del resultado anterior es el siguiente teorema
Teorema 1.3.2 (Teorema de Lagrange o del valor medio o de los incrementos finitos). Sea f : [a, b] → R, continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a) (1.5)
Observaci´on 1.3.3 El teorema de Rolle se puede obtener como un caso particular del teorema del valor medio, basta observar que si en (1.5) f (b) = f (a) entonces f ′(c) = 0.
Observaci´on 1.3.4 El teorema del valor medio se usa por ejemplo para acotar la dife- rencia entre los valores de f en los puntos a y b. Obs´ervese que como consecuencia del resultado anterior se deduce que si conocemos M tal que
|f ′(c)| ≤ M, ∀ c ∈ (a, b),
entonces |f (b) − f (a)| ≤ M |b − a|,
(al escribir |b − a| en lugar de b − a el resultado se aplica tanto al caso a < b como b < a). Cuando existe la derivada en todo [a, b] (en a y en b ser´ıan derivadas laterales) y la derivada es continua, se puede tomar
M = max c∈[a,b] |f ′(c)|,
o cualquier valor mayor que ´este. Como aplicaci´on de este resultado supongamos que el valor a en el que tenemos que calcular f ha sido obtenido a partir de un experimento o una medici´on y por tanto no es conocido exactamente. Lo que nosotros conocemos en realidad es una aproximaci´on b y lo que tambi´en sabemos es que |b − a| es menor que una cierta cantidad positiva δ (por ejemplo si estamos pesando con una balanza que lo m´ınimo que pesan son gramos, entonces δ ser´ıa un gramo). Las f´ormulas anteriores nos dir´ıan entonces |f (b) − f (a)| ≤ M δ,
lo cual nos da una estimaci´on sobre en cuanto nos estamos equivocando al calcular f en el punto b que es el que conocemos y no en el punto a que es donde deber´ıamos calcularla.
Interpretaci´on geom´etrica del teorema del valor medio. Obs´ervese que si consideramos la recta que pasa por los puntos (a, f (a)), (b, f (b)), su pendiente viene dada por f (b) − f (a) b − a pero la ecuaci´on (1.5), nos dice que este n´umero coincide con f ′(c) o lo que es lo mismo con la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de f en el punto (c, f (c)), por tanto ambas rectas son paralelas. Es decir geom´etricamente el teorema del valor medio asegura la existencia de un punto c ∈ (a, b) tal que la recta tangente a la gr´afica de f que pasa por (c, f (c)) es paralela a la recta que pasa por los puntos (a, f (a)), (b, f (b)).
Otra de las utilidades del teorema valor medio es que permite caracterizar cuando una funci´on es creciente o decreciente. Recordamos las siguientes definiciones.
Definici´on 1.3.5 Sea f : S ⊂ R → R.
Teorema 1.3.9 (Regla de l’Hˆopital) Sean f, g : (a, b) ⊂ R → R derivables tales que
∃ (^) xlim→a+ f (x) = lim x→a+ g(x) = 0.
Supongamos adem´as que g′(x) 6 = 0 para todo x ∈ (a, b). Entonces, si existe el l´ımite
x^ lim→a+^ f^
′(x) g′(x) =^ l
(finito o infinito), se tiene ∃ (^) xlim→a+^ f g^ ((xx) )= l.
Observaci´on 1.3.10 Aunque hemos dado el teorema anterior solamente para l´ımites por la derecha, tambi´en es cierto para l´ımites por la izquierda y por tanto para l´ımites. Tambi´en se aplica al caso de l´ımites en +∞ y −∞. Adem´as de servir para indetermina- ciones de tipo 00 tambi´en sirve para las de tipo ∞∞.
Ejemplo 1.3.11 Calcular el l´ımite
lim x→ 01 −x^ cos x 2
Vemos que se trata de una indeterminaci´on de tipo 00. Aplicando la regla de l’Hˆopital tendremos lim x→ 01 −x^ cos x 2 = lim x→ 0 sen x 2 x ,
que vuelve a ser indeterminado. Aplicando la regla de l’Hˆopital nuevamente se deduce entonces lim x→ 01 −x^ cos x 2 = lim x→ 0 sen x 2 x = lim x→ 0 cos x 2 =^12.
Ejemplo 1.3.12 Calcular
x^ lim→ 0 (sen x)x (obs´ervese que el l´ımite es en realidad un l´ımite por la derecha ya que si x < 0 y cercano a cero entonces sen x < 0 y por tanto (sen x)x^ no est´a bien definido).
Se trata de una indeterminaci´on 0^0. Usando la f´ormula
xlim→ 0 (sen x)x^ = lim x→ 0 elog((sen x)x)^ = lim x→ 0 exlog^ (sen x)
el l´ımite que tenemos que calcular es
lim x→ 0 x log (sen x)
que es una indeterminaci´on de la forma 0∞. A fin de poder aplicar la regla de l’Hˆopital escribimos lim x→ 0 xlog (sen x) = lim x→ 0 log^ (sen x 1 ) x
de esta forma pasamos a una indeterminaci´on de tipo ∞∞ a la que si podemos aplicar la regla de l’Hˆopital. Se tiene
xlim→ 0 log^ (sen x^1 ) x ,^
= lim x→ 0
cos xsen x − x 21 =^ −^ xlim→ 0
x^2 cos x sen x.
El l´ımite que tenemos ahora es de la forma 00 y por tanto podemos aplicar l’Hˆopital nuevamente para obtener el resultado, sin embargo es m´as f´acil usar antes
xlim→ 0 cos x^ = 1
y por tanto − (^) xlim→ 0 x
(^2) cos x sen x =^ −^ xlim→^0
x^2 sen x con lo que l’Hˆopital se puede ahora aplicar m´as f´acilmente al tener expresiones m´as simples para derivar. Se tiene − lim x→ 0 x
2 sen x =^ −^ xlim→^0
2 x cos x = 0, con lo cual lim x→ 0 (sen x)x^ = e^0 = 1.
Otra aplicaci´on de la regla de l’Hˆopital es el siguiente resultado que puede ser de ayuda para estudiar la derivada de una funci´on en un punto.
Proposici´on 1.3.13 Sea f : [a, b) ⊂ R → R,. Supongamos que f es continua en [a, b), derivable en (a, b) y ∃ (^) xlim→a+ f ′(x) = l.
Entonces f es derivable por la derecha en a y se tiene
f ′(a)+^ = lim h→ 0 +^ f^ (a^ +^ h h)^ −^ f^ (a)= l. El resultado an´alogo para calcular derivadas por la izquierda, tambi´en es cierto.
Ejemplo 1.3.16 Estudiar la derivabilidad en cero de la funci´on
f (x) =
x^2 sen (^) x^1 si x 6 = 0 0 si x = 0. Comenzamos estudiando la continuidad, para ello teniendo en cuenta que
− 1 ≤ sen(^1 x) ≤ 1 , ∀ x 6 = 0
y que lim x→ 0 x^2 = 0,
se tiene lim x→ 0 x^2 sen ( x^1 ) = 0 = f (0). (1.6)
Por tanto f es continua. Para la derivabilidad podemos tratar de aplicar el resultado anterior para lo cual usamos
f ′(x) = 2xsen (^1 x) + x^2 cos( x^1 )(− x 21 ) = 2xsen (^1 x) − cos(^1 x)
donde observamos que an´alogamente a (1.6)
xlim→ 0 2 xsen^ (^1 x) = 0. La funci´on cos( (^1) x ) en cambio no tiene l´ımite cuando x tiende a cero, ni por la izquierda ni por la derecha ya que lo que hace es oscilar entre −1 y 1. Esto implica que no puede existir ninguno de los l´ımites
xlim→ 0 +^ f^ ′(x),^ xlim→ 0 −^ f^ ′(x), ya que si por ejemplo ∃ (^) xlim→ 0 + f ′(x) = l,
entonces despejando de la f´ormula que nos da la derivada de f , se tendr´ıa
xlim→ 0 +^ cos^ x^1 = lim x→ 0 +(2xsen^ (^1 x) +^ f^ ′(x)) =^ l, pero este l´ımite ya sabemos que no existe. Veamos que sin embargo, aunque no existe ninguno de los l´ımites laterales de f ′^ en cero, la funci´on f es derivable en 0 y su derivada es cero. Usamos la definici´on de derivada que nos da (es parecido a (1.6)
f ′(0) = lim h→ 0 h
(^2) sen( (^) h^1 ) h = lim^ h→^0 hsen(
h) = 0.
1.4 Derivadas de orden superior
El concepto de derivada nos da bastante informaci´on acerca del comportamiento de una funci´on cerca de un punto. A veces es tambi´en interesante usar la derivada de la propia funci´on derivada. Se tiene la siguiente definici´on.
Definici´on 1.4.1 Sea f : (a, b) ⊂ R → R derivable en (a, b) y sea x 0 ∈ (a, b). Si la funci´on f ′^ (derivada de f ) es derivable en x 0 , entonces se dice que f es dos veces derivable en x 0 y se denota f ′′(x 0 ) = (f ′)′(x 0 ).
A este n´umero se le llama la derivada segunda de f en x 0. An´alogamente, se pueden definir las derivadas tercera, cuarta etc.
Observaci´on 1.4.2 Igual que vimos que la derivada primera de una funci´on se pod´ıa interpretar desde un punto de vista f´ısico como una velocidad, la derivada segunda se interpreta como una aceleraci´on.
Una de las primeras utilidades de la derivada segunda es que nos permiten dar una condici´on suficiente para que una funci´on alcance un m´aximo o un m´ınimo local en un punto. De hecho, se tiene
Proposici´on 1.4.3 Sea f = (a, b) ⊂ R → R, x 0 ∈ (a, b). Supongamos que f es dos veces derivable en x 0 y que f ′(x 0 ) = 0. Se tiene
- Si f ′′(x 0 ) > 0 entonces f alcanza un m´aximo local en x 0.
- Si f ′′(x 0 ) < 0 entonces f alcanza un m´ınimo local en x 0.
Pensamos sin embargo que la proposici´on (1.3.8) es m´as simple de usar ya que evita calcular la derivada segunda, adem´as surge el problema de qu´e ocurre si f ′′(x 0 ) = 0.
La utilidad principal que va a tener la derivada segunda en el presente curso va a ser que nos permite estudiar si una funci´on es convexa o c´oncava.
Definici´on 1.4.4 Sea f : (a, b) ⊂ R → R. Se dice que f es convexa (respectivamente c´oncava) en (a, b) si para todo x 1 , x 2 ∈ [a, b], x 1 ≤ x 2 , la gr´afica de f correspondiente al intervalo [x 1 , x 2 ] queda por debajo (respectivamente por encima) del segmento que une los puntos (x 1 , f (x 1 )), (x 2 , f (x 2 )).
Ejemplo 1.5.1 Representa gr´aficamente la funci´on
f (x) = log x √x.
Comenzamos calculando el dominio de la funci´on. Usando que la funci´on logaritmo s´olo est´a definida para valores de x positivos, √x para valores positivos y el cero y que el denominador s´olo se anula en x = 0. Se tiene
D(f ) = (0, +∞).
Ahora habr´ıa que estudiar las simetr´ıas. En este caso est´a claro que no puede haberlas ya que la funci´on no existe para valores negativos de x. Corte con los ejes (optativo): Corte con el eje de ordenadas no es posible ya que x = 0 no est´a en el dominio. Para el corte con el eje de abcisas tenemos que resolver log x √ x = 0^ ⇒^ log x^ = 0^ ⇒^ x^ = 1. La funci´on corta al eje de abcisas en el punto (1, 0). As´ıntotas horizontales: Calculamos
x→lim+∞^ log x^ √x =^ ∞∞ Aplicando la regla de l’Hˆoptital tendremos
m = (^) x→lim+∞^ log x √x = (^) x→lim+∞
(^1) x 2 √^1 x^ =^ x→lim+∞
√^2
x = 0.
Por tanto la recta y = 0 es una as´ıntota horizontal. Al haber una as´ıntota horizontal en +∞ y no estar definida la funci´on para valores negativos de x, no puede haber as´ıntota obl´ıcua. As´ıntotas verticales: Como la funci´on logaritmo se va a infinito en cero, calculamos
xlim→ 0 log x^ √x =^ −∞ 0 =^ −∞,
donde para el signo hemos usado que el denominador √x es positivo. Por tanto la recta x = 0 es una as´ıntota vertical. Crecimiento y decrecimiento, m´aximos y m´ınimos: Calculamos la derivada de f
f ′(x) =
(^1) x^ √x − 2 √ (^1) x log x x =
2 − log x 2 x^32.
Igualando f ′(x) a cero para calcular los posibles m´aximos y m´ınimos, tenemos
2 − log x = 0 ⇒ log x = 2 ⇒ x = e^2.
A continuaci´on miramos el signo de f ′^ en cada uno de los dos intervalos en los que este punto nos divide el dominio de f que son (0, e^2 ), (e^2 , +∞). Como sabemos que por continuidad f ′^ no cambia de signo en estos intervalos podemos tomar por ejemplo x = 1 ∈ (0, e^2 ) y calcular entonces f ′(1) = 1 > 0 con lo que f ′(x) > 0 en (0, e^2 ). Por tanto f es creciente en (0, e^2 ). An´alogamente tomando x = e^3 ∈ (e^2 , +∞) tenemos
f ′(e^3 ) = 2 −e^192 < 0.
Por tanto f es decreciente en (e^2 , +∞). La funci´on tiene un m´aximo en (e^2 , f (e^2 )) = (e^2 , (^2) e ). Concavidad y convexidad, puntos de inflexi´on: Calculamos la derivada segunda
f ′′(x) =^12
( 2 − log x x^32
=^12 −^
(^1) x x^32 − 32 x^12 (2 − log x) x^3 =^
−8 + 3log x 4 x^52. Igualando f ′′^ a cero se tiene
−8 + 3log x 2 x^52 = 0^ ⇒ −8 + 3log x^ = 0^ ⇒^ log x^ =
3 ⇒^ x^ =^ e
Miramos ahora el signo de f ′′^ en (0, e^83 ), (e^83 , +∞), se tiene
1 ∈ (0, e^83 ), f ′′(1) = − 2 < 0 ⇒ f ′′(x) < 0 en (0, e^83 )
e^3 ∈ (e^83 , +∞), f ′′(e^3 ) = (^4) e^1153 > 0 ⇒ f ′′(x) > 0 en (e^83 , +∞).
Deducimos por tanto que f es c´oncava en (0, e^83 ) y convexa en (e^83 , +∞). En el punto (e^83 , f (e^83 )) = (e^83 , (^3) e^8 43 ), hay un punto de inflexi´on. Con estos datos podemos ya dibujar la gr´afica de la funci´on.
