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Derivada de variable compleja
1 Derivabilidad
Sea f : C 7 −→ C definida en un entorno de z ∈ C es derivable en z si existe
lim (h 1 ,h 2 )−→(0,0)
f (z + h 1 + h 2 i) − f (z) h 1 + h 2 i ≡ f ′(z) ∀h 1 , h 2 ∈ R.
El número f ′(z) ∈ C se denomina derivada de f en z.
2 Función exponencial
La derivada en sentido complejo en C es
(ez)′^ = lim (h 1 ,h 2 )−→(0,0)
f (x+h 1 ,y+h 2 )− f (x,y) h 1 +h 2 i =^ (h 1 ,h 2 lim)−→(0,0)
ex+h^1 +i(y+h^2 )^ −ex+iy h 1 +h 2 i = lim (h 1 ,h 2 )−→(0,0)
ex^ eh^1 ei(y+h^2 )^ −ex^ eiy h 1 +h 2 i =^ (h 1 ,h 2 lim)−→(0,0)
ex^ eh^1 (cos(y+h 2 )+isin(y+h 2 ))−ex^ (cos(y)−isin(y)) h 1 +h 2 i = ex^ L e
h 1 cos(y+h 2 )+ieh 1 sin(y+h 2 )−cos(y)−isin(y) h 1 +h 2 i = ex^ lim t−→ 0
etcos (y+kt)+iet^ sin(y+kt)−cos(y)−isin(y) t( 1 +ik) = ex^ lim t−→ 0
etcos(y+kt)−ketsin (y+kt)+ietsin (y+kt)+iketcos(y+kt) 1 +ki = e
x (^) eyi (^) ( 1 +ki) 1 +ki =^ e
z (^).
Sea u(x, y) = excos(y) , v(x, y) = exsin(y) con f (z) = f (x, y) = ez^ = u + iv,
(ez)′^ = ux + ivx = lim t−→ 0
u(x + t, y) − u(x, y) t
v(x + t, y) − v(x, y) t
= ex^ lim t−→ 0
eiy(et^ − 1 ) t = ez^.
La derivada en sentido complejo en C de la función exponencial de variable compleja f (z) = ez^ es, aplicando la definición,
(ez)′^ = lim h−→ 0
f (z + h) − f (z) h
(nótese que la expresión anterior para h −→ 0 es equivalente a la definición para z −→ z 0 si y sólo si z 0 ≡ z + h), por tanto si definimos h ≡ (h 1 , h 2 ) = h 1 + h 2 i ∈ C , se sigue que el límite anterior es
lim (h 1 ,h 2 )−→(0,0)
f (x + h 1 , y + h 2 ) − f (x, y) h 1 + h 2 i = lim (h 1 ,h 2 )−→(0,0)
ex+h^1 +iy+h^2 i^ − ex+iy h 1 + h 2 i
haciendo un cambio de variable t = h 1 + h 2 i ∈ C , se tiene
lim t−→ 0
et+z^ − ez t
= ez^ lim t−→ 0
et^ − 1 t
= ez.
Nótese que reescribiendo la expresión anterior tenemos
(ez)′^ = lim t−→ 0
ex+t+iy^ − ex+iy t
= ez^ lim t−→ 0
et^ − 1 t
= ez^ lim t−→ 0
et t
= lim t−→ 0
ez+t t
= lim t−→ 0
ex+teiy t = lim t−→ 0
ex+t(cos(y) + isin(y)) t = lim t−→ 0
ex+tcos(y) t
ex+tsin(y) t
= lim t−→ 0
u(x + t, y) t
v(x + t, y) t = ux + ivx.
En conclusión, hemos demostrado, mediante cálculo multivariable en R^2 ≡ C , que
(ez)′^ = ux + ivx = ez^.
