Relación de orden en C
Definición. Una relación de orden total en un conjunto Aes una relación binaria
que cumple las siguientes propiedades:
•Reflexiva: Sea a∈A, entonces a=a.
•Antisimétrica: Sean a,b∈A, entonces si a≤by también a≥b, se tiene a=b.
•Transitiva: Sean a,b,c∈A, entonces si a≤by también b≤c, se tiene a≤c.
•Total: Sean a,b∈A, entonces estos dos elementos siempre cumplen una de estas
dos opciones y únicamente simultáneamente si y sólo si a=b. Las dos opciones posibles
son a≤boa≥b.
Definición. El conjunto Ces un cuerpo equivalente a (R2,+,·)con dos operaciones
internas (+,·), suma y multiplicación respectivamente, que se definen como
(x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2,y1+y2),∀(xi,yi)∈C,i=1, 2,
(x1,y1)·(x2,y2) = (x1x2−y1y2,x1y2+x2y1),∀(xi,yi)∈C,i=1, 2.
Proposición. El cuerpo algebraico Ccon alguna relación arbitraria de orden total es
incompatible con las dos operaciones internas definidas anteriormente.
Demostración. Primero, si no exigimos que el orden definido sea una prolongación
del orden de R, entonces, por ejemplo (−1, 0)≥(0, 0)no es una contradicción, es de he-
cho, la misma expresión que i2=i·i=−1≥0. Pero se sigue, por hipótesis de compati-
bilidad con la operación suma en C,(−1, 0)+(1, 0)≥(0, 0)+(1, 0) =⇒(0, 0)≥(1, 0 ).
Por lo anterior, (1, 0 )=(−1, 0)·(−1, 0)≥(0, 0)y entonces, (0, 0)≤(1, 0)≤(0, 0), que
es absurdo (ya que (1, 0)6= (0, 0)y contradice la propiedad de totalidad).
En consecuencia, sea quien fuere el orden definido en C, si el orden es compatible
con las operaciones algebraicas de Cllegamos a un absurdo, luego tal orden no existe
-el compatible con las operaciones algebraicas de C.
Si, por el contrario, un orden definido en Cno es compatible con las operaciones
algebraicas de Cno nos interesa matemáticamente para nada.
Si exigimos que el orden en Csea una prolongación del orden de Ry además fuera
compatible con las operaciones algebraicas definidas en C, entonces, tendría que ser
i2=i·i=−1≥0, que en este caso sí es una contradicción ya que se puede decir que
(−1, 0),(0, 0)∈R.
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