Polinomio interpolador de Lagrange-Sylvester
Para empezar, nótese que la condición f(A) = Pf,A(A)es equivalente a imponer que
f(A)v=Pf,A(A)vpara todo vde la base de Jordan de A. Veamos, en primer lugar, que
las condiciones (2) son necesarias para que P=Pf,A. En primer lugar, desconociendo
el valor de la expresión f(z)−P(z)se desarrolla por Taylor alrededor del i-ésimo auto-
valor λiya que pA(λi) = 0por la existencia del polinomio característico, entonces
f(z)−P(z)≡F(z) =
∞
∑
j=0
bij (z−λi)j,(1)
si P=Pf,Ase tiene
[Pf,A(z)−P(z)]vα1
i
1=0= [Pf,A(A)−P(A)]vα1
i
1= [ f(A)−P(A)]vα1
i
1=
∞
∑
j=0
bij (A−λi)jvα1
i
1=
ni−1
∑
j=0
bij vα1
i
j+1,
donde hemos utilizado las ecuaciones
vj+1= (A−λ)jv1,j=1, ..., k−1; (A−λ)kv1=0.
Por tanto
0=bij ≡1
j!(f−P)(j)(λi) = 0, j=0, ..., ni−1,
que son las ecuaciones
P(j)(λi) = f(j)(λi);i=1, ..., m,j=0, ..., ni−1, (2)
siendo niel índice del autovalor λi, correspondientes al autovalor λi.
Para demostrar que las ecuaciones (2) son suficientes para que P=Pf,A, al ser
deg P≤d(A)−1basta probar que f(A) = P(A), es decir, que [f(A)−P(A)]v=0
para todo vde la base de Jordan de A. Sea entonces vun vector de dicha base corre-
spondiente a un bloque de Jordan elemental de dimensión ky autovalor λi. Utilizando
el desarrollo (1) y teniendo en cuenta que bij =0si j=0, ..., ni−1por las ecuaciones
(2) obtenemos
1
