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Este modelo también es conocido como potencial, Cobb-Douglas de primer grado o exponencial inverso.
- Ecuación característica La función que define el modelo es la siguiente:
Yi=A*X
Bi
* E
En la cual: Yi : Variable dependiente, iésima observación A, B: Parámetros de la ecuación, que generalmente son desconocidos E: Error asociado al modelo Xi : Valor de la í-esima observación de la variable independiente Al sustituir los parámetros por estimadores, el modelo adopta la siguiente forma:
yi=a*x
b
i
la ecuación se transforma aplicando logaritmos de ambos lados, con lo cual se convierte a una forma lineal:
Ln yi= Ln a +b*Ln xi
- Tabla de datos Para el ajuste de un conjunto de datos al modelo geométrico de regresión, se construye la siguiente tabla de datos:
X Y Ln x Ln y (ln x)^2 (ln y)^2 Ln X*ln y
Σln x Σln y Σ(ln x)^2 Σ(lny)^2 ΣLnx*lny
Debido a las propiedades de los logaritmos, ningún valor de x ni de y puede ser negativo. En tal caso, lo que se hace es definir un valor de x o de y muy pequeño (Ej: 0.00000001) Se puede trabajar con logaritmos naturales o logaritmos base 10.
- Estimadores del modelo los estimadores para el ajuste del modelo se calculan de la siguiente manera Será necesario utilizar antilogaritmos para obtener el valor final de a
- Análisis de varianza para la regresión Con el objeto de determinar si el modelo explica o no el fenómeno en estudio, se realiza el análisis de varianza, que se calcula de la siguiente manera
Fuente de Variación Grados de libertad Suma de cuadrados Cuadrado medio F calculada F tabulada Regresión 1 b* (ΣLnxlny- Σ(Lnx)*Σ(lny)/n) S.C. Reg/1 C.M.Reg/C.M.Error Error n- 2 S.C. Total- S.C. Regresión
S.C.
Error/(n-2) Total n- 1 Σ(lny)^2 - (Σlny)^2 /n n- 1 Ho: El modelo no explica el fenómeno en estudio Ha: El modelo sí explica el fenómeno en estudio
- Para buscar en la tabla la F tabulada, se usan el el numerador los grados de libertad de regresión y en el denominador, de acuerdo al nivel de significancia escogido (los más usuales son al 5% y al 1%)
- Si el valor de F calculada es mayor que el de F tabulada, se rechaza Ho, en caso contrario se acepta
- Grado de ajuste del modelo Para determinar el grado de ajuste del modelo, se calcula el coeficiente de determinación, de la siguiente manera El valor de r^2 tiene un rango entre 0 y 1. No puede obtenerse valores negativos
- Pruebas de Hipótesis para el modelo 7.1 Para el coeficiente b Para probar la hipótesis de que el coeficiente b es igual a un valor b´, ser igual a cero, se procede de la siguiente manera: i) Se plantea la hipótesis Ho:b=b´ y la alternativa Ha: b≠ b´ ii) Se calcula el estadístico : Sb es conocido como el error standard de b y se calcula de la siguiente manera: El cuadrado medio del error se obtiene del anàlisis de varianza. iii) Se busca en la tabla de t de student el valor tabulado para los siguientes datos: n-2 grados de libertad y un nivel α/ iv) Si el valor de t calculado es mayor que el tabulado, se rechaza la Ho, en caso contrario, se acepta. 7.2 Para el coeficiente a Se puede probar la hipótesis de que el coeficiente a es igual a un valor a´, para lo cual se sigue el siguiente procedimiento: i) Se define la hipótesis: Ho: a=a´ y la alternativa Ha: a≠a´ ii) Se calcula el error standard para a con la siguiente fórmula:
El cuadrado medio del error se obtiene del análisis de varianza El valor de t se obtiene de la tabla de t de student con n-2 grados de libertad y un nivel α/ El valor de xm que aparece en la fórmula es el promedio de valores de x
- Càlculo de estimadores, coeficiente de determinaciòn y anàlisis de varianza mediante el uso de matrices Un mètodo alternativo para realizar los càlculos, es el uso de matrices. En este caso, el procedimiento es el siguiente: i) formar la matriz x: (matriz de variable independiente), agregando la primera columna formada por unos:
1 Ln x 1
1 Ln x 2
1 Ln xn
ii) Formar el vector de logaritmos de y
Ln y 1
Ln y 2
Ln yn
iii) Formar la matriz x transpuesta ( x´)
Ln x 1 Ln x 2 ... Ln xn
iv) Calcular el producto matricial x´x V) Calcular la inversa del producto [ o sea (x´x)-^1 ] vi) Calcular el producto x´y vii) Calcular el producto (x´x)-^1 *(x´y)=b El resultado de esta operaciòn es el vector de coeficientes de regresiòn (el primero es el logaritmo de a y el segundo es b). El valor de b sale directamente, mientras que el de a está en forma logarìtmica, de modo que para formar la ecuaciòn original se obtiene el antilogaritmo. viii) Para el càlculo del anàlisis de varianza, se tienen las siguientes operaciones matriciales: Fuente de Variación Grados de libertad Suma de cuadrados Cuadrado medio F calculada F tabulada Regresión 1
b´( x´ )(y)- nym^2
S.C. Reg/1 C.M.Reg/C.M.Error * Error n- 2 y´y-b( x´ )(y) S.C. Error/(n-
Total n- 1 y´y- nym^2 n- 1
El valor de ym que aparece en las fórmulas es el promedio de los logaritmos de y
ix) Finalmente, el coeficiente de determinaciòn por matrices se obtiene de la siguiente manera:
r
= {b´(x´)(y)- nym
}/(y´y- nym
- Por fin un ejemplo! Se realizó un estudio comparativo del nivel de ruido (en decibeles) producido por discotecas rodantes, se procedió a evaluar diferentes niveles de potencia (en vatios). Los datos finales fueron:
POTENCIA DECIBELES
En base a los datos anteriores: a) Construya un diagrama de dispersión b) Efectúe la estimaciòn del modelo logarítmico c) Determine el grado de ajuste e interprételo d) Elabore el análisis de varianza y discútalo e) Qué lectura se obtendría con un potencia de 3000 vatios? f) Pruebe la hipòtesis que b=1 con un 99% de confianza g) Calcule intervalo de confianza al 95% para a y b h) Efectùe la estimaciòn del modelo, el andeva y obtenga el coeficiente de determinaciòn por medio de matrices. a) Diagrama de Dispersión El diagrama de dispersión muestra una tendencia logarítmica, pues aunque hay incrementos fuertes de potencia, los niveles de ruido no crecen excesivamente. b) Estimadores del modelo i) Tabla de Datos: x y Ln x Ln y (ln x)2 (ln y)2 LnxLny* (^100 60) 4.6052 4.0943 21.2076 16.7637 18. (^500 80) 6.2146 4.3820 38.6214 19.2022 27. (^1000 90) 6.9078 4.4998 47.7171 20.2483 31. (^5000 99) 8.5172 4.5951 72.5426 21.1151 39. (^10000 120) 9.2103 4.7875 84.8304 22.9201 44. SUMAS: 35.4551 22.3588 264.9190 100.2493 160.
