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materiales de matemáticas
14. Derivadas Matemáticas CCSS I – 1º Bachillerato
1. Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo 1, 3e indica si dichas funciones crecen o
decrecen en ese intervalo.
a) ( )
f x x
= ; b) ( ) ( )
3
f x = 2 − x ; c) ( )
2
f x = x − x + 1 ; d) ( ) 2
x f x =
2. Dada la función ( )
2
f x = x − 1 , halla la tasa de variación media en el intervalo 2, 2 + h .
3. Comprueba que la TVM de la función ( )
2
f x = − x + 5 x − 3 en el intervalo 1, 1 + h es igual a − h + 3.
Calcula la TVMde esa función en los intervalos ^ 1, 2 , ^ 1, 1,5 , utilizando la expresión anterior.
4. Compara la TVM de las funciones ( )
3
f x = x y ( ) 3
x
g x = en los intervalos 2 , 3y 3, 4, y di cuál de las
dos crece más en cada intervalo.
5. Aplicando la definición de derivada, calcula f^^ '^ ( −^2 )y f^ ' 3( ), siendo ( )
x f x
- Halla la derivada de las siguientes funciones en x = 1 , utilizando la definición de derivada:
a) ( )
2
f x = 3 x − 1 ; b) ( ) ( )
2
f x = 2 x + 1 ; c) ( )
f x x
= ; d) ( )
f x x
7. Halla el valor del crecimiento de ( ) ( )
2 (^) f x = x − 3 en los puntos (^) x = 1 y (^) x = 3 , aplicando la definición de
derivada.
- Halla la pendiente de la recta tangente a la curva
2 y = x − 5 x + 1 en el punto de abscisa (^) x = − 2 , utilizando la
definición de derivada.
- Halla la pendiente de la recta tangente a la curva
2 y = 4 x − x en el punto de abscisa x = − 2 , aplicando la
definición de derivada.
- Comprueba, utilizando la definición de derivada en cada caso.
a) f ( x ) = 5 x f ' ( x )= 5 ; b) ( ) ( )
2
f x = 7 x f ' x = 14 x ; c) ( ) ( )
2 f x = x + x f ' x = 2 x + 1 ;
d) ( ) ( )
2
f x f ' x x x
- Halla la función derivada de estas funciones y calcula su valor en los puntos que se indican.
a) ( )
3 2
f x = 2 x + 3 x − 6 , x = 1 ; b) f ( x ) = cos 2( x + ) , x = 0 ; c) ( )
x f x = + x = − ;
d) ( )
f x x x
; e) ( ) sen cos ,
x x
f x = + x = ; f) ( )
3
f x x
x
;
g) ( )
3 (^3 ) , 2 2 2 2
x x
f x = + x − x = ; h) ( )
f x x x
; i) ( ) sen ( ),
f x x x x
j) ( ) ( )
^ f^ x^ =^ x^ −^ x = ; k) ( )
x f x x x
- Halla la función derivada de las siguientes funciones y simplifica, en la medida de lo posible, el resultado.
a) ( )
x x e e f x
−
= ; b) ( ) ( )
3 2
f x = x − 3 ; c) ( )
3 2
2
x x f x x
= ; d) ( )
2
f x = x + 1 ; e) ( ) ( )
3 2 f x = x + 6 ;
f) f ( x )= sen x ; g) ( )
2
f x
x
; h) ( )
1 7
x x f x e
= ; i) ( )
x f x x
= + ; j) ( ) ln 3
x f x = x + e ;
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14. Derivadas Matemáticas CCSS I – 1º Bachillerato
k) ( )
2
2 1
x f x x
; l) ( )
2 tg
x f x = e x ; m) ( )
( )
3
2 1
x f x
x
; n) ( )
2 sen cos
x f x = x + e ;
ñ) ( )
3
2 4
x f x x
; o) ( )
3 1
2
x x f x e
; p) ( )
sen 2
f x
= ; q) ( )
2
log 3
x f x x
; r) ( )
3 2 f x = tg x ;
s) f ( x )= ln x ; t) ( )
2
arcsen 3
x
f x = ; u) ( ) ( )
2
f x = arctg x + 1 ; v) ( )
f x arccos x
= ; w) ( ) arctg
x f x = ;
x) f ( x ) = arctg x ; y) ( )^ arccos^
x f x e
−
= ; z) f ( x )= x + x ; α) ( )
arctg 1
x f x x
- Halla los puntos en los que la derivada es igual a 0 en las siguientes funciones:
a)
2 y = 3 x − 2 x + 1 ; b)
3 y = x − 3 x
14. Obtén los puntos donde f ' ( x ) = 1 en los siguientes casos:
a) ( )
2
f x = x − 3 x + 2 ; b) ( )
x f x x
- Halla los puntos en los que la derivada de cada una de las siguientes funciones es igual a 2 :
a)
2 y = x − 2 x ; b) 2
x y x
; c) y = 4 x + 3 ; d) y^ =^ ln 4( x −^1 )
- Halla los puntos en los que la derivada vale 0 en cada uno de los siguientes casos:
a)
2 y = 2 x − 8 x + 5 ; b)
2 y = − x + 5 x ; c)
4 2 y = x − 4 x ; d) 2
y x
- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva
2 y = x − 5 x + 6 en el punto de abscisa x = 2.
- Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva
2 y = − x + 2 x + 5 en el punto de abscisa x = − 1.
- Escribe la ecuación de la recta tangente a
2 y = x + 4 x + 1 , cuya pendiente sea igual a 2.
- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x + 1 en x = 0.
- Obtén los puntos críticos o singulares de las siguientes funciones:
a)
2 y = 3 x − 2 x + 5 ; b)
3 2 y = 2 x − 3 x + 1 ; c)
4 3 y = x − 4 x ; d)
3 y = x − 12 x
- Halla los puntos singulares de las siguientes funciones:
a)
2 x 1 y x
= ; b)
2
2
x y x
- Comprueba que las siguientes funciones no tienen puntos críticos:
a)
3 y = x + 3 x ; b)
y x
= ; c) y = x ; d) y =ln x
- Observa los resultados obtenidos en el ejercicio 11 y di si cada una de las funciones es creciente o decreciente en
el punto que se indica.
- Obtén los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada una de las siguientes funciones:
a)
x y
= ; b) y = 5 − 2 x ; c)
2 y = x − 3 x + 2 ; d)
2 y = 2 x − x ; e)
2 y = x ; f)
3 y = x − 3 x
26. Dada la función ( )
3 2 f^ x^ =^ x^ −^6 x^ +^9 x +^4 , obtén su función derivada y estudia su signo. ¿Cuáles son los
intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f? ¿Tiene f máximo o mínimo?
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14. Derivadas Matemáticas CCSS I – 1º Bachillerato
- En cada una de las siguientes funciones, halla los puntos críticos o singulares y, con ayuda de las ramas infinitas,
decide si son máximos o mínimos. Represéntalas.
a)
3 2 y = x − 3 x ; b)
3 y = x − 3 x + 2 ; c)
4 3 y = x + 4 x ; d)
3 2 y = x − 9 x + 24 x − 20 ; e)
3 y = 12 x − x ;
f)
4 2 y = − x + x ; g)
5 3 y = x − 6 x − 8 x − 1 ; h)
4 2 y = x − 8 x + 2
- Representa las siguientes funciones hallando los puntos críticos o singulares y estudiando sus ramas infinitas.
a)
3 2 y = x − 2 x + x ; b)
4 2 y = − x + 2 x ; c) 2 5 4
x y x x
;
d) 2
y x x
; e)
2 5
x y
x
; f)
2 2
x y x
- Comprueba que estas funciones no tienen puntos de tangente horizontal. Represéntalas estudiando sus ramas
infinitas y los puntos de corte con los ejes.
a)
x y x
; b)
2 x 1 y x
= ; c)
3
4 3
x y = + x ; d)
2
y
x
- Estudia y representa las siguientes funciones:
a) 2 16
x y x
; b) 2 1
x y x
; c) 2
x y x x
; d)
2 1
x y x
; e)
2 1
x y x
; f)
2
2 1
x y x
;
g)
2
2 4 3
x y x x
; h)
( )
2
2 2
x y
x
; i)
2
2
x x y x x
; j)
2 5
x y x
44. Halla una función de segundo grado sabiendo que pasa por ( 0, 1)y que la pendiente de la recta tangente en el
punto ( 2 , − 1 )vale 0.
- Halla el vértice de la parábola
2 y = x + 6 x + 11 teniendo en cuenta que en ese punto la tangente es horizontal.
- Determina la parábola
2
y = ax + bx + c que es tangente a la recta y = 2 x − 3 en el punto A ( 2 , 1)y que pasa
por el punto B^ ( 5,^ −^2 ).
- Determina el valor de x para que las tangentes a las curvas
2 y = 3 x − 2 x + 5 e
2 y = x + 6 x sean paralelas y
escribe las ecuaciones de esas tangentes.
48. Halla a , b y c en ( )
3 2 f x = x + ax + bx + c de modo que la gráfica de f tenga tangente horizontal en x = − 4
y en x = 0 y que pase por ( 1, 1).
- Halla el valor de (^) k para que la tangente a la gráfica de la función
2 y = x − 5 x + k en (^) x = 1 pase por el origen de
coordenadas.
- Demuestra, utilizando la derivada, que la abscisa del vértice de la parábola
2 y = ax + bx + c es 2
b x a
- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y =ln x que es paralela a la recta y = 3 x − 2.
- ¿Tiene algún punto de tangente horizontal la función y =tg x?
53. El coste total (en dólares) de fabricación de q unidades de cierto artículo es ( )
2 C q = 3 q + 5 q + 75. El coste
medio por unidad es ( )
C q ( )
M q q
=. ¿Cuántas unidades se deben fabricas para que el coste medio por unidad
sea mínimo? Calcula^ C^ ( q )y^ M^ ( q )para el valor de q que has hallado anteriormente.
