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Matemática
DERIVADAS
Derivada de
una función
en un punto
Definición.
Si f(x) es una función continua y a es un punto de su dominio, la derivada de f en a se
define como:
x a
f(x) f(a) lím x a
Si el límite existe y es un número real, se dice que f es derivable en a. Al valor del
límite se lo llama derivada de f en a y se lo denota f'(a)
Si el límite no existe en a , esto es, cuando x tiende a a por izquierda y por derecha,
resulta que los límites laterales son distintos, decimos que la función no es
derivable en a.
Al cociente x a
f(x) f(a)
se lo llama cociente incremental. Por lo que la derivada de
la función en a es el límite cuando x tiende a a del cociente incremental.
Como x está próximo a a podemos escribir que x = a + h siendo h un número
pequeño, en valor absoluto muy próximo a cero. Y es x - a = h
Por lo que podemos escribir a x a
f(x) f(a)
como h
f( ah)f(a)
Y entonces es
x a
f(x) f(a) f(a) lím
x x 0
'
h
f(a h) f(a) lím h 0
El número f '(a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a; f(a))
Llamamos recta tangente al grafico de una función en el punto (a; f(a )) a la recta que
pasa por ese punto y cuya pendiente es f'(a)
Ejemplo 1.
Calcular, usando la definición de derivada, f' (a)si f(x) = x
2
Solución.
Por definición es h
f(a h) f(a) f '(a) lím h 0
En el este caso es a = 1, por lo que debemos hallar:
h
f( 1 h) f( 1 ) f '( 1 ) lím h 0
Para ello calculamos
f(1+ h) = (1+h)
2
2
= 2h + h
2
f(1) = 1
2
@ubaunidos
Matemática
Reemplazamos en la fórmula:
h
2 h h lím h
2 h h 4 4 f'( 1 ) lím
2
h 0
2
h 0
La última expresión podemos escribirla como:
lím( 2 h ) h
h( 2 h) lím h 0 h 0
Por lo que es
lím( 2 h) 2 h
f( 1 h) f( 1 ) lím h 0 h 0
En consecuencia la pendiente de la recta tangente a la función en el punto
(a; f(a)) = (1; 4) es
f' (a) 2
Observación.
Si en vez de calcular f '(a) mediante
h
f( 1 h) f( 1 ) f '( 1 ) lím h 0
lo hacemos por la fórmula
x 1
f(x) f( 1 ) f '( 1 ) lím x 1
llegamos al mismo resultado:
x 1
x 1 lím x 1
x 3 4 lím x 1
f(x) f( 1 ) f'( 1 ) lím
2
x 1
2
x 1 x 1
Como es x
2
- 1 = (x+1)(x-1) reemplazando es:
límx 1 2 x 1
(x 1 )(x 1 ) lím x 1
x 1 lím x 1
f(x) f( 1 ) f' ( 1 ) lím x 1 x 1
2
x 1 x 1
Ejemplo 2
Calcular, usando la definición de derivada, f' (a)si f(x) = 3 - x y a = 0
Solución
Por definición es
h
f(a h) f(a) f '(a) lím h 0
Y siendo a = 0 es
h
f( 0 h) f( 0 ) f '( 0 ) lím h 0
Calculamos:
f(0+h) = 3 – (0+h) = 3 – h
f(0) = 3 – 0 = 3
@ubaunidos
Matemática
La recta y la curva se intersecan en el punto (2; 2).
Por lo que el punto (2; 2) pertenece a la recta tangente.
Como la ecuación de la recta tangente es
y – f(a) = f '(a)(x – a).
Reemplazamos
y – 2 = 3 (x – 2)
o bien ;
y = 3x – 4
Graficamos la función y la recta tangente a la misma en el punto (3; 2)
Para determinar la recta tangente a una función en un punto de su dominio, seguimos
estos pasos:
Calculamos la pendiente de la recta tangente calculando la derivada de la función
en el punto x = a.
Usamos este resultado y el punto (a; f(a)) en la ecuación de la recta:
y f(a) f'(a)(xa )
¿Existe
siempre la
derivada
en un
punto?
Veremos ahora que no siempre existe la derivada de una función en un punto del dominio.
Para que exista
h
f(a h) f(a) f (a) lím h 0
Debe existir el límite para x h y además ese límite debe ser un número real.
Ejemplo 4
Consideremos la función f(x) = |x| y veamos si es derivable en x = 0
Para ello, calculamos
h
f(a h) f(a) lím
h 0
Siendo a = 0 calculamos:
f(a+h) = f(0 + h) = |0 +h| = |h|
f(0) = |0| = 0
@ubaunidos
Matemática
Y reemplazamos
h
h 0 lím h
f(a h) f(a) lím
h 0 h 0
Como |h| = h si h 0 y |h| = -h si h < 0 por definición de la función módulo,
debemos considerar qué sucede en cada uno de estos casos, calculando los límites
laterales:
h
h lím h
h 0 lím h
h 0 lím
h
h lím h
h 0 lím h
h 0 lím
h 0 h 0 h 0
h 0 h 0 h 0
Vemos que los límites laterales no
son iguales, por lo que no existe
h
h 0 lím
h 0
(recordemos que para que exista el
límite de una función en un punto los
límites laterales deben ser iguales).
Luego la función f(x) = |x| no es
derivable en x = 0
Ejemplo 5
Tampoco es derivable en x = 1 la función
del gráfico.
h
f(a h) f(a) lím
h
f(a h) f(a) lím
h 0
h 0
En este caso, los límites laterales para h 0
son distintos por lo que no existe la
derivada de la función en x = 1.
Luego la función no es derivable en x = 1.
La función no es continua en x = 1 y
no es derivable en x = 1
@ubaunidos
Matemática
La expresión que nos permite calcular la derivada en cada uno de esos puntos es, como
se ha visto:
h
f(a h) f(a) f '(a) lím h 0
Ayudémonos con una tabla:
x = -1 x = 0 x = 1
f (a +h) (-1 + h)
2 –(-1+h)
1 - 2h + h
2 +1 – h
2 - 3h + h
2
(0 + h)
2
h
2
(1 + h)
2
1 + 2h + h
2 -1-h
h + h
2
f(a) (-1)
2
2
2
h
f(a h) f(a) f '(a) lím h 0
h
2 3 h h 2 lím
2
h 0
3 h
h( 3 h) lím
h
3 h h lím
h 0
2
h 0
h
h h 0 lím
2
h 0
1 h
h(h 1 ) lím
h
h h lím
h 0
2
h 0
h
h h 0 lím
2
h 0
1 h
h( 1 h) lím
h
h h lím
h 0
2
h 0
f' ( 1 ) 3 f' ( 0 ) 1 f' ( 1 ) 1
Tenemos ahora:
f' ( 1 ) 3 f '( 0 ) 1 f '( 1 ) 1 f '( 2 ) 3
Si representamos los puntos en ejes cartesianos, observamos que están situados
sobre una recta.
Podemos comprobar que la ecuación de esa recta es y = 2x – 1
Pero entonces la recta de ecuación y = 2x -1 contiene a todos los puntos de la forma
(a; f’(a)) para cualquier a que pertenezca al dominio de la función, donde x = a es un
elemento cualquiera del dominio y f’(a ) es la derivada de la función en el punto a.
Esta afirmación nos permite decir que para cualquier punto del dominio de f podemos
encontrar la derivada en ese punto, sólo reemplazando en
y = 2x – 1
Por ejemplo,
si x = 3; y = 2. 3 – 1 = 5
lo que significa que para el elemento x= 3 del dominio, la derivada en ese punto es 5. Esto
es f' ( 3 ) 5
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Matemática
De este modo hemos encontrado una función que transforma cada x en 2x – 1.
A esta función la llamamos función derivada y la nombramos f’.
En el ejemplo anterior
f(x) = x
2
- x
Es f '(x) 2 x 1
También se anota:
( x x)' 2 x 1
2
Definición Se llama función derivada de f a una función f’ que asocia a cada punto x la derivada de f
en ese punto, f’(x).
Notemos que.
la derivada de una función f es ella misma una función, que puede ser utilizada
para hallar la pendiente de la recta tangente en el punto (x; f(x)) de la gráfica de f.
A partir del concepto de derivada de una función podemos deducir reglas que nos
permiten calcular las derivadas sin necesidad de recurrir cada vez al cálculo del límite.
Veremos cómo se llega a algunas de estas reglas haciendo uso de la definición de
derivada en un punto.
Ejemplo 7
Calculamos la derivada de la función constante f(x) = k (k es un número real)
Solución.
Nos proponemos calcular f '(a) para a = x, siendo x un punto cualquiera del dominio de
f.
Recordemos que la función constante está definida para todos los números reales.
Como antes, calculamos h
f(a h) f(a) f' (a) lím h 0
Por ser x = a, es f(a+h) = f(x+h) = k
f(a) = f(x) = k
ya que todos los elementos del dominio de f tienen por imagen al número real k.
Luego es: 0 h
lím h
k k lím h
f(x h) f(x) f '(x) lím h 0 h 0 h 0
Entonces, si f(x) = k es f '(x) = 0
Si f(x) = k (k es una constante) entonces f (x) (k) 0
' '
Esto es, la derivada de una función constante es cero.
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Matemática
Multiplicando numerador y denominador por x h x
h( x h x )
( x h x)( x h x) lím
h
x h x lím h
f(x h) f(x) f'(x) lím
h 0
h 0 h 0
El numerador es una expresión de la forma (a + b) (a – b) = a
2
2
Si usamos esta igualdad el numerador nos queda:
x h x h
( x h x)( x h x) ( x h) ( x)
2 2
Reemplazamos:
2 x
( x h x)
lím
h( x h x)
h lím
h 0
h 0
Luego es 2 x
f '(x) .
Observamos que mientras que el dominio de f es Dom(f) = [0; +), el dominio de
la derivada es Dom(f ’) = (0; +).
Esto significa que no existe la derivada de la función cuando x es igual a cero.
En este caso, la recta tangente es vertical, por lo que su pendiente no está
definida en x = 0, como se observa en el gráfico.
Si f (x) x , x [0; +) entonces es
2 x
f' (x) , con x (0; +)
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Matemática
De manera similar (aunque no siempre al alcance de este curso) puede mostrarse que:
- Si f es derivable y c es un número real, entonces h(x) = c.f(x) es derivable y su
derivada es h (x) c.f(x)
' '
- Si las funciones f y g son derivables y
h(x) = f(x) + g(x), entonces h (x) f(x) g(x)
' ' '
h(x) = f(x) - g(x) , entonces h (x) f(x) g(x)
' ' '
La derivada de una suma (o de la diferencia) de dos funciones derivables es la
suma (o diferencia) de sus derivadas.
- Si f y g son dos funciones derivables y es h(x) = f(x). g(x) entonces es derivable y
su derivada es h (x) f(x).g(x) f(x).g(x)
' ' ' .
La derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera función
multiplicada por la segunda más la primera multiplicada por la derivada de la
segunda función.
- Si f y g son dos funciones derivables y es g(x) 0, entonces g(x)
f(x) h( x) es
derivable y su derivada es
2
' ' '
g(x )
f(x).g(x) f(x)..g(x) h (x)
También pueden verificarse las siguientes reglas.
- Si f(x) = k, con k entonces f (x)
' = 0
- Si f(x) = mx + b, con m y m0 entonces f (x)
' = m
- Si f(x) = x entonces f (x)
' = 1
- Si f(x) = x
2 entonces f (x)
' = 2x
- Si f(x) = x
3 entonces f (x)
' = 3x
2
- Si f(x) = x
n , con n y n1 entonces f (x)
' = n x
n-
- Si f(x) = lnx entonces x
f' (x)
- Si f(x) = e
x entonces f (x)
' = e
x
- Si f(x) = a
x , con a>0 y a1, entonces f (x)
' = a
x lna
- Si f(x) = logax, con a>0 y a1, entonces xlna
f '(x)
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b) f(x) = x
2 x
La función f es la diferencia de funciones h(x) = 2 x y x
g( x)
El dominio de f es Dom(f ) = (0; +)
Su derivada f’ es la diferencia de las derivadas de h y g.
f (x) h(x) g'(x )
' '
Calculamos la derivada de h(x) = 2 x
Como h es el producto de una constante por una función, su derivada es
la constante por la derivada de la función.
Para derivar x , escribimos la raíz en forma de potencia: 2
1
x x y
podemos aplicar la derivada de una potencia:
x
x 2
x 2
x 2
1 1 2
1
'
2
1
Entonces es
x
x
h(x) 2.
'
Calculamos la derivada de x
g( x)
Podemos escribir x
g( x) 7.
Como g es el producto de una constante por una función, su derivada es
la constante por la derivada de la función.
Para calcular la derivada de x
hacemos:
1 x x
Luego, es 2
11 2
' 1
x
x 1 x x
Entonces es 2
'
x
g (x) 7.
Y
2 2
' '
x
x
x
x
f (x) h(x) g'(x)
Por lo que la derivada de f(x) = x
2 x es 2
'
x
x
f (x)
El domino de la derivada es Dom(f’) = (0; +)
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c) f(x) = (^3 )
2
2 x
x
El dominio de f es Dom(f) = -{0}
La función f es suma de las funciones h(x) = x
2 y g(x) = (^3 ) 2 x
por lo que su derivada es f (x) h(x) g'(x)
' '
La derivada de h(x) = x
2 es h’(x) = 2x
Calculamos la derivada de g(x) = (^3 ) 2 x
Para ello comencemos por escribir (^3 2 3 ) x
2 x
g( x)
Y a la vez: 3
2
3
3 2 2
x
x
x
Entonces
(^3 )
3
5
1 3
2
'
3
2
'
(^3 )
'
x
x 3
x 3
x 2
x
g(x)
(Observen que para hallar g’ usamos las mismas propiedades que
en los ítems anteriores)
Luego es (^3 )
' '
x
f (x)h(x)g'(x) 2 x
Por lo que la derivada de f(x) = (^3 )
2
2 x
x es (^3 )
'
x
f (x) 2 x
d) f(x) = (x
2 +1) cosx
La función f es el producto de las funciones h(x) = x
2
Entonces para derivar f usamos la regla del producto y es:
f (x) h(x)..g(x) h(x).g(x )
' ' '
La derivada de h(x) = x
2
' (usamos derivada de la
suma, derivada de una potencia y derivada de una constante)
La derivada de g(x) = cosx es g(x) senx
'
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Derivadas
sucesivas
Como la derivada de una función f es también una función, como tal podemos derivarla y
obtener de ella su derivada. A esta nueva función la llamamos derivada segunda de f.
Lo anotamos: f” (x)
Del mismo modo, al ser f” una función, podemos seguir derivándola y obtener la tercera,
cuarta … n-èsima derivada de f.
A estas nuevas funciones se las denomina funciones derivadas sucesivas de f.
Ejemplo 12.
Si f(x) = 3x
4
3
2
- 3 sus derivadas sucesivas son:
Derivada primera: f ’(x) = 12x
3
2
Derivada segunda: f”(x) = 36x
2
Derivada tercera: f (x)
'' ' = 72x – 6
Derivada cuarta: f
V (x) = 72
Las derivadas sucesivas son todas iguales a cero.
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