Matrices y determinantes
Matrices
𝐴𝐴𝑚𝑚×𝑛𝑛=�𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖�𝑖𝑖=1,2,…,𝑚𝑚
𝑖𝑖=1,2,…,𝑛𝑛 esta matriz tiene m filas y n columnas. El número i determina la fila y
el número j determina la columna. Por ejemplo a23 es el elemento que está situado en la
segunda fila y la tercera columna.
Operaciones con matrices
Suma: Para sumar dos matrices tienen que tener la misma dimensión (número de filas y de
columnas), cada elemento se suma con el que ocupa la misma posición en la otra matriz
𝐴𝐴𝑚𝑚×𝑛𝑛+𝐵𝐵𝑚𝑚×𝑛𝑛=�𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖+𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖�𝑖𝑖=1,2,…,𝑚𝑚
𝑖𝑖=1,2,…,𝑛𝑛
Producto por un número: Se multiplica a cada elemento de la matriz por el número
𝑡𝑡.𝐴𝐴𝑚𝑚×𝑛𝑛=�𝑡𝑡.𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖�𝑖𝑖=1,2,…,𝑚𝑚
𝑖𝑖=1,2,…,𝑛𝑛
Producto de matrices: El número de columnas de la primera tiene que coincidir con el número
de filas de la segunda. La matriz producto tiene el número de filas de la primera y el número de
columnas de la segunda 𝐴𝐴𝑚𝑚×𝑛𝑛𝐵𝐵𝑛𝑛×𝑝𝑝=𝐶𝐶𝑚𝑚×𝑝𝑝
Observar que A.B generalmente es diferente de B.A y en muchos casos ni siquiera se podrá
hacer la multiplicación.
Rango de una matriz: Número de filas o columnas no nulas de una matriz equivalente
escalonada.
Operaciones elementales: Transforman una matriz en otra equivalente. Las matrices
equivalentes tienen el mismo rango. Son las operaciones que se hacen en el método de Gauss
(intercambiar entre si dos filas o columnas, multiplicar una fila o columna por un número real
≠0, añadir a una fila o columna otra multiplicada por un número ≠0)
Inversa de una matriz: la matriz tiene que ser cuadrada y regular (con determinante ≠0)
𝐴𝐴−1=1
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐴𝐴)�𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐴𝐴)�𝑑𝑑 propiedades (𝐴𝐴.𝐵𝐵)−1=𝐵𝐵−1.𝐴𝐴−1 (𝐴𝐴−1)−1=𝐴𝐴
Método de Gauss: (A|In) mediante operaciones elementales se transforma en (In|A-1)
Traspuesta de una matriz: Se obtiene cambiando filas por columnas si 𝐴𝐴𝑚𝑚×𝑛𝑛=�𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖�𝑖𝑖=1,2,…,𝑚𝑚
𝑖𝑖=1,2,…,𝑛𝑛
entonces 𝐴𝐴𝑑𝑑𝑛𝑛×𝑚𝑚=�𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖�𝑖𝑖=1,2,…,𝑛𝑛
𝑖𝑖=1,2,…,𝑚𝑚 propiedades (𝐴𝐴.𝐵𝐵)𝑑𝑑=𝐵𝐵𝑑𝑑.𝐴𝐴𝑑𝑑 (𝐴𝐴𝑑𝑑)𝑑𝑑=𝐴𝐴
