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DETERMINANTES
1.1 Definici´on: Sea K un cuerpo. Para cada n ∈ N definimos la funci´on determinante det : Matn(K) → K A 7 → det(A) como aquella funci´on que cumple las siguientes propiedades:
D1) Si A = (A 1 ,... , Ai,... An) ∈ Matn(K) con Ai = αC + βD, para C, D ∈ Rn, entonces
det(A) = α det(A 1 ,... , B,... , An) + β det(A 1 ,... , C,... , An),
es decir, el determinante es lineal como funci´on de las n filas A.
D2) Si A es una matriz con dos filas iguales, entonces det(A) = 0.
D3) det(In) = 1.
1.2 Propiedades: Como consecuencia de los axiomas D1), D2) y D3) de la definici´on de determinante se obtienen las siguientes propiedades
D4) Al intercambiar dos filas de una matriz A ∈ Matn(K), el determinante cambia de signo (obs: si K = Z 2 el determinante permanece igual al intercambiar dos filas).
D5) El determinante no var´ıa si a una fila de A ∈ Matn(K) le sumamos otra fila de A multiplicada por un n´umero t ∈ K.
D6) Si multiplicamos una fila de A por un n´umero t ∈ K el determinante de A se multiplica por t. 1.3 Teorema. Para cada n ∈ N existe una ´unica funci´on determinante que se calcula como
det(A) =
σ∈Sn
(−1)σ^ a 1 σ(1) · · · anσ(n), A = (aij ) ∈ Matn(K)
donde Sn denota el conjunto de todas las permutaciones de n elementos y (−1)σ es +1 o -1 seg´un la permutaci´on σ sea par o impar.
Demostraci´on. La f´ormula se prueba haciendo operaciones elementales por filas hasta transformar la matriz A en una matriz escalonada reducida, teniendo en cuenta que el determinante cambia de signo al intercambiar dos filas y que cuando dividimos una fila por un n´umero distinto de cero, el determinante queda dividido por dicho n´umero.
1.4 Casos particulares:
- Determinantes de matrices 2 × 2:
det
a b c d
= ad − bc.
- Determinantes de matrices 3 × 3 (Regla de Sarrus):
det
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
(^) =a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13
− a 13 a 22 a 31 − a 12 a 21 a 33 − a 23 a 32 a 11.
1.5 Desarrollo del determinante por los adjuntos de una columna:
Dada una matriz A ∈ Matn(K), llamamos adjunto en la posici´on (ij) al n´umero Aij = (−1)i+j^ det(Aij^ ), donde Aij^ es la submatriz de A obtenida elimi- nando la fila i y la columna j de A. Adem´as de la f´ormula del determinante vista en (1.3), el determinante de la matriz A = (aij ) tambi´en se puede calcular como
det(A) =
∑^ n
k=
akiAki (desarrollo por adjuntos de la columna i).
1.6 C´alculo de la inversa de una matriz usando determinantes:
Definimos la matriz
adj(A) =
A 11... A 1 n .. .
An 1... Ann
t
∈ Matn(K),
es decir, la matriz de los adjuntos transpuesta. Ahora basta comprobar que cuando multiplicamos A por la matriz de los adjuntos transpuesta adj(A) obtenemos det(A) · In. Vamos a llamar C = A · adj(A):
(iii) A tiene rango n. (iv) A es producto de matrices elementales. (v) det(A) ̸= 0.
1.10 Teorema. Toda matriz rectangular A se puede transformar haciendo una serie de operaciones elementales por filas y por columnas en una matriz de la
forma
Ir 0 0 0
, donde r es el rango de A.
Demostraci´on. La demostraci´on se har´a en el tema de aplicaciones lineales.
1.11 Uso de determinantes para calcular el rango de una matriz:
El rango de una matriz rectangular A coincide con el orden de la mayor submatriz de A que tenga determinante distinto de cero.
Demostraci´on. Sabemos que el rango de la matriz rectangular A coincide con el n´umero de pivotes de la matriz escalonada reducida de A. Para transformar una matriz A en una escalonada reducida, basta realizar una serie finita de operaciones elementales por filas, as´ı que si A tiene rango r habr´a una submatriz de A de tama˜no r × r cuyo determinante es distinto de cero.
Rec´ıprocamente, si hubiera submatrices cuadradas de A de determinante de mayor tama˜no r, y llamamos k al orden de la mayor submatriz de A de determi- nante no nulo, entonces haciendo operaciones elementales por filas y por columnas
sobre A conseguir´ıamos transformarla en una matriz de la forma
Ik 0 0 0
, por
lo que el rango de A ser´ıa k > r.
1.12 Proposici´on. El determinante de una matriz A ∈ Matn(K) coincide con el determinante de su transpuesta At. Por tanto, las propiedades D1), D2),... , D5) enunciadas para las filas de A, tambi´en son ciertas para las columnas de A. Adem´as el determinante se puede desarrollar por los adjuntos de una fila, y la f´ormula del determinante tambi´en se puede escribir como
det(A) =
σ∈Sn
(−1)σ^ aσ(1)1 · · · aσ(n)n.
Demostraci´on. La demostraci´on se divide en dos casos:
Caso 1: Si A es un matriz inversible, A se puede escribir como producto de matrices elementales, cuyos determinantes coinciden con los de sus transpuestas, as´ı que det(A) = det(At).
Caso 2: Si A no es inversible, entonces tanto el rango de A como el de At^ es menor de n (en general, el rango de A coincide con el rango de At), as´ı que det(A) = 0 = det(At) porque la forma escalonada reducida por filas de A tiene al menos una fila de ceros.
1.13 Proposici´on:. El determinante del producto de matrices cuadradas es el producto de sus determinantes.
Demostraci´on. Si A ´o B son inversibles, entonces son producto de matrices elementales y el resultado se sigue de (1.7)(2).
Si tanto A ∈ Matn(K) como B ∈ Matn(K) tienen determinante cero entonces el rango de AB es menor que n y det(AB) = 0.
EJERCICIOS
- Calcula los siguientes determinantes sin utilizar la regla de Sarrus:
det
1 a b + c 1 b a + c 1 c a + b
(^) , det
a b c a + x b + x c + x a + y b + y c + y
(^) , det
1 a a^2 a^3 1 b b^2 b^3 1 c c^2 c^3 1 d d^2 d^3
- Calcula los siguientes determinantes:
det
x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d a b c d x
, det
, det
- Calcula la inversa de las siguentes matrices usando determinantes:
A =
, B =
- Utilizando determinantes, calcula el rango de las siguientes matrices:
A =
, B =
