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R.Criado y A.Gallinari

Introducción En sus orígenes, el álgebra clásica era el arte de resolver ecuaciones (la palabra álgebra proviene de un vocablo árabe que signica reducción). El álgebra moderna está caracterizada por el estudio de ciertas estructuras abs- tractas que tienen en común una gran variedad de objetos matemáticos. El calicativo abstracto se reere al resultado de realizar el proceso de abstrac- ción sobre las propiedades observables de ciertos objetos matemáticos, es decir, el proceso consistente en separar la forma del contenido. La estructura principal objeto de estudio en esta publicación es la de espacio vectorial. Las aplicaciones de esta estructura incluyen virtualmen- te todas las áreas de la ciencia. Se incluye una aplicación de los espacios vectoriales relacionada estrechamente con el mundo de la informática y las telecomunicaciones, en concreto a la teoría de códigos y se estudian varias técnicas y herramientas de interés para otras aplicaciones. Este volumen viene acompañado por un libro de Prácticas y Problemas con el sistema Maple V, disponible en versión digital, que contiene una am- pliación y completa la descripción de los conceptos teóricos. Las prácticas permiten el desarrollo y la experimentación con los aspectos más numéri- cos y están diseñada para potenciar el empleo de la notable capacidad de visualización gráca que ofrece el programa Maple V. A cada tema teórico y práctico hemos añadido ejercicios resueltos y ejer- cicios propuestos. Los principales objetivos didácticos que intentamos conseguir son que el lector:

• aprenda y utilize correctamente técnicas y métodos propios del álgebra lineal.
• vea la descripción de algunas aplicaciones a la Informática.
• comprenda y aplique algunos métodos numéricos de resolución de sis- temas de ecuaciones lineales y de aproximación de autovalores y auto- vectores.
• aprenda a utilizar el programa Maple V (como ejemplo de sistema de computación simbólica) en sus aplicaciones al álgebra lineal. Algunos apartados de esta publicación (sobre todo en la parte de ejerci- cios) son una adaptación del material contenido (unas veces sin modicarlo, otras proponiendo variaciones de ello) en la bibliografía incluida.

Índice General

• braicas 1 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y estructuras alge-
• 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y eliminación gaussiana
  • 1.1.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales
  • 1.1.2 Sistemas homogéneos
    • Introducción al método de Gauss-Jordan 1.1.3 Transformaciones elementales por las.
  • 1.1.4 Sistemas equivalentes
    • de eliminación gaussiana 1.1.5 Estrategia para la aplicación del método
  • 1.1.6 Método de Gauss-Jordan
• 1.2 Matrices y operaciones con matrices
  • 1.2.1 Suma de matrices
  • 1.2.2 Producto de matrices
  • 1.2.3 Propiedades del producto de matrices
  • 1.2.4 El producto de una matriz por un escalar
  • 1.2.5 El anillo de matrices cuadradas Mn(K)
  • 1.2.6 Matrices invertibles
  • 1.2.7 Matrices elementales y un método para hallar A−
• 1.3 Estructuras algebraicas
  • 1.3.1 El concepto de operación
  • 1.3.2 Grupos
  • 1.3.3 Anillos y cuerpos
  • 1.3.4 Introducción a los Tipos Abstractos de Datos
• 1.4 Ejercicios
  • 1.4.1 Ejercicios resueltos
  • 1.4.2 Ejercicios propuestos
• 2 Espacios vectoriales
  • 2.1 Vectores en el plano y en el espacio
    • 2.1.1 Producto vectorial y producto mixto
    • 2.1.2 Rectas en le plano
    • 2.1.3 Planos en el espacio tridimensional
    • 2.1.4 Rectas en el espacio tridimensional
  • 2.2 Espacios vectoriales sobre un cuerpo K
    • 2.2.1 Propiedades de vectores
    • 2.2.2 Producto cartesiano de espacios vectoriales
    • 2.2.3 Funciones con codominio en un espacio vectorial
  • 2.3 Subespacios vectoriales
  • 2.4 Dependencia e independencia lineal
  • 2.5 Bases y dimensión
    • 2.5.1 Sistemas generadores y bases
    • 2.5.2 Equipotencia de bases
  • 2.6 Subespacios vectoriales y dimensión
  • 2.7 Rango de un sistema de vectores y de una matriz
  • 2.8 El teorema de Rouché-Fröbenius
  • 2.9 Método de Gauss y rango - elementales 2.9.1 Transformaciones elementales por columnas y matrices
    • 2.9.2 Método de Gauss para calcular el rango de una matriz
    • 2.9.3 Algoritmo de extensión de una base
    • 2.9.4 Rango y espacio la de una matriz
  • 2.10 Ejercicios
    • 2.10.1 Ejercicios resueltos
    • 2.10.2 Ejercicios propuestos
• 3 Funciones lineales
  • 3.1 Funciones lineales
  • 3.2 Propiedades de funciones lineales
  • 3.3 Núcleo e imagen
  • 3.4 Espacios vectoriales isomorfos
  • 3.5 Funciones lineales en espacios vectoriales de dimensión nita - riales de dimensión nita 3.5.1 Determinación de funciones lineales en espacios vecto-
    • 3.5.2 Dimensiones del núcleo y de la imagen
    • 3.5.3 Matriz asociada a una función lineal
    • 3.5.4 Algoritmo para hallar una base del núcleo y de la imagen
    • 3.5.5 Matriz asociada a la composición de funciones lineales
    • 3.5.6 Matrices semejantes y cambios de base
      • vectorial 3.5.7 Ecuaciones paramétricas e implícitas de un subespacio
  • 3.6 Ejercicios
    • 3.6.1 Ejercicios resueltos
    • 3.6.2 Ejercicios propuestos
• 4 Espacios vectoriales euclídeos
  • 4.1 Producto escalar
  • 4.2 Longitud o norma euclídea de un vector
    • 4.2.1 Propiedades de la norma euclídea
  • 4.3 Método de ortogonalización de Gram-Schmidt
    • 4.3.1 Descomposición QR de una matriz
  • 4.4 Proyecciones ortogonales
    • 4.4.1 Método para hallar una proyección ortogonal
    • 4.4.2 Aproximación óptima de un vector.
  • 4.5 Ejercicios
    • 4.5.1 Ejercicios resueltos
    • 4.5.2 Ejercicios propuestos
• 5 Códigos lineales
  • 5.1 Introducción
  • 5.2 Distancia de Hamming, detección y corrección de errores
    • 5.2.1 Código de paridad: detección de errores simples
    • 5.2.2 Código de repetición: corrección de errores simples
  • 5.3 Códigos lineales
    • 5.3.1 Paso de una matriz de control a una matriz generadora
    • 5.3.2 Paso de una matriz generadora a una matriz de control
    • 5.3.3 Detección y corrección de errores
  • 5.4 Ejercicios
    • 5.4.1 Ejercicios resueltos
    • 5.4.2 Ejercicios propuestos
• 6 Autovalores y autovectores
  • 6.1 Introducción
  • 6.2 Autovalores y autovectores
  • 6.3 Funciones complejas de variable real
    • 6.3.1 La exponencial compleja
  • 6.4 Ecuaciones diferenciales
    • 6.4.1 La ecuación de primer orden
    • 6.4.2 La ecuación de orden n
    • 6.4.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales
  • 6.5 La semejanza de matrices y los sistemas de ecuaciones
    • 6.5.1 Sistemas diagonales
    • 6.5.2 Sistemas triangulares
  • 6.6 Diagonalización y triangulación de matrices
    • 6.6.1 El polinomio característico de una matriz
    • 6.6.2 Matrices diagonalizables
    • 6.6.3 Triangulación de matrices
      • triangulación 6.6.4 Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales por
  • 6.7 Relaciones de recurrencia
    • 6.7.1 Relaciones de primer orden
    • 6.7.2 Sistemas de relaciones de recurrencia
  • 6.8 Ejercicios
    • 6.8.1 Ejercicios resueltos
    • 6.8.2 Ejercicios propuestos
• 7 Soluciones de los ejercicios - del capítulo 7.1 Soluciones de los ejercicios - del capítulo 7.2 Soluciones de los ejercicios - del capítulo 7.3 Soluciones de los ejercicios - del capítulo 7.4 Soluciones de los ejercicios - del capítulo 7.5 Soluciones de los ejercicios - del capítulo 7.6 Soluciones de los ejercicios
• A Nuevo método de triangulación por semejanza

1.1 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y

eliminación gaussiana

Al aplicar la teoría de ecuaciones lineales, entre otras disciplinas, a la infor- mática, aparecen ecuaciones lineales con coecientes enteros, binarios (0 ó 1), reales o incluso complejos. La denición de la estructura algebraica de cuerpo se introducirá más tarde. Cómo en la mayor parte de los resultados referentes a la teoría de ecuaciones lineales no hace falta hacer distinción entre los casos en los que los coecientes son elementos del cuerpo R de los números reales o del cuerpo C de los números complejos, a lo largo del ca- pítulo se considerará que los coecientes de las ecuaciones pertenecen a un cuerpo genérico K, donde K = R ó C, aunque en algunos casos en los que se dirá explícitamente, se consideraran también coecientes binarios, es decir, del cuerpo Z 2 = { 0 , 1 } de los números enteros módulo 2. Se asume que el estudiante ha trabajado en cursos anteriores con elemen- tos de R^2 y R^3 , a los que se denominan pares ordenados y ternas. Ambos conceptos son casos particulares del concepto de n − tupla o elemento del producto cartesiano de n copias de R, Rn, donde n es un número natural, o en general de Kn. Así

Kn^ = {(x 1 , ..., xn) | ∀i ∈ { 1 , ..., n} xi ∈ K}

De este modo, un par ordenado es una 2 − tupla (un elemento de K^2 ) y una terna es una 3 − tupla (un elemento de K^3 ).

1.1.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales

Denición 1.1.1 Una ecuación lineal en las variables (o incógnitas) x 1 , ..., xn es una expresión de la forma

a 1 x 1 + ... + anxn = b

A a 1 , ..., an ∈ K se les denomina coecientes de la ecuación, y a b ∈ K término independiente.

Observación 1 Habitualmente, los coecientes a 1 , ..., an y el término inde- pendiente b serán elementos de un cuerpo K (con K = R ó C). En tal caso se dice que la ecuación anterior es una ecuación lineal con coecientes en K.

Observación 2 Cuando n ≤ 3 es usual utilizar las variables x, y y z en lugar de x 1 , x 2 y x 3

Ejemplo 1.1.2 Si n = 2 y a 1 , a 2 ∈ R, la ecuación lineal

a 1 x + a 2 y = b (I)

representa una recta en el plano R^2 , es decir, el conjunto de pares (x, y) que satisfacen la ecuación (I) constituyen una recta. Por ejemplo, la ecuación y − 2 x = 2 representa la recta

6

ΩΩ

ΩΩ

ΩΩ

ΩΩ

Ω

2 -1 0

Figura 1.1: La recta y=2x+

Es importante observar que las operaciones que afectan a las variables que intervienen en las ecuaciones lineales se reducen a multiplicarlas por los coecientes y sumarlas. Así por ejemplo,

3 x + 4y = 24

x 1 − x 2 + 5x 3 − (

2)x 4 = 1

(e^2 )x 1 − 3 x 2 + x 3 − x 4 = 0

son ecuaciones lineales. Sin embargo NO son ecuaciones lineales

3 x^2 + 4y = 24

x 1 − x 2 + 5x 3 − 2

x 4 = 1

e^2 x^1 − 3 x 2 + x 3 − x 4 = 0

Es importante tener presente que los sistemas de ecuaciones lineales pue- den no tener soluciones, o tener más de una. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales con coecientes en R { x 1 − x 2 = 1 x 1 − x 2 = 4

no tiene solución, ya que contiene las ecuaciones de dos rectas distintas y paralelas. Los sistemas de ecuaciones lineales que no tienen solución, como el del ejemplo anterior, se denominan sistemas incompatibles. Los que tienen al menos una solución, esto es, los sistemas compati- bles, pueden tener una única solución, en cuyo caso se denominan compati- bles determinados, o más de una solución, en cuyo caso, si los coecientes del sistema son números reales o complejos, el sistema tiene innitas solucio- nes (como se verá por el teorema 1.2.14), y los sistemas correspondientes se denominan compatibles indeterminados.

Ejercicio 1.1.1 Encontrar tres sistemas de dos ecuaciones lineales con coe- cientes en R con dos incógnitas, uno compatible determinado, otro compatible indeterminado y un tercero incompatible y representar el conjunto solución de cada una de las dos ecuaciones lineales que lo forman en el plano R^2. Extraer conclusiones.

1.1.2 Sistemas homogéneos

Denición 1.1.7 Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogé- neo si los términos independientes de todas las ecuaciones que lo constituyen son iguales a 0.

Ejemplo 1.1.8 (^) { x 1 + x 3 = 0 2 x 1 − x 2 + x 3 = 0

es un sistema homogéneo de 2 ecuaciones con 3 incógnitas.

Observación 3 Cualquier sistema de ecuaciones lineales homogéneo  



a 11 x 1 + ... + a 1 nxn = 0 .. . am 1 x 1 + ... + amnxn = 0

es compatible, puesto que (0, ..., 0) ∈ Kn^ es siempre una solución de dicho sistema. A esta solución se la conoce como solución trivial. Si un sistema homogéneo tiene soluciones distintas de la trivial, a cualquiera de dichas soluciones la denominaremos solución no trivial.

En el capítulo 2 demostraremos que un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con coecientes en R ó C satisface exactamente una de las siguientes proposiciones:

• El sistema homogéneo sólo tiene la solución trivial.
• El sistema homogéneo tiene innitas soluciones además de la trivial.

En particular, demostraremos que todo sistema homogéneo con coe- cientes en R ó C que tenga más incógnitas que ecuaciones tiene innitas soluciones. Se pueden comprender e interiorizar los resultados anteriores a través de la resolución de los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1.1.2 Comprobar que el sistema homogéneo { x 1 + x 3 = 0 2 x 1 − x 2 + x 3 = 0

tiene innitas soluciones en ∈ R^3 , despejando las variables x 1 y x 2 en función de x 3 , y obtener una solución del sistema para cada valor de x 3 considerado.

Ejercicio 1.1.3 Vericar que el sistema { x 1 + x 2 = 0 2 x 1 − x 2 = 0

sólo tiene la solución trivial.

1.1.3 Transformaciones elementales por las.

Introducción al método de Gauss-Jordan

En esta sección haremos una primera descripción del método de Gauss- Jordan para encontrar las soluciones (si es que existen) de un sistema de ecuaciones lineales. La justicación del método y su descripción precisa se

aplica más fácilmente sobre la que se denomina matriz ampliada asociada al sistema que sobre el propio sistema. La matriz asociada al sistema   

x 1 − x 2 + x 3 = 1 2 x 1 + x 2 − x 3 = 2 x 1 + 2x 2 + x 3 = 4

es por denición la matriz  

y la matriz ampliada asociada a dicho sistema es

 

La aplicación del método de Gauss-Jordan sobre dicha matriz para obte- ner la solución del sistema de ecuaciones que representa nos daría sucesíva- mente:  

 F^2 =^ F^2 −^2 F^1

F 3 = F 3 − F 1 →

 F 2 ↔ F 3 →

 F 2 = 13 F 2 →

 F 3 = F 3 − 3 F 2 →

 F 3 = −^13 F 3 →

 F 1 = F 1 − F 3 →

 F 1 = F 1 + F 2 →

La última matriz representa, obviamente, que x 1 = 1, x 2 = 1 y x 3 = 1. En la resolución del sistema anterior hemos aplicado sobre la matriz am- pliada del sistema lo que se denominan transformaciones elementales por las. Estas son las siguientes:

1. Sumar a una la otra multiplicada por un número: Fi = Fi + λFj
2. Multiplicar una la por un número distinto de cero: Fi = λFi
3. Intercambiar dos las: Fi ↔ Fj En cualquier caso, no todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución. Por ejemplo, si consideramos el sistema { x 1 − x 2 = 1 2 x 1 − 2 x 2 = 4

la aplicación de las transformaciones elementales correspondientes sobre la matriz ampliada asociada al sistema nos lleva a ( 1 − 1 1 2 − 2 4

F 2 = F 2 − 2 F 1 →

es decir, 0 x 1 + 0x 2 = 2. Así pues, el sistema anterior es un sistema incompatible. Un ejemplo de sistema compatible indeterminado sería el siguiente:   

x 1 − x 2 + x 3 = 1 2 x 1 + x 2 − x 3 = 2 2 x 1 − 2 x 2 + 2x 3 = 2

Al resolverlo por el método de Gauss-Jordan obtenemos:





 F^2 =^ F^2 −^2 F^1

F 3 = F 3 − 2 F 1 →

 F 2 = 13 F 2 →

 F 1 = F 1 + F 2 →

es decir, x 1 = 1 y x 2 − x 3 = 0, o lo que es lo mismo, x 2 = x 3 , con lo que, si escribimos x 3 = t, para cada valor de t tenemos una solución del sistema. Sería solución del sistema (1, 1 , 1), (1, 2 , 2), ... en total tendríamos innitas soluciones, tantas como posibles valores del parámetro t; esto ocurre porque estamos trabajando sobre el cuerpo de los números reales, luego t toma valores en R, que es innito.

por su matriz ampliada:

Am =

α 11 ... α 1 n β 1 .. .

αm 1 ... αmn βm

 ∈ M

m×(n+1)(K),

con lo que las transformaciones elementales se realizan sobre las las de esta matriz.

A la vista de la observación anterior tiene sentido establecer la siguiente denición:

Denición 1.1.10 Si una matriz A′^ se obtiene realizando transformaciones elementales por las sobre una matriz A, diremos que las matrices A y A′ son equivalentes por las.

Observación 5 A las transformaciones elementales por las, realizadas, bien directamente sobre las ecuaciones del sistema, bien sobre las las de su matriz ampliada las denotaremos del mismo modo.

Ejercicio 1.1.5 Vericar que la relación de equivalencia de matrices en Mm×n(K) es una relación binaria reexiva, simétrica y transitiva (es decir, es una relación de equivalencia en el sentido general).

Teorema 1.1.11 Si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, entonces tienen exactamente las mismas soluciones. En otras palabras, si S y S′^ son equivalentes,

(α 1 , ..., αn) es soluci´on de S ⇔ (α 1 , ..., αn) es solucion de S´ ′.

Demostración Para demostrar el teorema, es suciente con estudiar el caso en el que un sistema se obtiene a partir de otro mediante la aplicación de una única transformación elemental por las. Supongamos que el sistema considerado es

S ≡

α 11 x 1 + ... + α 1 nxn = β 1 α 21 x 1 + ... + α 2 nxn = β 2 .. . αm 1 x 1 + ... + αmnxn = βm

Es obvio que el intercambio de lugar entre dos ecuaciones del sistema no altera el conjunto solución del mismo. Por consiguiente la aplicación de una transformación del tipo Fi ↔ Fj no altera el conjunto solución. Además, teniendo esto presente, podemos restringir el estudio al caso en el que las transformaciones elementales se aplican únicamente sobre la primera y la segunda ecuación, dejando el resto inalteradas. Sea λ 6 = 0, y supongamos que

S′^ ≡

λα 11 x 1 + ... + λα 1 nxn = λβ 1 α 21 x 1 + ... + α 2 nxn = β 2 .. . αm 1 x 1 + ... + αmnxn = βm

Veamos que (s 1 , ..., sn) solucion de S´ ⇒ (s 1 , ..., sn) soluci´on de S′. Si (s 1 , ..., sn) es solución de S, tendremos que   

 

α 11 s 1 + ... + α 1 nsn = β 1 α 21 s 1 + ... + α 2 nsn = β 2 .. . αm 1 s 1 + ... + αmnsn = βm

con lo que, multiplicando ambos miembros de la primera igualdad por λ, obtenemos que (^) 

   

λα 11 s 1 + ... + λα 1 nsn = λβ 1 α 21 s 1 + ... + α 2 nsn = β 2 .. . αm 1 s 1 + ... + αmnsn = βm

es decir, que (s 1 , ..., sn) es solución de S′. Veamos ahora el recíproco, i.e., que (s 1 , ..., sn) soluci´on de S′^ ⇒ (s 1 , ..., sn) solucion de S.´ Si (s 1 , ..., sn) es solución de S′, tendremos que     

λα 11 s 1 + ... + λα 1 nsn = λβ 1 α 21 s 1 + ... + α 2 nsn = β 2 .. . αm 1 s 1 + ... + αmnsn = βm