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UAH - Ana I. Gutiérrez Delgado
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
λ es autovalor de A si existe 0||0)(/0 =−⇔=−⇔=≠ IAxIAxxAx
λλλ
r
r
- PROPIEDADES DE LOS AUTOVALORES Y AUTOVECTORES:
1.- Si λ es autovalor de A, kλ es autovalor de kA.
Si
v
es autovector de A,
v
es autovector de kA.
Si λ es autovalor de A, λh es autovalor de Ah, teniendo asociado el mismo vector propio.
2.- Si A es triangular (diagonal), sus autovalores son los elementos de su diagonal principal.
3.-
i
n
i
λA
∏
=
=
1
4.- Los autovalores de A coinciden con los de su transpuesta.
5.- ∑∑ ==
==
n
i
i
n
i
ii
λaA
T
r
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)(
6.- Si
u
y
v
son autovectores de A asociados respectivamente a dos autovalores distintos (μ y
λ) entonces
u
y
v
son linealmente independientes.
7.- Si una matriz A nxn tiene n autovalores distintos, entonces existe una base de ℜn constituida
por los autovectores de A.
- MATRICES EQUIVALENTES:
Dos matrices A y B ∈Μmxn son equivalentes si existen dos matrices regulares, U y V, tales que:
A = U B V
Propiedades:
- La equivalencia de matrices es una relación de equivalencia.
- Si A y B son matrices equivalentes, entonces rg(A) = rg(B)
- MATRICES SEMEJANTES:
Dos matrices cuadradas, A y B ∈Μnxn , son semejantes sii existe una matriz P invertible tal que:
A = P B P -1
Propiedades:
- La semejanza de matrices es una relación de equivalencia.
- Si A y B son matrices semejantes, entonces rg(A) = rg(B)
- Las matrices semejantes tienen el mismo determinante y la misma traza.
- Las matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico.
- Si A = P B P –1, entonces A h = P Bh P -1
- Si A1 = P B1 P –1 y A2 = P B2 P –1 , entonces A1 + A2 = P (B1 +B2 ) P–1
